22.5.2《菱形的判定》课后练习 2020-2021学年八年级下册冀教版数学（word版含解析）

22.5.2《菱形的判定》课后练习
一、单选题
1．下列命题中，正确的是（
）．
A．两邻边相等的四边形是菱形
B．一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形
C．对角线垂直且一组邻边相等的四边形是菱形
D．对角线垂直的四边形是菱形
2．已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中正确的有（　　）
①当AB＝BC时，四边形ABCD是菱形；
②当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形；
③当∠ABC＝90°时，四边形ABCD是菱形：
④当AC＝BD时，四边形ABCD是菱形；
A．3个
B．4个
C．1个
D．2个
3．如图，下列条件之一能使平行四边形ABCD是菱形的为（　　）
①AC⊥BD；②∠BAD＝90°；③AB＝BC；④AC＝BD．
A．①③
B．②③
C．③④
D．①②③
4．如图，AC为矩形ABCD的对角线，将边AB沿AE折叠，使点B落在AC上的点M处，将边CD沿CF折叠，使点D落在AC上的点N处，易证四边形AECF是平行四边形．当∠BAE为（
）度时，四边形AECF是菱形．
A．30°
B．40°
C．45°
D．50°
5．如图，四边形ABCD沿直线l对折后重合，如果，则结论①ABCD；②AB=CD；③；④中正确的是（
）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
6．如图，在中，对角线相交于点，从下列条件中添加一个条件，仍不能判定
是菱形的是（
）
A．
B．
C．
D．
7．如图，在给定的一张平行四边形纸片上按如下操作：连结AC，作AC的垂直平分线MN分别交AD、AC、BC于M、O、N，连结AN，CM，则四边形ANCM是（　　）
A．矩形
B．菱形
C．正方形
D．无法判断
8．如图，在?ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E，以A为圆心，AB为半径的弧交AD于点F，连接EF．若BF＝6，AB＝5，则四边形ABEF面积是（　　）
A．12
B．24
C．36
D．48
9．如图，中，对角线，相交于点，下列条件：（1）；（2）；（3），其中能判定是菱形的条件有（
）
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
10．如图，已知线段AB，分别以A，B为圆心，大于同样长为半径画弧，两弧交于点C，D，连接AC，AD，BC，BD，CD，则下列说法错误的是（
）
A．AB平分∠CAD
B．CD平分∠ACB
C．AB⊥CD
D．AB=CD
二、填空题
11．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且OA=OC，OB=OD．请你添加一个适当的条件：______________，使四边形ABCD成为菱形．
12．如图，将两张长为18，宽为6的矩形纸条交叉，可知重叠部分是一个__________形（图形形状），那么该图形周长的最大值与最小值的差等于__________．
13．如图，①以点A为圆心2cm长为半径画弧分别交∠MAN的两边AM、AN于点B、D；②以点B为圆心，AD长为半径画弧，再以点D为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点C；
③分别连结BC、CD、AC．若∠MAN＝60°，则∠ACB的大小为_____．
14．如图所示，于点，且，，若，则___．
15．如图，在中，，为的中线，过点作于点，过点作的平行线，交的延长线于点，在的延长线上截取，连接，．若，，则四边形的周长为______．
16．如图，△ABC中，∠BAC＝60°，∠B＝45°，AB＝2，点D是BC上的一个动点，D点关于AB，AC的对称点分别是E和F，四边形AEGF是平行四边形，则四边形AEGF的面积的最小值是__．
17．如图，四边形中，，，，，分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，射线交于点，交于点，若点恰好是的中点，则的长为________．
三、解答题
18．如图，AE∥BF，BD平分∠ABC交AE于点D，点C在BF上且BC＝AB，连接CD．求证：四边形ABCD是菱形．
19．如图，在中，对角线平分，点、在上，且．连接、、、．求证：四边形是菱形．
20．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．
（1）求证：四边形ADCF是菱形；
（2）若AC＝12，AB＝16，求菱形ADCF的面积．
21．如图，四边形ABCD为矩形，O是对角线AC的中点，过点O的直线分别交边BC，AD于点E，F，连接AE，CF．
（1）求证：△AOF≌△COE；
（2）当CE＝5，AO＝4，OF＝3时，求证：四边形AFCE是菱形．
22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90゜，D为AB的中点，AE//CD，CE//AB，连接DE交AC于点O．
（1）证明：四边形ADCE为菱形；
（2）若∠B=60゜，BC=6，求菱形ADCE的高．
23．如图，矩形的对角线，相交于点，过点作，过点作，与相交于点．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）连接、，若，，求的长．
24．已知，如图，把矩形纸片沿折叠后，点D与点B重合，点C落在点的位置上，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）当，时，求矩形的纸片的面积S．
25．如图，在?ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别在BD和DB的延长线上，且DE＝BF，连接AE，CF．
（1）求证：△ADE≌△CBF；
（2）连接AF，CE．当BD平分∠ABC时，四边形AFCE是什么特殊四边形？请说明理由．
参考答案
1．B
解：两邻边相等的平行四边形是菱形，故选项A不符合题意；
一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形，故选项B符合题意；
对角线垂直且一组邻边相等的平行四边形是菱形，故选项C不符合题意；
对角线垂直的平行四边形是菱形，故选项D不符合题意；
2．D
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴①当AB＝BC时，四边形ABCD是菱形；故符合题意；
②当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形；故符合题意；
③当∠ABC＝90°时，四边形ABCD是矩形；故不符合题意；
④当AC＝BD时，四边形ABCD是矩形；故不符合题意；
3．A
解：①?ABCD中，AC⊥BD，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即可判定?ABCD是菱形；故①正确；
②?ABCD中，∠BAD＝90°，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，即可判定?ABCD是矩形，而不能判定?ABCD是菱形；故②错误；
③?ABCD中，AB＝BC，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，即可判定?ABCD是菱形；故③正确；
D、?ABCD中，AC＝BD，根据对角线相等的平行四边形是矩形，即可判定?ABCD是矩形，而不能判定?ABCD是菱形；故④错误．
4．A
解：当∠BAE＝30°时，四边形AECF是菱形，
理由：由折叠可知，∠BAE＝∠CAE＝30°，
∵∠B＝90°，
∴∠ACE＝90°﹣30°﹣30°＝30°，
即∠CAE＝∠ACE，
∴EA＝EC，
∵四边形AECF是平行四边形，
∴四边形AECF是菱形，
5．C
解：如图所示：
∵直线l是四边形ABCD的对称轴，
∴AB=AD，BC=DC，∠1=∠2，∠3=∠4，
又∵AD∥BC，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠4，
∴AB∥CD，故①正确；
∴四边形ABCD是菱形；
∴AB=CD，故②正确；
∵四边形ABCD是菱形；
∴AO=OC，故④正确．
∵当四边形ABCD是菱形时，直线l是四边形ABCD的对称轴，但是AB与BC不一定垂直，故③错误；
6．D
解：A、对角线垂直的平行四边形是菱形，正确，此选项不符合题意；
B、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，正确，此选项不符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠1=∠ACB，又∠1=∠2，
∴∠2=∠ACB，
∴AB=BC，
∴四边形ABCD是菱形（有一组邻边相等的平行四边形是菱形），
正确，此选项不符合题意；
D、AB=BD不能判断平行四边形一定是菱形，符合题意，
7．B
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACN，
∵MN是AC的垂直平分线，
∴AO=CO，
在△AOM和△CON中
，
∴△AOM≌△CON（ASA），
∴MO=NO，
∴四边形ANCM是平行四边形，
∵AC⊥MN，
∴四边形ANCM是菱形，
8．B
解：记AE与BF相交于O点，如图，
由作法得AB＝AF＝10，AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE＝∠BEA，
∴∠BAE＝∠BEA，
∴BA＝BE，
∴AF＝BE，
∵AF∥BE，
∴四边形ABEF为平行四边形，
∵AB＝AF，
∴四边形ABEF为菱形，
∴OA＝OE，OB＝OF＝BF＝3，AE⊥BF，
在Rt△AOB中，OA，
∴AE＝2AO＝8，
∴四边形ABEF面积．
9．C
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，AD∥BC，
∴∠1=∠BCO，
（1）若∠1+∠DBC=90°时，则∠BCO+∠DBC=90°，
∴∠BOC=90°，
∴AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形；（1）能判定平行四边形ABCD是菱形；
（2）若OA=OB，则AC=BD，
∴四边形ABCD是矩形；（2）不能判定平行四边形ABCD是菱形；
（3）若∠1=∠2，则∠2=∠BCO，
∴AB=CB，
∴四边形ABCD是菱形；（3）能判定平行四边形ABCD是菱形；
10．D
解：由作图知AC=AD=BC=BD，
∴四边形ACBD是菱形，
∴AB平分∠CAD、CD平分∠ACB、AB⊥CD，
不能判断AB=CD，
11．AB=AD.
解：添加AB=AD，
∵OA=OC，OB=OD，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∵AB=AD，
∴四边形ABCD是菱形，
12．菱形
16
证明：过点A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，
∵两条纸条宽度相同（对边平行），
∴AB∥CD，AD∥BC，AE=AF，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵S?ABCD=BC?AE=CD?AF，
又∵AE=AF，
∴BC=CD，
∴四边形ABCD是菱形；
当两张纸条如图所示放置时，菱形周长最大，设这时菱形的边长为x，
由勾股定理：x2=（18-x）2+62，
得：x=10，
即菱形的最大周长为10×4=40．
当两张纸条如图所示放置时，即是正方形时取得最小值为：6×4=24．
则图形周长的最大值与最小值的差=40-24=16；
13．30°
解：由题意可得：AB＝BC＝CD＝AD＝2cm，
∴四边形ABCD是菱形，
∴BC∥DA，∠CAB＝∠CAD＝∠MAN＝30°，
∴∠ACB＝∠CAD＝30°，
14．27°
解：如下图，连接AE
∵BE⊥AC，∴∠ADB=∠BDC=90°
∴△ABD和△CBD是直角三角形
在Rt△ABD和Rt△CBD中
∴Rt△ABD≌Rt△CBD
∴AD=DC
∵BD=DE
∴在四边形ABCE中，对角线垂直且平分
∴四边形ABCE是菱形
∵∠ABC=54°
∴∠ABD=∠CED=27°
15．20
解：∵AG∥BD，BD=FG，
∴四边形BGFD是平行四边形，
∵CF⊥BD，
∴CF⊥AG，
又∵点D是AC中点，
∴BD=DF=
，
∴四边形BGFD是菱形，
设GF=x，则AF=13-x，AC=2x，
在Rt△AFC中，由勾股定理可得：
解得：
即GF=5
∴四边形BDFG的周长=4GF=20．
16．
解：由对称的性质得：AE=AD=AF，
∵四边形AEGF是平行四边形，
∴四边形AEGF是菱形，
∴∠EAF=2∠BAC=120°，
当AD⊥BC最小时，AD的值最小，即AE的值最小，即菱形AEGF面积最小，
∵∠ABC=45°，AB=2，
∴AD=BD=，
∴四边形AEGF的面积的最小值=．
17．
解：∵，，
∴，，
∴易证≌，
∴，
又∵，
∴四边形为平行四边形．
∴AO=CO，
连接AE，CE，则AE=CE，
∴OE⊥AC，
∴平行四边形为菱形，
∴，
∴，
∴．
18．证明见解析
∵AE∥BF，
∴∠ADB＝∠DBC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC＝∠ABD，
∴∠ADB＝∠ABD，
∴AB＝AD，
又∵AB＝BC，
∴AD＝BC，
∵AE∥BF，即AD∥BC，
∴四边形ABCD为平行四边形，
又∵AB＝AD，
∴四边形ABCD为菱形．
19．证明见详解．
证明：
连结BD交AC于O，
∵对角线平分，
∴∠BAC=∠DAC，
在中，AB∥DC，AB=DC，BC∥AD，BC=AD，
∴∠BAC=∠DCA，∠BCA=∠DAC，
∴BC=BA，DC=DA，
∴平行四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，OA=OC，OB=OD，
∵，
∴OA-AF=OC-CE，即OE=OF，
∴四边形BEDF为平行四边形，
AC⊥BD，点E、F在AC上，
∴EF⊥BD，
∴平行四边形BEDF为菱形．
20．（1）见解析；（2）S菱形ADCF＝96．
（1）证明：∵E是AD的中点，
∴AE＝DE，
∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DBE，
在△AEF和△DEB中，
∵，
∴△AEF≌△DEB（AAS），
∴AF＝DB，
∵D是BC的中点，
∴AF＝DB＝DC，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，
∴AD＝CD＝BC，
∴四边形ADCF是菱形；
（2）解：设AF到CD的距离为h，
∵AF∥BC，AF＝BD＝CD，∠BAC＝90°，
∴S菱形ADCF＝CD?h＝BC?h＝S△ABC＝AB?AC＝×12×16＝96．
21．（1）见解析；（2）见解析
（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，
∴∠FAC＝∠ECA，∠AFE＝∠CEF，
∵O是对角线AC的中点，
∴OA＝OC，
∴△AOF≌△COE（AAS）；
（2）由（1）知△AOF≌△COE，
∴AF＝CE＝5，
∵AO＝4，OF＝3，
∴，
即，
∴∠AOF＝90°，
∴三角形AOF是直角三角形，
∴EF⊥AC，
∵AF＝CE，AF∥CE，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∵EF⊥AC，
∴平行四边形AFCE是菱形．
22．（1）见解析；（2）3
（1）证明：∵AE//CD，CE//AB，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∵∠ACB=90°，D为AB的中点，
∴CD=AB=AD，
∴四边形ADCE为菱形；
（2）解：过点D作DF⊥CE，垂足为点F，如图所示：
DF即为菱形ADCE的高，
∵∠B=60°，CD=BD，
∴△BCD是等边三角形，
∴∠BDC=∠BCD=60°，CD=BC=6，
∵CE//AB，
∴∠DCE=∠BDC=60°，
∴∠CDF=30°，
又∵CD=BC=6，
∴CF=3，
∴在Rt△CDF中，DF==3．
23．（1）见解析；（2）
解：（1），，
四边形是平行四边形，
矩形，
，
四边形是菱形．
（2）连接并延长交于，交于，
菱形，
，
矩形，
，，
四边形是矩形，
，，
是中点，
是中点，
，
，
，
，
，
，
∴．
24．（1）证明见解析；（2）．
（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠1=∠2，
∵EF为折痕，
∴BF=DF，BE=DE，∠BEF=∠2，
∴∠BEF=∠1，
∴BE=BF，
∴BF=DF=BE=DE，
∴四边形BEDF是菱形；
（2）解：由（1）知∠2=∠BEF=∠1=60°，
∴∠3=180°-60°-60°=60°，
∵AE=2，∠A=90°，
∴∠ABE=30°，
∴BE=2AE=4，
由勾股定理得：AB=，
∵四边形ABCD是矩形，沿EF折叠B和D重合，
∴DE=BE=4，
∴AD=BC=2+4=6，AB=CD=，
∴矩形ABCD的面积S=．
25．（1）见解析；（2）菱形，见解析
解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝CB，∠ADC＝∠CBA，
∴∠ADE＝∠CBF，
在△ADE和△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF（SAS）；
（2）当BD平分∠ABC时，四边形AFCE是菱形，
理由：如图，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴AB＝AD，
∴平行四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴AC⊥EF，
∵DE＝BF，
∴OE＝OF，
又∵OA＝OC，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∵AC⊥EF，
∴四边形AFCE是菱形．