2020-2021学年七年级数学冀教版下册《第9章三角形》单元综合优生提升专题训练（Word版 附答案）

2021年冀教版七年级数学下册《第9章三角形》单元综合优生提升专题训练（附答案）
1．如果一个三角形的两边长为2和5，那么这个三角形的周长可能是（　　）
A．10
B．13
C．14
D．15
2．如图，BD是△ABC的中线，点E、F分别为BD、CE的中点，若△AEF的面积为3．则△ABC的面积是（　　）
A．9
B．10
C．11
D．12
3．在△ABC中，作出AC边上的高，正确的是（　　）
A．①
B．②
C．③
D．④
4．三角形的角平分线、中线、高都是（　　）
A．直线
B．线段
C．射线
D．以上都不对
5．如图，△ABC的角平分线CD、BE相交于F，∠A＝90°，∠CEG＝2∠DCB，且∠DFB＝∠CGE．下列结论：①EG∥BC，②CG⊥EG，③∠ADC＝∠GCD，④CA平分∠BCG．其中正确的个数是（　　）
A．1
B．2
C．3
D．4
6．如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，AD⊥BC于点D．∠ABD的角平分线BF所在直线与射线AE相交于点G，若∠ABC＝3∠C，且∠G＝20°，则∠DFB的度数为（　　）
A．50°
B．55°
C．60°
D．65°
7．如图，要使五边形木架不变形，至少要再钉上几根木条（　　）
A．1根
B．2根
C．3根
D．4根
8．如图，△ABC的高CD、BE相交于点O，如果∠A＝60°，那么∠BOC的大小为（　　）
A．60°
B．100°
C．120°
D．130°
9．如图，在长方形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，点E是AB上的一点，且AE＝2BE．点P从点C出发，以2cm/s的速度沿点C﹣D﹣A﹣E匀速运动，最终到达点E．设点P运动时间为ts，若三角形PCE的面积为18cm2，则t的值为（　　）
A．或
B．或或
C．或6
D．或6或
10．已知a、b、c是△ABC的三条边长，化简|a+b﹣c|﹣|c﹣a﹣b|的结果为（　　）
A．2a+2b﹣2c
B．2a+2b
C．2c
D．0
11．如图，AD为△ABC的中线，AB＝13cm，AC＝10cm．若△ACD的周长28cm，则△ABD的周长为　
　．
12．在△ABC中，
（1）若∠A：∠B：∠C＝4：5：6，则∠C＝　
　度．
（2）若∠A＝∠B＝∠C，则∠B＝　
　度．
13．如图，E为△ABC的BC边上一点，点D在BA的延长线上，DE交AC于点F，∠B＝46°，∠C＝30°，∠EFC＝70°，则∠D＝　
　．
14．将一副三角板如图所示摆放，若∠BAE＝125°，则∠CAD的度数是　
　．
15．如图，将一副直角三角板如图放置，使两个三角形的一个顶点重合，两个直角三角形的斜边AE∥BC，则∠CAD的度数是　
　．
16．如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E，∠B＝32°，∠E＝26°，那么∠BAC的度数是　
　．
17．如图所示，在△ABC中，AD平分∠BAC，BE是高线，∠BAC＝50°，∠EBC＝20°，则∠ADC的度数为　
　．
18．如图，在△ABC中，AD，AE分别是边BC上的中线与高，AE＝4，CD的长为5，则△ABC的面积为　
　．
19．如图，BE是∠ABD的平分线，CF是∠ACD的平分线，BE与CF交于G，如果∠BDC＝140°，∠BGC＝110°，则∠A＝　
　．
20．如图，将△ABC纸片沿DE折叠，点A的对应点为A′，∠B＝60°，∠C＝80°，则∠1+∠2等于　
　．
21．如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，AE平分∠BAC，AE、CD相交于点F，若∠BAC＝∠DCB．求证：∠CFE＝∠CEF．
22．如图，已知∠DAE+∠CBF＝180°，CE平分∠BCD，∠BCD＝2∠E．
（1）CD与EF是否平行，请说明理由．
（2）若DF平分∠ADC，求∠DOC的度数（注：三角形的三个内角和等于180°）．
23．如图，已知在△ABC中，CE是外角∠ACD的平分线，BE是∠ABC的平分线．
（1）求证：∠A＝2∠E；
（2）若∠A＝∠ABC，求证：AB∥CE．
24．如图，在△ABC中，BE是△ABC角平分线，点D是AB上的一点，且满足∠DEB＝∠DBE．
（1）DE与BC平行吗？请说明理由；
（2）若∠C＝50°，∠A＝45°，求∠DEB的度数．
25．如图1，△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，AE⊥BC，垂足为E，CF∥AD．
（1）如图1，∠B＝30°，∠ACB＝70°，求∠CFE的度数；
（2）若（1）中的∠B＝α，∠ACB＝β（α＜β），则∠CFE＝　
　；（用α、β表示）
（3）如图2，（2）中的结论还成立么？请说明理由．
26．直角△ABC中，∠C＝90°，点D，E分别是边AC，BC上的点，点P是一动点，令∠PDA＝∠1，∠PEB＝∠2，∠DPE＝∠α．
（1）若点P在线段AB上，如图1所示，且∠α＝50°，则∠1+∠2＝　
　；
（2）若点P在边AB上运动，如图2所示，则∠α、∠1、∠2之间有何关系，并说明理由；
（3）如图3，若点P在斜边BA的延长线上运动（CE＜CD），请写出∠α、∠1、∠2之间的关系式．
27．已知：线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB．
（1）如图1，求证：∠A+∠D＝∠B+∠C；
（2）如图2，∠ADC和∠ABC的平分线DE和BE相交于点E，并且与AB、CD分别相交于点M、N，∠A＝28°，∠C＝32°，求∠E的度数；
（3）如图3，∠ADC和∠ABC的三等分线DE和BE相交于点E，并且与AB、CD分别相交于点M、N，∠CDE＝∠ADC，∠CBE＝∠ABC，试探究∠A、∠C、∠E三者之间存在的数量关系，并说明理由．
参考答案
1．解：∵三角形的两边长为2和5，
∴第三边x的长度范围是5﹣2＜x＜5+2，即3＜x＜7，
∴这个三角形的周长a范围是2+5+3＜a＜5+2+7，即10＜a＜14，
故选：B．
2．解：∵F是CE的中点，△AEF的面积为3，
∴S△ACE＝2S△AEF＝6cm2，
∵E是BD的中点，
∴S△ADE＝S△ABE，S△CDE＝S△BCE，
∴S△ACE＝S△ADE+S△CDE＝S△ABE+S△BCE＝S△ABC，
∴△ABC的面积＝12cm2．
故选：D．
3．解：根据三角形高线的定义，AC边上的高是过点B向AC作垂线垂足为D，
纵观各图形，①、②、③都不符合高线的定义，
④符合高线的定义．
故选：D．
4．解：三角形的角平分线、中线、高都是线段．
故选：B．
5．解：①∵CD平分∠ACB，
∴∠BCA＝2∠DCB，
∵∠CEG＝2∠DCB，
∴∠CEG＝∠BCA，
∴EG∥BC，故①正确；
②∵△ABC的角平分线CD、BE相交于F，
∴∠CBF＝∠CBA，∠BCF＝∠BCA，
∵∠A＝90°，
∴∠CBA+∠BCA＝90°，
∴∠CBF+∠BCF＝45°，即∠DFB＝45°，
∵∠DFB＝∠CGE，
∴∠CGE＝90°，即CG⊥EG．故②正确；
③∵CG⊥EG，
∴∠G＝90°，
∴∠GCE+∠CEG＝90°，
∵∠A＝90°，
∴∠BCA+∠ABC＝90°，
∵∠CEG＝∠ACB，
∴∠ECG＝∠ABC，
∵∠ADC＝∠ABC+∠DCB，∠GCD＝∠ECG+∠ACD，∠ACD＝∠DCB，
∴∠ADC＝∠GCD，故③正确；
④假设CA平分∠BCG，则∠ECG＝∠ECB＝∠CEG，
∴∠ECG＝∠CEG＝45°，显然不符合题意，故④错误．
故选：C．
6．解：如图：
∵AE平分∠BAC，BF平分∠ABD，
∴∠CAE＝∠BAE，∠1＝∠2，
设∠CAE＝∠BAE＝x，∠C＝y，∠ABC＝3y，
由外角的性质得：
∠1＝∠BAE+∠G＝x+20，∠2＝∠ABD＝（2x+y）＝x+y，
∴x+20＝x+y，解得y＝40°，
∴∠1＝∠2＝（180°﹣∠ABC）＝×（180°﹣120°）＝30°，
∴∠DFB＝60°．
故选：C．
7．解：如图，根据三角形的稳定性可知，要使五边形木架不变形，至少要再钉上2根木条，
故选：B．
8．解：如图，
∵CD、BE均为△ABC的高，
∴∠BEC＝∠ADC＝90°，
∵∠A＝60°，
∴∠OCE＝180°﹣∠ADC﹣∠A＝180°﹣90°﹣60°＝30°，
则∠BOC＝∠BEC+∠OCE＝90°+30°＝120°．
故选：C．
9．解：如图1，当点P在CD上，即0＜t≤3时，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝6cm，AD＝BC＝8cm．
∵CP＝2t（cm），
∴S△PCE＝×2t×8＝18，
∴t＝；
如图2，当点P在BC上，即3＜t≤7时，
∵AE＝2BE，
∴AE＝AB＝4．
∵DP＝2t﹣6，AP＝8﹣（2t﹣6）＝14﹣2t．
∴S△PCE＝×（4+6）×8﹣（2t﹣6）×6﹣（14﹣2t）×4＝18，
解得：t＝6；
当点P在AE上，即7＜t≤9时，
PE＝18﹣2t．
∴S△APE＝（18﹣2t）×8＝18，
解得：t＝＜7（舍去）．
综上所述，当t＝或6时△APE的面积会等于18．
故选：C．
10．解：根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边，
得a+b﹣c＞0，c﹣a﹣b＜0，
故|a+b﹣c|﹣|c﹣a﹣b|＝a+b﹣c+c﹣a﹣b＝0．
故选：D．
11．解：∵AD为△ABC的中线，
∴BD＝DC，
∵△ACD的周长28cm，
∴AC+AD+CD＝28（cm），
∵AC＝10cm，
∴AD+CD＝28（cm），即AD+BD＝28（cm），
∴△ABD的周长＝AB+AD+BD＝41（cm），
故答案为：41cm．
12．解：（1）设∠A＝4x°，则∠B＝5x°，∠C＝6x°，
依题意得：4x+5x+6x＝180，
解得：x＝12，
∴∠C＝6x°＝72°．
故答案为：72．
（2）设∠A＝y°，则∠B＝2y°，∠C＝3y°，
依题意得：y+2y+3y＝180，
解得：y＝30，
∴∠B＝2y°＝60°．
故答案为：60．
13．解：∵∠B＝46°，∠C＝30°，
∴∠DAC＝∠B+∠C＝76°，
∵∠EFC＝70°，
∴∠AFD＝70°，
∴∠D＝180°﹣∠DAC﹣∠AFD＝34°，
故答案为：34°．
14．解：∵∠BAE＝125°，
∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝125°﹣90°＝35°，
∴∠CAD＝∠CAE﹣∠DAE＝90°﹣35°＝55°，
故答案为：55°．
15．解：由三角板可得：∠C＝30°，∠EAD＝45°，
∵AE∥BC，
∴∠C＝∠EAF＝30°．
∵∠EAD＝45°，
∴∠CAD＝∠EAD﹣∠EAF＝15°．
故答案为：15°．
16．解：∵∠B＝32°，∠E＝26°，
∴∠ECD＝∠B+∠E＝58°，
∵CE是∠ACD的平分线，
∴∠ACE＝∠ECD＝58°，
∴∠BAC＝∠ACE+∠E＝84°，
故答案为：84°．
17．解：∵AD平分∠BAC，BE是高，∠BAC＝50°，
∴∠BAD＝∠BAC＝25°，∠ABE＝40°．
∵∠EBC＝20°，
∴∠ADC＝∠ABD+∠BAD＝∠ABE+∠EBC+∠BAD＝40°+20°+25°＝85°．
故答案为：85°．
18．解：∵AD是边BC上的中线，CD的长为5，
∴BC＝2CD＝10．
∴S△ABC＝BC?AE＝＝20．
故答案是：20．
19．解：连接BC，
∵∠BDC＝140°，
∴∠DBC+∠DCB＝180°﹣140°＝40°，
∵∠BGC＝110°，
∴∠GBC+∠GCB＝180°﹣110°＝70°，
∴∠GBD+∠GCD＝70°﹣40°＝30°，
∵BE是∠ABD的平分线，CF是∠ACD的平分线，
∴∠ABG+∠ACG＝∠GBD+∠GCD＝30°，
在△ABC中，∠A＝180°﹣40°﹣30°﹣30°＝80°．
故答案为：80°．
20．解：根据平角的定义和折叠的性质，得
∠1+∠2＝360°﹣2（∠3+∠4）．
又∵∠3+∠4＝180°﹣∠A，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠3+∠4＝∠B+∠C，
∵∠B＝60°，∠C＝80°，
∴∠3+∠4＝∠B+∠C＝140°，
∴∠1+∠2＝80°．
故答案为：80°．
21．证明：在△ABC中，CD是高，∠BAC＝∠DCB，
∴∠CDA＝90°，∠BAC+∠ACD＝90°，
∴∠DCB+∠ACD＝90°，
∴∠ACB＝90°；
∵AE是角平分线，
∴∠CAE＝∠BAE，
∵∠FDA＝90°，∠ACE＝90°，
∴∠DAF+∠AFD＝90°，∠CAE+∠CEA＝90°，
∴∠AFD＝∠CEA，
∵∠AFD＝∠CFE，
∴∠CFE＝∠CEA，
即∠CFE＝∠CEF．
22．解：（1）CD与EF平行．
∵CE平分∠BCD，
∴∠BCD＝2∠DCE，
又∵∠BCD＝2∠E，
∴∠E＝∠DCE，
∴CD∥EF；
（2）∵DF平分∠ADC，
∴∠CDF＝∠ADC，
∵∠BCD＝2∠DCE，
∴∠DCE＝∠DCB，
∵∠DAE+∠CBF＝180°，∠DAE+∠DAB＝180°，
∴∠CBF＝∠DAB，
∴AD∥BC；
∴∠ADC+∠DCB＝180°，
∴∠CDF+∠DCE＝（∠ADC+∠DCB）＝90°，
∴∠DOC＝90°．
23．证明：（1）∵∠ACD是△ABC的一个外角，∠2是△BCE的一个外角，（已知），
∴∠ACD＝∠ABC+∠A，∠2＝∠1+∠E（三角形外角的性质），
∴∠A＝∠ACD﹣∠ABC，∠E＝∠2﹣∠1（等式的性质），
∵CE是外角∠ACD的平分线，BE是∠ABC的平分线（已知），
∴∠ACD＝2∠2，∠ABC＝2∠1（角平分线的性质
），
∴∠A＝2∠2﹣2∠1（
等量代换），
＝2（∠2﹣∠1）（提取公因数），
＝2∠E（等量代换）；
（2）由（1）可知：∠A＝2∠E
∵∠A＝∠ABC，∠ABC＝2∠ABE，
∴2∠E＝2∠ABE，
即∠E＝∠ABE，
∴AB∥CE．
24．解：（1）DE∥BC．
理由如下：∵BE是△ABC的角平分线，
∴∠DBE＝∠EBC，
∵∠DEB＝∠DBE，
∴∠DEB＝∠EBC，
∴DE∥BC；
（2）在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C＝180°，
∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣45°﹣50°＝85°．
∵BE是△ABC的角平分线，
∴∠DBE＝∠EBC＝42.5°，
∴∠DEB＝∠EBC＝42.5°．
25．解：（1）∵∠B＝30°，∠ACB＝70°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝80°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝40°，
∵AE⊥BC，
∴∠AEB＝90°
∴∠BAE＝60°
∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝60°﹣40°＝20°，
∵CF∥AD，∠B＝α，∠ACB＝β，
∴∠CFE＝∠DAE＝20°；
（2）∵∠BAE＝90°﹣∠B，∠BAD＝∠BAC＝（180°﹣∠B﹣∠ACB），
∵CF∥AD，
∴∠CFE＝∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝90°﹣∠B﹣（180°﹣∠B﹣∠BCA）＝（∠ACB﹣∠B）＝β﹣α，
故答案为：β﹣α；
（3）（2）中的结论成立．
∵∠B＝α，∠ACB＝β，
∴∠BAC＝180°﹣α﹣β，
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAC＝∠BAC＝90°﹣α﹣β，
∵CF∥AD，
∴∠ACF＝∠DAC＝90°﹣α﹣β，
∴∠BCF＝β+90°﹣α﹣β＝90°﹣α+β，
∴∠ECF＝180°﹣∠BCF＝90°+α﹣β，
∵AE⊥BC，
∴∠FEC＝90°，
∴∠CFE＝90°﹣∠ECF＝β﹣α．
26．解：（1）∵∠1+∠2+∠CDP+∠CEP＝360°，∠C+∠α+∠CDP+∠CEP＝360°，
∴∠1+∠2＝∠C+∠α，
∵∠C＝90°，∠α＝50°，
∴∠1+∠2＝140°；
（2）由（1）得出：
∠α+∠C＝∠1+∠2，
∴∠1+∠2＝90°+α．
（3）如图，
分三种情况：连接ED交BA的延长线于P点
如图1，由三角形的外角性质，∠2＝∠C+∠1+∠α，
∴∠2﹣∠1＝90°+∠α；
如图2，∠α＝0°，∠2＝∠1+90°；
如图3，∠2＝∠1﹣∠α+∠C，
∴∠1﹣∠2＝∠α﹣90°．
27．（1）证明：∵∠A+∠D+∠AOD＝∠C+∠B+∠BOC＝180°，
∠AOD＝∠BOC，
∴∠A+∠D＝∠C+∠B；
（2）解：∵∠ADC和∠ABC的平分线DE和BE相交于点E，
∴∠ADE＝∠CDE，∠ABE＝∠CBE，
由（1）可得∠A+∠ADE＝∠E+∠ABE，∠C+∠CBE＝∠E+∠CDE，
∴∠A+∠C＝2∠E，
∵∠A＝28°，∠C＝32°，
∴∠E＝30°；
（3）解：∠A+2∠C＝3∠E．
理由：∵∠CDE＝∠ADC，∠CBE＝∠ABC，
∴∠ADE＝2∠CDE，∠ABE＝2∠CBE，
由（1）可得∠A+∠ADE＝∠E+∠ABE，∠C+∠CBE＝∠E+∠CDE，
∴2∠C+2∠CBE＝2∠E+2∠CDE，
∴∠A+2∠C+∠ADE+2∠CBE＝3∠E+∠ABE+2∠CDE，
即∠A+2∠C＝3∠E．