2020-2021学年八年级数学青岛版下册《6.4三角形的中位线定理》同步提升训练（word版含解析）

青岛版2021年度八年级数学下册《6.4三角形的中位线定理》同步提升训练（附答案）
1．如图，已知△ABC中，点M是BC边上的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，若AB＝8，MN＝2，则AC的长为（　　）
A．12
B．11
C．10
D．9
2．△ABC中，AB＝7，BC＝6，AC＝5，点D、E、F分别是三边的中点，则△DEF的周长为（　　）
A．4.5
B．9
C．10
D．12
3．如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝8，AD＝6，点M，N分别为线段BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为（　　）
A．8
B．7
C．6
D．5
4．已知等腰三角形的两条中位线的长分别为3和5，则此等腰三角形的周长为（　　）
A．22
B．26
C．22或26
D．13
5．如图，在△ABC中，D是AC的中点，且BD⊥AC，DE∥BC，交AB于点E，BC＝7cm，AC＝6cm，则△AED的周长等于（　　）
A．12cm
B．10cm
C．7cm
D．9cm
6．已知在四边形ABCD中，AB＝3，CD＝5，M，N分别是AD，BC的中点，则线段MN的取值范围是（　　）
A．1＜MN＜4
B．1＜MN≤4
C．2＜MN＜8
D．2＜MN≤8
7．如图，D、E分别为△ABC中AB、AC边上的中点，点F在DE上，且∠AFB＝90°，若AB＝5，BC＝8，则EF的长为（　　）
A．1
B．
C．2
D．
8．如图，△ABC周长20，D，E在边BC上，BN和CM分别是∠ABC和∠ACB的平分线，BN⊥AE，CM⊥AD，若BC＝8，则MN的长为（　　）
A．1
B．2
C．3
D．3
9．如图，D、E分别是△ABC的边AB和AC的中点，若BC＝18，则DE＝　
　．
10．如图，在△ABC中，D，E，F分别是边AB，BC，CA的中点，四边形BEFD周长为14，则AB+BC的长为　
　．
11．如图，在四边形ABCD中，点P是对角线BD的中点，点E、F分别是AB、CD的中点，AD＝BC，∠PEF＝30°，则∠EPF的度数是　
　．
12．如图，在△ABC中，∠ACB＝60°，BC＝2，D是AB的中点，E是AC上一点，若DE平分△ABC的周长，则DE的长等于　
　．
13．如图，△ABC中，DE是BC的垂直平分线，CE是∠ACB的平分线，FG为△ACE的中位线，连DF，若∠DFG＝108°，则∠AED＝　
　．
14．如图，已知△ABC中，∠BAC＝68°，点D、E、F分别是三角形三边AB，AC，BC的中点，AM是三角形BC边上的高，连接DM，EM，EF，则∠DME＝　
　°，∠DFE＝　
　°．
15．如图，D，E，F分别是△ABC各边的中点，AH是高，如果HF＝5cm，则ED的长为　
　．
16．如图，AD为△ABC中∠BAC的外角平分线，BD⊥AD于点D，E为BC中点，DE＝4，AC＝2，则AB长为　
　．
17．如图，Rt△ABC中，D，E分别是BC，AC的中点，BF平分∠ABC，交DE于点F．若AB＝10，BC＝6，则EF的长是　
　．
18．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，AC＝10，D，E分别是AC和BC上的点，且CE＝2，CD＝4，连接BD，AE．G、H分别是AE和BD的中点，连接GH，则线段GH的长为　
　．
19．如图，在△ABC中，AB＝12cm，AC＝8cm，AD、AE分别是其角平分线和中线，过点C作CG⊥AD于点F，交AB于点G，连接EF，求线段EF的长．
20．如图，等边△ABC的边长是4，D、E分别为AB、AC的中点，延长BC至点F，使CF＝BC，连接CD和EF．
（1）求证：DE＝CF；
（2）求EF的长．
21．如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，E、F分别是边DC、AB的中点，FE的延长线分别AD、BC的延长线交于点H、G，求证：∠AHF＝∠BGF．
22．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是边AB的中点，DE∥BC交AC于点E，连接BE，点F、G、H分别为BE、DE、BC的中点．
（1）求证：FG＝FH；
（2）当∠A为多少度时，FG⊥FH？并说明理由．
23．已知：如图，四边形ABCD中，对角线AC＝BD，E，F为AB、CD中点，连EF交BD、AC于P、Q求证：OP＝OQ．
24．已知：△ABC中，D是BC上的一点，E、F、G、H分别是BD、BC、AC、AD的中点，
求证：EG、HF互相平分．
25．如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，BE⊥AE于点E，点F是BC的中点．
（1）如图1，BE的延长线与AC边相交于点D，求证：EF＝（AC﹣AB）；
（2）如图2，请直接写出线段AB、AC、EF的数量关系．
26．△ABC的中线BD，CE相交于O，F，G分别是BO，CO的中点，求证：EF∥DG，且EF＝DG．
27．在△ABC中，D、E分别是AB，AC的中点，作∠B的角平分线
（1）如图1，若∠B的平分线恰好经过点E，猜想△ABC是怎样的特殊三角形，并说明理由．
（2）如图2，若∠B的平分线交线段DE于点F，已知AB＝8，BC＝10，求EF的长度．
（3）若∠B的平分线交直线DE于点F，直接写出AB、BC、EF三者之间的数量关系．
参考答案
1．解：如图，延长BN交AC于D，
在△ANB和△AND中，
，
∴△ANB≌△AND（ASA），
∴AD＝AB＝8，BN＝ND，
又∵M是△ABC的边BC的中点，
∴MN是△BCD的中位线，
∴DC＝2MN＝4，
∴AC＝AD+CD＝8+4＝12，
故选：A．
2．解：∵点D、E、F分别是三边的中点，
∴DE、EF、DF为△ABC的中位线，
∴DE＝AB＝×7＝，DF＝AC＝×5＝，EF＝BC＝×6＝3，
∴△DEF的周长＝++3＝9，
故选：B．
3．解：连接DN，
∵点E，F分别为DM，MN的中点，
∴EF是△MND的中位线，
∴EF＝DN，
∵点M，N分别为线段BC，AB上的动点，
∴当点N与点B重合时，DN最大，此时DN＝＝10，
∴EF长度的最大值为：×10＝5，
故选：D．
4．解：等腰三角形的两条中位线长分别为3和5，
根据三角形中位线定理可知，等腰三角形的两边长为6和10，
当腰为10时，则三边长为10，10，6时，周长为26；
当腰为6时，则三边长为6，6，10时，周长为22，
故选：C．
5．解：∵D是AC的中点，且BD⊥AC，
∴AB＝BC＝7cm，AD＝AC＝3cm，
∵ED∥BC，
∴AE＝BE＝AB＝3.5cm，ED＝BC＝3.5cm，
∴△AED的周长＝AE+ED+AD＝10（cm）．
故选：B．
6．解：连接BD，过M作MG∥AB交BD于G，连接NG．如图所示：
∵M是边AD的中点，AB＝3，MG∥AB，
∴MG是△ABD的中位线，
∴BG＝GD，MG＝AB＝，
∵N是BC的中点，BG＝GD，CD＝5，
∴NG是△BCD的中位线，
∴NG＝CD＝，
在△MNG中，由三角形三边关系可知NG﹣MG＜MN＜MG+NG，
即＜MN＜，
∴1＜MN＜4，
当MN＝MG+NG，即MN＝4时，四边形ABCD是梯形，
故线段MN长的取值范围是1＜MN≤4．
故选：B．
7．解：∵D、E分别为△ABC中AB、AC边上的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE＝BC＝4，
在Rt△AFB中，D是AB的中点，
∴DF＝AB＝，
∴EF＝DE﹣DF＝，
故选：B．
8．解：∵BN是∠ABC的平分线，
∴∠ABN＝∠EBN，
在△ABN和△EBN中，
，
∴△ABN≌△EBN（ASA），
∴BE＝BA，AN＝NE，
同理可得，CD＝CA，AM＝MD，
∵△ABC周长20，
∴AB+AC+BC＝20，
∴AB+AC＝20﹣BC＝12，
∴DE＝AB+AC﹣BC＝4，
∵AN＝NE，AM＝MD，
∴MN是△ADE的中位线，
∴MN＝DE＝2，故选：B．
9．解：∵D、E分别是△ABC的边AB和AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∵BC＝18，
∴DE＝9，
故答案为：9．
10．解：∵D，E，F分别是边AB，BC，CA的中点，
∴DF∥BC，EF∥AB，DF＝BC，EF＝AB，
∴四边形BEFD为平行四边形，
∵四边形BEFD周长为14，
∴DF+EF＝7，
∴AB+BC＝14．
故答案为14．
11．解：∵点P是对角线BD的中点，点E、F分别是AB、CD的中点，
∴PF＝BC，PE＝AD，又AD＝BC，
∴PE＝PF，
∴∠PFE＝∠PEF＝30°，
∴∠EPF＝120°，
故答案为：120°．
12．解：延长AC至M，使CM＝CB，连接BM，作CN⊥BM于N，
∵DE平分△ABC的周长，
∴ME＝EA，
∵AD＝DB，
∴DE＝BM，DE∥BM，
∵∠ACB＝60°，
∴∠BCM＝120°，
∵CM＝CB，
∴∠BCN＝60°，BN＝MN，
∴BN＝BC?sin∠BCN＝，
∴BM＝2，
∵AD＝DB，AE＝EM，
∴DE＝BM＝，
故答案为：．
13．解：∵DE是BC的垂直平分线，
∴BE＝CE，
∴∠EBC＝∠ECB，
设∠EBC＝∠ECB＝x，
∴∠AEC＝∠EBC+∠ECB＝2x，
∵CE平分∠ACB，
∴∠BCE＝∠ACE＝x，
∵FG是△ACE的中位线，
∴FG∥AC，
∴∠EFG＝∠ACE＝x，
∵D为BC的中点，F为CE的中点，
∴DF∥AB，
∴∠EFD＝∠AEF＝2x，
∵∠DFG＝∠GFE+∠EFD＝x+2x＝3x，
∴3x＝108°，
∴x＝36°，
∴∠AED＝∠AEC+∠CED＝2x+90°﹣x＝90°+x＝90°+36°＝126°，
故答案为：126°．
14．解：∵∠BAC＝68°，
∴∠B+∠C＝180°﹣68°＝112°，
∵AM是三角形BC边上的高，
∴∠AMB＝∠AMC＝90°，
在Rt△AMB中，D是AB的中点，
∴DM＝AB＝DB，
∴∠DMB＝∠B，
同理可得，∠EMC＝∠C，
∴∠DMB+∠EMC＝∠B+∠C＝112°，
∴∠DME＝180°﹣（∠DMB+∠EMC）＝68°，
∵点D、E、F分别是三角形三边AB，AC，BC的中点，
∴DF、EF分别是△ABC的中位线，
DF∥AC，EF∥AB，
∴∠DFB＝∠C，∠EFC＝∠B，
∴∠DFB+∠EFC＝∠B+∠C＝112°，
∴∠DFE＝180°﹣（∠DFB+∠EFC）＝68°，
故答案为：68；68．
15．解：∵AH是△ABC的高，
∴∠AHC＝90°，
∵∠AHC＝90°，F是边AC的中点，
∴AC＝2HF＝10，
∵D、E分别是△ABC各边的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE＝AC＝5（cm），
故答案为：5cm．
16．解：延长BD、CA交于点H，
在△ADH和△ADB中，，
∴△ADH≌△ADB（ASA）
∴BD＝DH，AB＝AH，
∵BD＝DH，BE＝EC，
∴CH＝2DE＝8，
∴AH＝CH﹣AC＝6，
∴AB＝AH＝6，
故答案为：6．
17．解：∵D、E分别是BC、AC的中点，
∴DE＝AB＝5，DE∥AB，BD＝BC＝3，
∴∠ABF＝∠DFB，
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠DBF，
∴∠DBF＝∠DFB，
∴DF＝DB＝3，
∴EF＝DE﹣DF＝2，
故答案为：2．
18．解：过A作AP∥BC，过B作BP∥AC，AP，BP交于P，
∴四边形ACBP是平行四边形，
∵∠ACB＝90°，
∴四边形ACBP是矩形，
∴PB＝AC＝10，AP＝BC＝6，∠APB＝90°，
连接CH并延长交
PB于M，连接CG并延长交AP于N，
∴∠BMH＝∠HCD，
∵H是BD的中点，
∴BH＝DH，
∵∠BHM＝∠DHC，
∴△CDH≌△MBH（AAS），
∴BM＝CD＝4，CH＝HM，
同理，AN＝CE＝2，CG＝GN，
∴PM＝6，PN＝4，
∴MN＝＝2，
∴HG＝MN＝，
故答案为：．
19．解：在△AGF和△ACF中，
，
∴△AGF≌△ACF（ASA）．
∴AG＝AC＝8cm，
∴GF＝CF，则BG＝AB﹣AG＝12﹣8＝4（cm）．
又∵BE＝CE，
∴EF是△BCG的中位线．
∴EF＝BG＝2cm．
答：EF的长为2cm，
20．（1）证明：∵D，E为AB，AC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DE∥BC，DE＝BC，
∵CF＝BC，
∴DE＝CF；
（2）解：由（1）可知，DE∥BC，DE＝CF，
∴四边形DCFE为平行四边形，
∴EF＝DC，
在等边△ABC中，D为AB中点，
∴CD⊥AB，
∴CD＝BC?sin60°＝2，
∴EF＝2．
21．证明：连接BD，取BD的中点P，连接EP，FP，
∵E、F、P分别是DC、AB、BD边的中点，
∴EP是△BCD的中位线，PF是△ABD的中位线，
∴PF＝AD，PF∥AD，EP＝BC，EP∥BC，
∴∠H＝∠PFE，∠BGF＝∠FEP，
∵AD＝BC，
∴PE＝PF，
∴∠PEF＝∠PFE，
∴∠AHF＝∠BGF．
22．（1）证明：∵AB＝AC．
∴∠ABC＝∠ACB，
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠ABC，∠AED＝∠ACB，
∴∠ADE＝∠AED，
∴AD＝AE，
∴DB＝EC，
∵点F、G、H分别为BE、DE、BC的中点，
∴FG是△EDB的中位线，FH是△BCE的中位线，
∴FG＝BD，FH＝CE，
∴FG＝FH；
（2）解：延长FG交AC于N，
∵FG是△EDB的中位线，FH是△BCE的中位线，
∴FH∥AC，FN∥AB，
∵FG⊥FH，
∴∠A＝90°，
∴当∠A＝90°时，FG⊥FH．
23．证明：取BC中点G，连EG、FG，
∵E，G为AB、BC中点，
∴EG＝AC，EG∥AC，
∴∠FEG＝∠OQP，
同理，FG＝BD，FG∥BD，
∴∠EFG＝∠OPQ，
∵AC＝BD，
∴EG＝FG，
∴∠FEG＝∠EFG，
∴∠OPQ＝∠OQP，
∴OP＝OQ．
24．证明：连接EH，GH，GF，
∵E、F、G、H分别是BD、BC、AC、AD的中点，
∴AB∥EH∥GF，GH∥BC∥BF．
∴四边形EHGF为平行四边形．
∵GE，HF分别为其对角线，
∴EG、HF互相平分．
25．（1）证明：如图1中，
∵AE平分∠BAC，BE⊥AE于点E，
∴△ABD是等腰三角形，
∴BE＝DE，
∵BF＝FC，
∴EF＝DC＝＝（AC﹣AB）．
（2）结论：EF＝（AB﹣AC），
理由：如图2中，延长AC交BE的延长线于P．
∵AE⊥BP，
∴∠AEP＝∠AEB＝90°，
∴∠BAE+∠ABE＝90°，∠PAE+∠APE＝90°，
∵∠BAE＝∠PAE，
∴∠ABE＝∠ADE，
∴AB＝AP，
∵AE⊥BD，
∵E为BP的中点，
∴BE＝PE，
∵点F为BC的中点，
∴BF＝FC，
∴EF＝PC＝（AP﹣AC）＝（AB﹣AC）．
26．证明：连接DE，FG，
∵BD，CE是△ABC的中线，
∴D，E是AB，AC的中点，
∴DE∥BC，DE＝BC，
同理：FG∥BC，FG＝BC，
∴DE∥FG，DE＝FG，
∴四边形DEFG是平行四边形，
∴EF∥DG，EF＝DG．
27．解：（1）∵D、E分别是AB，AC的中点，
∴DE＝BC，DE∥BC，
∴∠DEB＝∠EBC，
∵BE是∠B的角平分线，
∴∠DBE＝∠EBC，
∴∠DEB＝∠DBE，
∴DE＝DB＝AB，
∴AB＝BC，
∴△ABC是等腰三角形；
（2）由（1）得，DE＝BC＝5，DF＝AB＝4，
∴EF＝DE﹣DF＝1；
（3）当点F在线段DE上时，由（2）得，EF＝（BC﹣AB）；
当点F在线段DE的延长线上时，EF＝（AB﹣BC）．