第7章 三角函数 同步综合测试-2021-2022学年高一上学期苏教版（2019）必修第一册(Word含答案解析)

第7章　三角函数
(全卷满分150分,考试用时120分钟)
一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)　　　　　
　　　　　　
　　　　　　
1.(2021江苏江阴淮安高一月考)使函数f(x)=2sin为偶函数的φ的一个值为
(　　)
A.
2.(2021江苏江阴南菁高级中学高一期中)终边落在第一象限和第三象限的角平分线上的角的集合是
(　　)
A.{α|α=45°+k·360°,k∈Z}　　　　
B.{α|α=-135°+k·180°,k∈Z}
C.{α|α=-135°+k·360°,k∈Z}　　　　
D.{α|α=135°+k·180°,k∈Z}
3.(2021江苏南通高一期末)已知函数f(x)满足f(x)=f(x+2π),且当x∈[-π,π]时,f(x)==
(　　)
A.
4.(2021江苏苏州实验中学高一期中)将函数f(x)=sin个单位长度,得到函数g(x)的图象,则函数g(x)图象的一条对称轴方程为
(　　)
A.x=
5.(2021山东东营第一中学高一月考)《九章算术》大约成书于公元一世纪,是我国著名的数学著作.经过两千多年的传承,它的贡献一方面是所解决生活应用问题的示范,另一方面是所蕴含的数学思想,这对我国古代数学的发展起着巨大的推动作用.如在第一章《方田三七》中介绍了环田(即圆环)面积的计算方法:将圆环剪开拉直成为一个等腰梯形,如图,这个等腰梯形的面积就是圆环的面积.据此思想我们可以计算扇环的面积.中国折扇扇面艺术由来已久,传承着唐宋以来历代书画家的诗情画意.今有一扇环折扇,扇面外弧长40
cm,内弧长20
cm,该扇面面积为450
cm2,则扇面扇骨(内、外环半径之差的绝对值)长为
(　　)
A.10
cm　　　　B.15
cm　　　　C.20
cm　　　　D.25
cm
6.(2021江苏常熟中学高一期中)当θ∈(0,π)时,若cos,则tan的值为
(　　)
A.
7.(2021江苏昆山震川高级中学高一月考)已知函数y=f(x)和y=g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且f(0)=-4,f(x)=g(x+2),则g(x)的解析式可以是
(　　)
A.g(x)=-4sin　　　　B.g(x)=4sin
C.g(x)=-4cos　　　　D.g(x)=4cos
8.(2021江苏如皋石庄高级中学高一期中)已知函数f(x)=cos(2x+φ)(-π≤φ≤π)的图象向右平移个单位长度后,与函数g(x)=sin
2x的图象重合,则f(x)的单调递减区间为
(　　)
A.(k∈Z)　　　　B.(k∈Z)
C.(k∈Z)　　　　D.(k∈Z)
二、多项选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分)
9.(2021河北石家庄辛集中学高一期末)给出下列四个结论,其中正确的结论是(　　)
A.sin(π+α)=-sin
α成立的条件是角α是锐角
B.若cos(nπ-α)=(n∈Z),则cos
α=
C.若α≠(k∈Z),则tan
D.若sin
α+cos
α=1,则sinnα+cosnα=1(n∈N
)
10.(2021湖南长沙雅礼中学高一开学考试)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则下列说法正确的是
(　　)
A.函数y=f(x)的最小正周期为π
B.函数y=f(x)在上单调递减
C.函数y=f(x)的图象关于直线x=-对称
D.函数y=f(x)的图象向右平移个单位长度可得y=2sin
2x的图象
11.(2021江苏泰兴中学高一月考)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)的最小正周期为π,将该函数的图象向左平移个单位长度后,得到的图象对应的函数为偶函数,则下列说法正确的是
(　　)
A.f(0)=
B.函数y=f(x)的图象关于直线x=对称
C.函数y=f(x)的图象关于点对称
D.函数y=f(x)的图象关于直线x=对称
12.(2021江苏常州金坛第一中学高一期中)已知函数f(x)=若f(a)=f(b)=f(c)=f(d),且a(　　)
A.ab=1
B.c+d=26π
C.abcd的取值范围是(153,165)
D.a+b+c+d的取值范围是
三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)
13.(2021江苏海头高级中学高一期中)某饭店顶层旋转餐厅的半径为20米,该餐厅每分钟旋转弧度,则餐厅边缘一点1小时所转过的弧长是　　　　米.?
14.(2021江苏苏州第一中学校高一月考)田忌赛马是中国古代对策论与运筹思想的著名范例,故事中齐将田忌与齐王赛马,孙膑献策以下等马对齐王上等马,以上等马对齐王中等马,以中等马对齐王下等马,结果田忌一负两胜获胜.该故事中以局部的牺牲换取全局的胜利成为军事上一条重要的用兵规律.在比大小游戏中(大者为胜),已知我方的三个数为a=cos
θ,b=sin
θ+cos
θ,c=cos
θ-sin
θ,对方的三个数以及排序如表:
第一局
第二局
第三局
对方
tan
θ
sin
θ
当0<θ<时,我方必胜的排序是　　　　.?
15.(2021湖北武汉蔡甸汉阳一中高一开学考试)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(2-x)+f(x)=0,当x∈(0,1]时,f(x)=-log2x,若函数F(x)=f(x)-sin
πx的图象在区间[-2,m]上与x轴有2
021个交点,则m的取值范围是　　　　.?
16.(2021江苏南京宁海中学高一月考)已知函数f(x)=Atan(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|
<,且过点(0,-3),则f(x)=
　　　　,满足f(x)≥的x的取值范围为　　　　　　.?
四、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)(2021江苏宜兴中学高一期中)已知sin(3π+θ)=,求的值.
18.(12分)(2021江苏江阴成化高级中学高一期中)已知函数f(x)=sin-1,x1,x2是方程f(x)=0的两个不相等的实根,且|x1-x2|的最小值为π.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若x∈,f(x)的值域是,求m的取值范围.
19.(12分)(2021江苏苏州第五中学高一月考)摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施,游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上转,可以从高处俯瞰四周景色.位于潍坊滨海的“渤海之眼”摩天轮是世界上最大的无轴式摩天轮,该摩天轮轮盘直径为124米.游客在座舱转到距离地面最近时的位置进舱,当到达最高点时距离地面145米,匀速转动一周大约需要30分钟.从游客甲坐上摩天轮的座舱时开始计时.
(1)经过t分钟后游客甲距离地面的高度为H米,已知H关于t的函数关系式为H(t)=Asin(ωt+φ)+B其中A>0,ω>0,|φ|≤,求摩天轮转动一周的解析式H(t);
(2)游客甲坐上摩天轮多长时间后,距离地面的高度第一次恰好达到52米?
20.(12分)(2021河北邯郸高一期末)函数f(x)=Acos(ωx+φ)其中A>0,ω>0,|φ|<的部分图象如图所示,先把函数f(x)图象上各点的横坐标变为原来的(纵坐标不变),再把得到的函数图象向左平移个单位长度,然后将新得到的函数图象向上平移1个单位长度,得到函数g(x)的图象.
(1)求函数g(x)图象的对称中心;
(2)当x∈时,求g(x)的值域;
(3)当x∈时,方程[g(x)]2+(2-m)g(x)+3-m=0有解,求实数m的取值范围.
21.(12分)(2021江苏南通白蒲高级中学高一月考)函数f(x)=cos(ωx+φ)ω>0,|φ|<的部分图象如图所示.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若?x∈,[f(x)]2-mf(x)-1≤0恒成立,求m的取值范围.
22.(12分)(2021湖南名校高一上联考)已知函数f(x)=sin
x,g(x)=cos
x.用m(x)表示f(x),g(x)中的较小者,记为m(x)=min{f(x),g(x)}.
(1)求y=f
上的值域;
(2)若f(θ),g(θ)是关于x的方程x2-ax+a=0(a∈R)的两个实数根,求a的值;
(3)若x∈[0,2π],且方程m(x)=b有两个实数根,求实数b的取值范围.
答案
第7章　三角函数
1.D　∵函数f(x)为偶函数,∴φ+=(k为奇数),∴φ=-(k为奇数).
当k=-1时,φ=-.故选D.
2.B　终边落在第一象限的角平分线上的角的集合是{α|α=45°+k·360°,k∈Z}.①
终边落在第三象限的角平分线上的角的集合是{α|α=-135°+k·360°,k∈Z}.②
由①②得终边落在第一象限和第三象限的角平分线上的角的集合是{α|α=-135°+k·180°,k∈Z}.故选B.
3.B　因为f(x)=f(x+2π),所以f(-π)=f(π),故2sin=a×(-π),
故a=-,所以f=f=f=f=.
故选B.
4.C　由题意可得g(x)=sin=sin=-cos.
令=kπ,k∈Z.解得x=2kπ,k∈Z,当k=1时,x=2π.故选C.
5.B　依题意知扇骨长即为等腰梯形的高,扇面内、外弧长即为等腰梯形的两底.设扇面扇骨长为x(x>0)cm,则×(40+20)·x=450,解得x=15.故选B.
6.A　因为θ∈(0,π),所以-θ∈(-π,0),所以-θ∈,
因为cos=-<0,所以-θ∈,
所以sin==,所以tan=tan=-tan=-=.故选A.
7.A　因为g(x)为定义在R上的奇函数,所以排除C,D.
因为f(0)=-4,f(x)=g(x+2),所以g(2)=-4.
对于A,g(2)=-4sin=-4,符合题意;
对于B,g(2)=4sin
π=0,不符合题意.故选A.
8.C　函数f(x)=cos(2x+φ)(-π≤φ≤π)的图象向右平移个单位长度后,
可得函数y=cos=cos的图象.
因为所得的图象与g(x)=sin
2x的图象重合,
所以cos=sin
2x=cos,
所以-+φ=-+2kπ(k∈Z),所以φ=-+2kπ(k∈Z).
因为-π≤φ≤π,所以φ=-,所以f(x)=cos.
令2kπ≤2x-≤2kπ+π(k∈Z),解得kπ+≤x≤kπ+(k∈Z),
即f(x)的单调递减区间为(k∈Z).故选C.
9.CD　由诱导公式四知,当α∈R时,sin(π+α)=-sin
α,所以A错误.
当n=2k(k∈Z)时,cos(nπ-α)=cos(-α)=cos
α,此时cos
α=;
当n=2k+1(k∈Z)时,cos(nπ-α)=cos[(2k+1)π-α]=cos(π-α)=-cos
α,此时cos
α=-,所以B错误.
若α≠(k∈Z),则tan===,所以C正确.
将等式sin
α+cos
α=1两边平方并化简,得sin
αcos
α=0,故sin
α=0或cos
α=0.
若sin
α=0,则cos
α=1,此时sinnα+cosnα=1;若cos
α=0,则sin
α=1,此时sinnα+cosnα=1.故sinnα+cosnα=1,所以D正确.
故选CD.
10.ACD　由题图可知A=2,最小正周期T=4×=π,故A正确.
∴ω==2,
由解得φ=,故函数f(x)=2sin.
当-≤x≤-时,-π≤2x+≤0,所以y=f(x)在上不单调,故B错误.
当x=-时,f=2sin=-2,故直线x=-是y=f(x)的一条对称轴,故C正确.
函数y=f(x)的图象向右平移个单位长度得到y=2sin=2sin
2x的图象,故D正确.故选ACD.
11.ABC　∵函数f(x)=sin(ωx+φ)的最小正周期为=π,
∴ω=2,∴f(x)=sin(2x+φ).
将该函数的图象向左平移个单位长度后,得到y=sin的图象,
∵得到的图象对应的函数为偶函数,∴+φ=+2kπ(k∈Z),∴φ=+2kπ(k∈Z),又|φ|<,∴φ=,∴f(x)=sin.
对于选项A,f(0)=sin=,故A正确;
对于选项B,f=sin=1,故B正确;
对于选项C,f=sin=0,故C正确;
对于选项D,f=sin=sin=,故D错误.
故选ABC.
12.ACD　由|log3x|≤2可得-2≤log3x≤2,解得≤x≤9.
作出函数f(x)的图象如图所示:
由图象可得由|log3a|=|log3b|,可得-log3a=log3b,即log3a+log3b=log3(ab)=0,∴ab=1,A选项正确.
令+=+kπ(k∈Z),解得x=4k+1(k∈Z),
当x∈(9,17)时,令9<4k+1<17,解得2∴函数y=2sin(x∈[9,17])的图象关于直线x=13对称,
∴点(c,f(c))、(d,f(d))关于直线x=13对称,∴c+d=26,B选项错误.
abcd=c(26-c)=-(c-13)2+169,∵c∈(9,11),∴abcd∈(153,165),C选项正确.
a+b+c+d=a++26,易知函数y=a+在上为减函数,∴a+b+c+d=a++26∈,D选项正确.
故选ACD.
13.答案　100
解析　依题意可得圆心角的弧度数α=×60=5弧度,半径r=20米,
根据弧长公式可得餐厅边缘一点1小时所转过的弧长l=r·α=20×5=100米.　
14.答案　c,b,a
解析　当0<θ<时,cos
θ-sin
θθθ+sin
θ,sin
θθ<,tan
θθ+cos
θ,sin
θθ.故我方必胜的排序为c,b,a.　
15.答案　
解析　因为函数f(x)为定义在R上的奇函数,所以f(0)=0,且f(-x)=-f(x).
因为f(2-x)+f(x)=0,所以f(2-x)=-f(x),所以f(2-x)=f(-x),所以函数f(x)的图象关于点(1,0)对称,且周期为2.
易知函数y=sin
πx的周期为2,且关于点(k,0)(k∈Z)对称.由图象可知,函数f(x)=-log2x和y=sin
πx的图象在[-1,1)上存在4个交点.
即一个周期内与x轴有4个交点,
要使得函数F(x)=f(x)-sin
πx的图象在区间[-2,m]上与x轴有2
021个交点,只需函数F(x)=f(x)-sin
πx在[0,m]上与x轴有2
017个交点.
如果m是第2
017个交点,那么m=×2=1
008;如果m是第2
018个交点,那么m=1
008+=.故m∈.
16.答案　3tan;(k∈Z)
解析　由题意可得f(x)的最小正周期T=-==,所以ω=,则f(x)=Atan.因为它的图象过点,所以tan=0,即tan=0,所以+φ=kπ(k∈Z),解得φ=kπ-(k∈Z),又|φ|<,所以φ=-,于是f(x)=Atan.因为它的图象过点(0,-3),所以Atan=-3,解得A=3,所以f(x)=3tan.
由3tan≥,得tan≥,则kπ+≤-17.解析　由sin(3π+θ)=,可得sin
θ=-.
(2分)
+
=+
(4分)
=+
(6分)
=
==.
(8分)
将sin
θ=-代入,得原式=18.
(10分)
18.解析　(1)因为|x1-x2|的最小值为π,所以f(x)的最小正周期T=π=,
(2分)
解得ω=1,所以函数f(x)的解析式为f(x)=sin-1.
(4分)
(2)由≤x≤m,可得≤2x-≤2m-.
(6分)
因为f(x)的值域是,所以sin∈.
(8分)
结合y=sin
x的图象(图略)可知,≤2m-≤,
(10分)
解得≤m≤,所以m的取值范围是.
(12分)
19.解析　(1)∵该摩天轮轮盘直径为124米,且摩天轮最高点距离地面145米,
∴摩天轮最低点距离地面145-124=21米,即H(t)max=145,H(t)min=21.
∴解得
(2分)
∵摩天轮匀速转动一周大约需要30分钟,
∴H(t)的最小正周期T=30,
∴ω===,∴H(t)=62sin+83.
(4分)
又H(0)=62sin
φ+83=21,∴sin
φ=-1,∴φ=+2kπ,k∈Z,
∵|φ|≤,∴φ=-,
∴H(t)=62sin+83=-62cost+83(0≤t≤30).
(6分)
(2)令-62cost+83=52,则cost=.
(8分)
∵要求摩天轮第一次距离地面的高度为52米的时间,∴0≤t≤15,
(10分)
∴0≤t≤π,∴t=,∴t=5.
∴游客甲坐上摩天轮5分钟后,距离地面的高度第一次恰好达到52米.
(12分)
20.解析　(1)设f(x)的最小正周期为T.根据题中图象可知A=1,T=-,
∴T=π,∴ω==2,∴f(x)=cos(2x+φ).
(2分)
将代入,得cos=-1,即+φ=2kπ+π,k∈Z,解得φ=2kπ-,k∈Z.∵|φ|<,∴φ=-,∴f(x)=cos.
(4分)
由题意得g(x)=cos+1.
令4x+=+kπ,k∈Z,解得x=-+,k∈Z.
∴函数g(x)图象的对称中心的坐标为,k∈Z.
(6分)
(2)当x∈时,4x+∈,∴cos∈,
∴g(x)=cos+1∈,即g(x)的值域为.
(8分)
(3)[g(x)]2+(2-m)g(x)+3-m=0?[g(x)]2+2g(x)+3=m[g(x)+1]?m=.
(10分)
令s=g(x)+1,由(2)知s∈,∴m==s+.
易得函数y=s+在[1,]上单调递减,在上单调递增,
∴mmax=,mmin=2,∴m∈.
(12分)
21.解析　(1)设f(x)的最小正周期为T.由题图可知T=-=,即T=π.
由T=,解得ω=2.
(2分)
由题图知函数f(x)=cos(2x+φ)的图象过点,
∴cos=1,即cos=1,
∴+φ=2kπ,k∈Z,解得φ=-+2kπ,k∈Z.
又|φ|<,∴φ=-.∴f(x)=cos.
(4分)
(2)∵x∈,∴2x-∈,∴cos∈,
即f(x)∈.
令t=f(x)∈,则由题可知?t∈,t2-mt-1≤0恒成立.
(6分)
令g(t)=t2-mt-1,t∈,其图象为开口向上,对称轴为直线t=的抛物线的一部分.
①当m≤-1时,函数g(t)在上单调递增,则g(t)max=g(1)=-m,令-m≤0,解得m≥0,此时无解;
(8分)
②当-1(10分)
③当m≥2时,函数g(t)在上单调递减,则g(t)max=g=-,令-≤0,解得m≤,此时无解.
综上可知,m的取值范围是0≤m≤.
(12分)
22.解析　(1)因为f(x)=sin
x,
所以y=f=sin.
(2分)
因为x∈,所以2x-∈,
所以y=sin∈,
即y=f在区间上的值域为.
(4分)
(2)由已知得Δ=(-a)2-4a≥0,解得a≥4或a≤0.
(6分)
根据题意得
又(sin
θ+cos
θ)2=1+2sin
θcos
θ,所以a2-2a-1=0,
所以a=1-或a=1+(舍去).因此a=1-.
(8分)
(3)由题意可得m(x)=因此函数m(x)的图象如图所示:
(10分)
若x∈[0,2π],m(x)=b有两个实数根,则y=m(x)的图象与直线y=b有两个交点,
所以b∈∪∪{-1}.
(12分)