解三角形单元检测A卷-2020-2021学年高一下学期数学苏教版(2019)必修第二册(Word含答案解析)

单元检测三　解三角形(A卷)
一、
单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.
在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c.若A＝45°，B＝60°，a＝10，则b的值为(　　)
A.
2　
B.
3　
C.
4　
D.
5
2.
在△ABC中，a＝6，B＝30°，C＝120°，则△ABC的面积是(　　)
A.
9　
B.
7　
C.
5　
D.
3
3.
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若bsinB－asinA＝asinC，且△ABC的面积为a2sinB，则cosB等于(　　)
A.
　
B.
　
C.
　
D.
4.
在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c.若S△ABC＝(a2＋b2－c2)，则C的大小为(　　)
A.
30°　
B.
45°　
C.
60°　
D.
90°
5.
在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c.若sin
A＝sin
C，B＝30°，b＝2，则△ABC的面积是(　　)
A.
　
B.
　
C.
　
D.
2
6.
已知△ABC的最长边为，且tan
A＝，tan
B＝，则该三角形的最短边的长为(　　)
A.
　
B.
　
C.
　
D.
1
7.
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知2cos
A(bcos
C＋ccos
B)＝a，则A的大小为(　　)
A.
　
B.
　
C.
　
D.
8.
在四边形ABCD中，B＝C＝120°，AB＝4，BC＝CD＝2，则该四边形的面积等于(　　)
A.
2　
B.
3
C.
4　
D.
5
二、
多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
9.
下列选项中，能使△ABC有唯一解的是(　　)
A.
a＝5，c＝2，A＝90°
B.
a＝30，b＝25，A＝150°
C.
b＝18，c＝20，B＝60°
D.
a＝8，b＝16，A＝30°
10.
在△ABC中，给出下列4个命题，其中正确的命题是
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．,则
11.
在中，角，，所对的边分别为，，，且，则下列结论正确的是（
）
A．
B．是钝角三角形
C．的最大内角是最小内角的倍
D．若，则外接圆半径为
12.
已知的内角所对的边分别为，下列四个命题中正确的命题是（
）
A．若，则一定是等边三角形
B．若，则一定是等腰三角形
C．若，则一定是等腰三角形
D．若，则一定是锐角三角形
三、
填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13.
在△ABC中，a，b，c为角A，B，C所对的边．若B＝，b＝2，则2a＋c的最大值为________．　　
14.
如图，为测量山高MN，选择A和另一座的山顶C为测量观测点，从A点测得M点的仰角，C点的仰角以及；从C点测得，已知山高，则山高
______
?m．
15.
在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若S△ABC＝2，a＋b＝6，＝2cos
C，则c＝________．
16.
在△ABC中，A＝，S△ABC＝，5sinB＝3sinC，则bc＝________，△ABC的周长为________．
四、
解答题：本题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.
(本小题满分10分)
在△ABC中，a2＋c2－ac＝b2(其中a，b，c分别为角A，B，C的对边)．
(1)
若tanA＝，求tanC的值；
(2)
若△ABC的面积为10，且a＋c＝13，求b的值．
18.
(本小题满分12分)
如图，某河段的两岸可视为平行，为了测量该河段的宽度，在河的一边选取两点A，B，观察对岸的点C，测得∠CAB＝75°，∠CBA＝45°，且AB＝100
m，求该河段的宽度.
19.
(本小题满分12分)
在中，角所对的边分别为，且满足．
(1)求角的大小；
(2)求的最大值.
20.如图，已知半圆O的半径是1，点C在直径AB的延长线上，BC＝1，点P是半圆O上的一个动点，以PC为斜边作等腰直角三角形PCD，点D与圆心O分别在PC的两侧.
(1)
若∠POB＝θ，试将四边形OCDP的面积S表示为θ的函数；
(2)
求四边形OCDP面积S的最大值.
21.
(本小题满分12分)
在△ABC中，已知点D在BC边上，且2BD＝DC，AB＝2，AD＝.
(1)
若AD⊥BC，求tan∠BAC的值；
(2)
若cosB＝，求线段AC的长.
22.已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且
(1)
求角A的大小；
(2)
现给出三个条件：①
a=1；②
b=2sinB；③
2c-(3+1)b=0.
试从中选择两个条件求△ABC的面积(注：只需选择一个方案答题，如果用多种方案答题，则按第一种方案给分).
单元检测三　解三角形(A卷)
1.
D　解析：由＝得，b＝＝＝5.故选D.
2.
A　解析：
由条件易得，A＝B＝30°，∴
b＝a＝6，S＝absin
C＝×6×6×＝9.故选A.
3.
B　解析：因为△ABC的面积为a2sinB，所以acsinB＝a2sinB，即c＝2a.
由bsinB－asinA＝asinC，得b2－a2＝ac＝a2，即b＝a.
所以cos
B＝＝＝.故选B.
4.
C　解析：根据三角形面积公式得S＝absin
C＝(a2＋b2－c2)，∴
sin
C＝·.由余弦定理得cos
C＝，∴
sin
C＝cos
C，tan
C＝，∴
C＝60°.故选C.
5.
C　解析：由sin
A＝sin
C，得＝＝，a＝c，cos
B＝＝＝，∴
c＝2，于是a＝2，
∴
S△ABC＝acsin
B＝.故选C.
6.
D　解析：∵
tan
A＝，tan
B＝，∴
0°＜B＜A＜45°，∴
b是最短边，B＋A＜90°，∴
C为钝角，∴
c＝.tan(A＋B)＝＝1，∴
A＋B＝45°，∴
C＝135°.由tan
B＝，得sin
B＝.由正弦定理＝，得b＝＝1.故选D.
7.
B　解析：由正弦定理可知2cos
A(sin
Bcos
C＋sin
Ccos
B)＝sin
A，即2cos
Asin
A＝sin
A．因为A∈(0，π)，所以sin
A≠0，所以2cos
A＝1，即cos
A＝，故A＝.故选B.
8.
D　解析：如图，连结BD，在△DBC中，BC＝CD＝2，∠BCD＝120°，所以BD＝2，AB⊥BD，所以四边形ABCD的面积为S△ABD＋S△CBD＝×4×2＋×2×2×sin
120°＝5.故选D.
9.
ABD　解析：A
中，∵
A＝90°，a＝5，c＝2，∴
b＝＝＝，有唯一解；B中，A＝150°，a>b，有唯一解；C
中，sin
C＝＝，且c>b，∴
C>B，∴
C可能是锐角，也可能是钝角，故有两解；D
中，由＝，得sin
B＝＝1，∴
B＝90°，即只有一解．故选ABD.
10.
【答案】ABD
【解析】A.
若，则所以，所以该选项是正确的；
B.
若，则，所以该选项是正确的；
C.
若，设,所以该选项错误.
D.
,则所以,故该选项正确.
故选：A,B,D.
11.
【答案】
ACD
【解析】因为
所以可设：（其中），解得：
所以，所以A正确；
由上可知：边最大，所以三角形中角最大，
又，所以角为锐角，所以B错误；
由上可知：边最小，所以三角形中角最小，
又，
所以,所以
由三角形中角最大且角为锐角可得：，
所以，所以C正确；
由正弦定理得：，又
所以，解得：，所以D正确；
故选：ACD
12.
【答案】
AC
【解析】由，利用正弦定理可得，即，是等边三角形，正确；
由正弦定理可得，或，
是等腰或直角三角形，不正确；
由正弦定理可得，即，
则等腰三角形，正确；
由正弦定理可得，角为锐角，角不一定是锐角，不正确，故选AC.
13.
4　解析：由＝＝＝4，得a＝4sinA，c＝4sinC，
∴
2a＋c＝8sinA＋4sinC＝8sinA＋4sin(120°－A)＝10sinA＋2cosA＝4sin(A＋φ)，　
∴
2a＋c的最大值是4.
14.
【解析】中，，，
．
中，，
，由正弦定理可得，解得．
中，，
故答案为．
15.
2　解析：∵
＝2cos
C，由正弦定理，得sin
Acos
B＋cos
Asin
B＝2sin
Ccos
C，∴
sin(A＋B)＝sin
C＝2sin
Ccos
C．由于0＜C＜π，sin
C≠0，
∴
cos
C＝，∴
C＝.
∵
S△ABC＝2＝absin
C＝ab，
∴
ab＝8.又a＋b＝6，∴
或
∴
c2＝a2＋b2－2abcos
C＝4＋16－8＝12，∴
c＝2.
16.
15　8＋　解析：∵
S△ABC＝bcsinA＝bc×＝，∴
bc＝15.
由5sinB＝3sinC，根据正弦定理得5b＝3c.
由解得b＝3，c＝5.由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA＝b2＋c2－bc＝9＋25－15＝19，即a＝，∴
△ABC的周长为8＋.
17.
解：(1)
在△ABC中，a2＋c2－ac＝b2，∴
cosB＝＝＝.
∵
B∈(0，π)，∴
B＝.
∵
tanA＝，∴
tanC＝－tan(A＋B)＝－＝－＝－3.
(2)∵
△ABC的面积为10，
∴
acsinB＝10，∴
ac＝40.
∵
a＋c＝13，
∴
b2＝a2＋c2－2accos60°＝(a＋c)2－3ac＝169－120＝49，得b＝7.
18.
解：如图，过点B作BD垂直于对岸CD，垂足为D，则BD的长就是该河段的宽度．
在△ABC中，∠CAB＝75°，∠CBA＝45°，∴
∠ACB＝180°－∠CAB－∠CBA＝60°.由正弦定理得＝.∵
sin
75°＝sin(30°＋45°)
＝sin
30°cos
45°＋cos
30°sin
45°
＝×＋×＝，
∴
BC＝＝.
在Rt△BDC中，∵
∠BCD＝∠CBA＝45°，
∴
BD＝BCsin
45°＝·sin
45°
＝×＝
(m)．
19.
15．解(1)由及正弦定理得
，
在中，，
．
(2)由(1)，，
因为，所以当时，的
最大值为2．
20.解：(1)
在△POC中，由余弦定理，得
PC2＝OP2＋OC2－2OP·OC·cos
θ
＝5－4cos
θ，
所以S＝S△OPC＋S△PCD＝×1×2sin
θ＋×(5－4cos
θ)＝sin(θ－45°)＋(0°＜θ＜180°)．
(2)
当θ－45°＝90°，即θ＝135°时，S取最大值＋.
21.
解：(1)
AD⊥BC时，BD＝＝，tan
∠BAD＝1.
由DC＝2BD，可得DC＝2，
则tan∠CAD＝2，
tan∠BAC＝tan(∠BAD＋∠CAD)＝＝－3.
(2)
在△ABD中，由余弦定理得
cosB＝，
则＝，即BD2－3BD＋2＝0，解得BD＝1或2.
当BD＝1时，BC＝3，在△ABC中，由余弦定理得
AC＝
＝＝2；
当BD＝2时，BC＝6，在△ABC中，由余弦定理得
AC＝
＝＝.
所以AC＝2或.
22.
［规范解答］
(1)
由tanBtanC-(tanB+tanC)=1，得
，所以tan(B+C)=
则tanA=-tan(B+C)=，所以A=
(2)
方案一：选择①③.
∵A=30°，a=1，，
根据余弦定理，得，解得b=2，
∴
方案二：选择②③.
可转化为选择①③解决，类似给分.