2021-2022学年高一上学期苏教版（2019）必修第一册第六章幂函数、指数函数与对数函数单元测试(Word含答案解析)

本章达标检测
(满分:150分;时间:120分钟)
一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知函数f(x)=x2+(m-2)x+n为偶函数,那么函数g(x)=的定义域为(　　)
A.(-∞,2]　　　　　　B.(0,2]
C.
2.已知a=0.80.7,b=0.80.9,c=log23,则a,b,c的大小关系为(　　)
A.a3.已知幂函数f(x)=(a-1)xn的图象过点(2,8),且f(b-2)(　　)
A.(0,1)　　　　B.(1,2)　　　　C.(-∞,1)　　　　D.(1,+∞)
4.已知函数f(x)=(m2-m-5)是幂函数,对任意x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,满足>0,若a,b∈R,且a+b>0,则f(a)+f(b)的值
(　　)
A.恒大于0　　　　B.恒小于0　　　　C.等于0　　　　D.无法判断
5.某专家对某地区新冠肺炎暴发趋势进行研究,发现从确诊第一名患者开始累计时间t(单位:天)与病情暴发系数f(t)之间满足函数关系f(t)=,当f(t)=0.1时,标志着疫情将要大面积暴发,则此时t约为(参考数据:e1.1≈3)
(　　)
A.38　　　　B.40　　　　C.45　　　　D.47
6.若函数f(x)=max{3+lox,log3x},其中max{a,b}=当0(　　)
A.6　　　　B.9　　　　C.18　　　　D.27
7.已知函数f(x)的定义域为R,图象恒过点(0,1),且对任意x1,x2∈R,当x1≠x2时,都有>1,则不等式f[ln(ex-1)]<1+ln(ex-1)的解集为
(　　)
A.(ln
2,+∞)　　　　　　B.(-∞,ln
2)
C.(ln
2,1)　　　　　　D.(0,ln
2)
8.已知函数f(x)=m(x-)+2,g(x)=ln,?x1∈[0,1],?x2∈[0,4]都有g(x1)(　　)
A.
C.
二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多个选项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分)
9.已知函数f(x)=则
(　　)
A.f(e+2)=1　　　　　　B.f(f(e+2))=1
C.f(3)=e　　　　　　D.f(f(3))=
10.对于函数f(x)=lg
x定义域中的任意x1,x2(x1≠x2),下列结论正确的是
(　　)
A.f(x1+x2)=f(x1)·f(x2)　　　　　　
B.f(x1·x2)=f(x1)+f(x2)
C.>0　　　　　　
D.f
11.已知函数f(x)=loga(x-1)+2(a>0且a≠1)的图象过定点(s,t),正数m,n满足m+n=s+t,则
(　　)
A.m+n=4　　　　　　B.m2+n2≥8
C.mn≥4　　　　　　D.≥1
12.已知函数f(x)=若关于x的方程f(x)=m有四个不同的实数根x1,x2,x3,x4,且x1(　　)
A.x1x2=-1　　　　　　B.=-1
C.x3+x4=10　　　　　　D.x3x4∈[21,25]
三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中横线上)
13.已知函数y=(m为常数),当t=4时,y=64,若y≤,则实数t的取值范围为　　　　.?
14.某贫困地区现在人均年占有粮食为420
kg,如果该地区人口平均每年增长1%,粮食总产量平均每年增长5%,那么x年后该地区人均年占有y
kg粮食,则函数y关于x的解析式是　　　　　　　　　.?
15.若函数f(x)=在R上恒有>0(x1≠x2)成立,则实数a的取值范围是　　　　.?
16.已知定义域为R的函数f(x)满足:对于任意的x1,x2∈R,都有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)-2
016,且当x>0时,f(x)>2
016,若f(x)在区间[-2
016,2
016]上的最大值、最小值分别为M,N,则M+N=　　　　.?
四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)已知函数f(x)是偶函数,且当x≥0时,f(x)=loga(3-ax)(a>0,且a≠1).
(1)求x<0时f(x)的解析式;
(2)在①f(x)在(1,4)上单调递增;②在区间(-1,1)上恒有f(x)≥x2这两个条件中任选一个补充到本题中,求g(a)=的取值范围.
注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.
18.(本小题满分12分)已知幂函数f(x)=(k2+k-1)·x(2-k)(1+k),且f(2)(1)求实数k的值,并写出函数f(x)的解析式;
(2)是否存在正数m,使函数g(x)=1-f(x)+2mx在区间[0,1]上的最大值为5?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.
19.(本小题满分12分)2020年下半年受拉尼娜现象的影响,某市持续干旱,不仅使自来水供应严重不足,而且水质质量也明显下降.为了给广大市民提供优质的饮用水,某矿泉水厂特别重视生产过程的除杂质工序,过滤前水中含有杂质a%(其中a为常数),每经过一次过滤均可使水的杂质含量减少,设水过滤前的量为1,过滤次数为x(x∈N
)时,水的杂质含量为y.
(1)写出y与x的函数关系式;
(2)假设出厂矿泉水的杂质含量不能超过0.002a%,问至少经过几次过滤才能使矿泉水达到要求?(参考数据:lg
2≈0.301,lg
3≈0.477)
20.(本小题满分12分)已知函数f(x)=2x,g(x)=log3.
(1)求f(log2
2
020)+g的值;
(2)试求函数g(x)的定义域,并判断该函数的单调性与奇偶性;(判断函数的单调性不必给出证明)
(3)若函数F(x)=f(2x)-3f(x),且?x1∈[0,1],?x2∈,都有F(x1)>g(x2)+m成立,求实数m的取值范围.
21.(本小题满分12分)已知a∈R,函数f(x)=log2.
(1)设a>0,若对任意t∈,函数f(x)在区间[t,t+1]上的最大值与最小值的差不超过2,求实数a的最小值;
(2)若关于x的方程f-log2[(a-2)x+3a-5]=0的解构成的集合中只有一个元素,求实数a的取值范围.
22.(本小题满分12分)若函数f(x)为R上的奇函数,g(x)为R上的偶函数,f(x)+g(x)=ax(a>0且a≠1),f(1)=.
(1)求f(x),g(x)的解析式;
(2)若不等式g(2x)+2>mg(x)对任意实数x成立,求实数m的取值范围;
(3)h(x)=logm[a2x+a-2x-2mf(x)](m>0且m≠1),是否存在实数m使得h(x)在[1,log23]上的最大值为0?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.
答案全解全析
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一、单项选择题
1.B　因为f(x)=x2+(m-2)x+n为偶函数,所以其图象的对称轴为x==0,解得m=2.所以g(x)=.要使g(x)有意义,则x>0且log2x≤1,
即02.D　∵1=0.80>0.80.7>0.80.9,log23>log22=1,
∴c>a>b.故选D.
3.C　因为幂函数f(x)=(a-1)xn的图象过点(2,8),
所以
所以f(x)=x3.
由于函数f(x)=x3在R上单调递增,
所以f(b-2)4.A　∵函数f(x)=(m2-m-5)是幂函数,∴m2-m-5=1,解得m=-2或m=3.
∵对任意x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,满足>0,∴函数f(x)为增函数,
∴m2-6>0,∴m=3(m=-2舍去).∴f(x)=x3.∴f(x)为奇函数,∵a,b∈R,且a+b>0,∴a>-b,∴f(a)>f(-b)=-f(b),∴f(a)+f(b)>0.故选A.
5.B　f(t)==0.1,即1+e-0.22(t-50)=10,所以e-0.22(t-50)=9.
由于e1.1≈3,所以(e1.1)2=e2.2≈9,
所以e-0.22(t-50)≈e2.2,所以-0.22(t-50)≈2.2,解得t≈40.故选B.
6.D　由3+lox=log3x,得3-log3x=log3x,解得x=9.
∴f(x)=f(x)的图象如图所示.
由f(c)=f(d),得3+loc=log3d,即3-log3c=log3d,化简得log3+log3d=3,即log3d=3,解得d=27.故选D.
7.D　因为对任意x1,x2∈R,当x1≠x2时,都有>1,所以不妨设x1>x2,则f(x1)-x1>f(x2)-x2.令g(x)=f(x)-x,则g(x)在R上递增.因为f(0)=1,所以不等式f[ln(ex-1)]<1+ln(ex-1),即f[ln(ex-1)]-ln(ex-1)<1=f(0)-0,即g[ln(ex-1)]2.故选D.
8.C　由?x1∈[0,1],?x2∈[0,4]都有g(x1)易知g(x)=ln在[0,1]上递增,∴g(x)min=g(0)=0.
当m=0时,f(x)=2>0恒成立;
当m>0时,f(x)在[0,4]上递增,∴f(x)min=f(0)=-2m+2,由-2m+2>0,解得m<1,∴0∴f(x)min=f(4)=4m+2,由4m+2>0,解得m>-,∴-二、多项选择题
9.ABD　因为f(x)=
所以f(e+2)=ln(e+2-2)=1,故A正确;
f(f(e+2))=f(1)=e0=1,故B正确;
f(3)=ln(3-2)=0,故C不正确;
f(f(3))=f(0)=e-1=,故D正确.
故选ABD.
10.BC　对于选项A,f(x1+x2)=lg(x1+x2),f(x1)·f(x2)=lg
x1·lg
x2,故f(x1+x2)≠f(x1)·f(x2),故A错误;
对于选项B,f(x1·x2)=lg(x1x2)=lg
x1+lg
x2=f(x1)+f(x2),故B正确;
对于选项C,∵f(x)=lg
x在定义域上单调递增,∴>0成立,故C正确;
对于选项D,易得x1,x2>0(x1≠x2),
∴f,又,∴f,故D错误.故选BC.
11.ABD　令x-1=1,可得x=2,且f(2)=loga1+2=2,所以函数f(x)的图象过定点(2,2),所以s=t=2,所以m+n=4,故A正确;
由不等式m2+n2≥2mn,可得2(m2+n2)≥(m+n)2=16,即m2+n2≥8,当且仅当m=n=2时取等号,故B正确;
mn≤=4,当且仅当m=n=2时取等号,故C错误;
(m+n)==1,当且仅当即m=n=2时取等号,故D正确.故选ABD.
12.BC　函数f(x)=
及y=m的图象如图所示.
当m=1时,|log2(x1+1)|=|log2(x2+1)|=1,即log2(x1+1)=-1,log2(x2+1)=1,解得x1=-,x2=1,
此时x1x2=-,故A错误;
易知|log2(x1+1)|=|log2(x2+1)|,
即-log2(x1+1)=log2(x2+1),亦即log2=log2(x2+1),亦即=x2+1,所以(x2+1)(x1+1)=1,所以x1+x2=-x1x2,即=-1,所以=-1,故B正确;
结合图象知,0三、填空题
13.答案　[32,+∞)
解析　将t=4,y=64代入y=,可得64=,解得m=,∴y=.
由,得t-7≥1,解得t≥32.
故实数t的取值范围是[32,+∞).
14.答案　y=420×,x∈N
解析　设该地区现在人口数为m,粮食总产量为n
kg,则=420.
x年后,该地区人口数为m·(1+1%)x=m·(1.01)x,粮食总产量为n·(1+5%)x=n·(1.05)xkg,
故x年后,该地区人均年占有粮食y=,x∈N
.
15.答案　(1,2]
解析　易得函数f(x)在R上单调递增.
所以
解得1故实数a的取值范围是(1,2].
16.答案　4
032
解析　因为对于任意的x1,x2∈[-2
016,2
016],都有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)-2
016,所以令x1=x2=0,得f(0)=2
016.设x10,f(x2-x1)>2
016,所以f(x2)-f(x1)=f(x2-x1+x1)-f(x1)=f(x2-x1)+f(x1)-f(x1)-2
016=f(x2-x1)-2
016>0,即f(x2)>f(x1),所以函数f(x)在[-2
016,2
016]上为单调递增函数,所以f(x)max=f(2
016),
f(x)min=f(-2
016).因为f(2
016)+f(-2
016)=f(0)+2
016=4
032,
所以M+N=4
032.
四、解答题
17.解析　(1)当x<0时,-x>0,
(1分)
因为f(x)是偶函数,所以f(x)=f(-x)=loga(3+ax).
(3分)
所以当x<0时,f(x)=loga(3+ax).
(5分)
(2)选条件①:由于f(x)在(1,4)上单调递增,所以a>1不合题意.
(6分)
所以.
(8分)
所以g(a)=.(10分)
选条件②:当0(6分)
当a>1时,因为f(x)与y=x2都是偶函数,
所以只需考虑x∈[0,1)时,f(x)≥x2恒成立即可.
(7分)
由复合函数的单调性可知,函数f(x)在[0,1)上单调递减,而y=x2在[0,1)上单调递增,所以y=f(x)-x2在[0,1)上单调递减.
(8分)
所以.
(9分)
所以g(a)=.
(10分)
18.解析　(1)∵f(x)是幂函数,∴k2+k-1=1,∴k=-2或k=1.(1分)
当k=1时,f(x)=x2,满足f(2)(2分)
当k=-2时,f(x)=x-4,不满足f(2)(3分)
所以k=1,f(x)=x2.
(4分)
(2)存在.
(5分)
g(x)=1-f(x)+2mx=-x2+2mx+1.
易知g(x)的图象开口向下,对称轴为x=m(m>0).
(7分)
①当0∴g(x)max=g(m)=m2+1=5,∴m=±2,均不符合题意,舍去;
(9分)
②当m≥1时,g(x)在区间[0,1]上递增,
∴g(x)max=g(1)=2m=5,∴m=,符合题意.
(11分)
综上,m=.
(12分)
19.解析　(1)因为每经过一次过滤可使水的杂质含量减少,所以每次过滤后所含的杂质是前一次的,
(2分)
所以y=a%×,x∈N
,
即y=,x∈N
.
(4分)
(2)设经过m次过滤才能使矿泉水达到要求,则a%×≤0.002a%,(6分)
所以,
所以lg,
即mlg,
(8分)
所以m≥≈5.7,
(10分)
又m∈N
,所以m≥6.
所以至少经过6次过滤才能使矿泉水达到要求.
(12分)
20.解析　(1)f(log22
020)+g+log33=2
021.
(2分)
(2)由>0得-1∴函数g(x)的定义域为(-1,1).
(3分)
g(x)=log3,令μ=-1+,∵μ=-1+在(-1,1)上单调递减,y=log3μ在(0,+∞)上单调递增,
∴函数g(x)在(-1,1)上为减函数.
(5分)
∵g(x)的定义域关于原点对称,且g(-x)=log3=-g(x),∴函数g(x)为奇函数.
(7分)
(3)∵?x1∈[0,1],?x2∈,都有F(x1)>g(x2)+m恒成立,
∴F(x)min>g(x)max+m.
(8分)
由(2)知g(x)在上为减函数,
∴g(x)max=g=1.
(9分)
易知F(x)=f(2x)-3f(x)=22x-3·2x.
令t=2x,则y=t2-3t,当x∈[0,1]时,1≤t≤2,∴当t=,即x=log2=log23-1时,F(x)min=-.
(10分)
∴->1+m,解得m<-.
∴实数m的取值范围为.
(12分)
21.解析　(1)因为y=在x∈[t,t+1]上为减函数,所以.
因为y=log2x在上为增函数,所以f(x)∈log2,log2.
(2分)
所以log2上恒成立,即上恒成立,即3at2+3(a+1)t-1≥0在t∈上恒成立.
所以y=3at2+3(a+1)t-1在t∈上的最小值大于或等于0.
(4分)
因为y=3at2+3(a+1)t-1在t∈上为增函数,所以ymin=3a+3(a+1)×,所以≥0,解得a≥,所以a的最小值为.
(6分)
(2)方程f-log2[(a-2)x+3a-5]=0,即log2-log2[(a-2)x+3a-5]=0,即(a-2)x2+(2a-5)x-2=0,且+a>0.
(8分)
当a-2=0,即a=2时,x=-2,符合题意;
当a-2≠0,即a≠2时,x1=-2,x2=,
当-2=时,a=,符合题意;
当-2≠,即a≠且a≠2时,需满足.
(10分)
综上,实数a的取值范围为.
(12分)
22.解析　(1)由已知得f(-x)+g(-x)=a-x.因为f(x)为R上的奇函数,g(x)为R上的偶函数,所以
所以f(x)=(ax-a-x),g(x)=(ax+a-x).
(2分)
由f(1)=(a-a-1)=,解得a=2.
所以f(x)=(2x-2-x),g(x)=(2x+2-x).
(4分)
(2)令n=2x+2-x,n≥1,则22x+2-2x=(2x+2-x)2-2=n2-2.
所以g(2x)=(n2-2),g(x)=n.
所以g(2x)+2>mg(x)对任意实数x成立,即(n2-2)+2>mn在n≥1上恒成立,
即m(6分)
因为n+,当且仅当n=时取等号,所以m<2,即实数m的取值范围为(-∞,2).
(8分)
(3)不存在.令t=2x-2-x,则22x+2-2x=(2x-2-x)2+2=t2+2.所以22x+2-2x-2mf(x)=t2-mt+2.所以h(x)=logm[a2x+a-2x-2mf(x)]=logm(t2-mt+2).
令u=t2-mt+2,则y=logmu.
易知t=2x-2-x为增函数,所以当x∈[1,log23]时,tmin=21-2-1=,tmax=,所以t∈.
因为h(x)在[1,log23]上有意义,
所以对任意t∈,u=t2-mt+2>0恒成立,
所以m<上恒成立,
所以在t∈上,m<.
又m>0且m≠1,
所以m∈(0,1)∪.
(10分)
二次函数u=t2-mt+2的图象开口向上,对称轴为直线t=.
因为m∈(0,1)∪,所以,
图象的对称轴始终在区间的左侧,
所以u=t2-mt+2在区间上单调递增,所以当t=时,umin=-;
当t=时,umax=-.
假设存在满足条件的实数m.
若m∈(0,1),则y=logmu为减函数,h(x)max=0?umin=1,即-=1,
解得m=?(0,1),舍去;
若m∈,则y=logmu为增函数,h(x)max=0?umax=1,即-=1,
解得m=,舍去.
综上,不存在满足条件的实数m.
(12分)