2021-2022学年高一上学期苏教版（2019）必修第一册第七章三角函数单元测试(Word含答案解析)

本章达标检测
(满分:150分;时间:120分钟)
一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.把-表示成θ+2kπ(k∈Z)的形式,使|θ|最小的θ的值是
(　　)
A.-
2.已知角α的终边经过点P,则sin
α的值为
(　　)
A.-
3.已知a=sin
,b=cos,c=tan,则a,b,c的大小关系为
(　　)
A.a4.设tan(5π+α)=mα≠kπ+,k∈Z,则的值为
(　　)
A.　　　　C.-1　　　　D.1
5.设a=cos
660°,函数f(x)=则f(8)+f
=
(　　)
A.2　　　　B.-2　　　　C.5　　　　D.-5
6.已知扇形的周长为C,当该扇形的面积取得最大值时,圆心角为
(　　)
A.
rad　　　　D.2
rad
7.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)
,距离y轴最近的最大值点为N,若?x1,x2∈(-a,a),且x1≠x2,
恒有f(x1)≠f(x2),则实数a的最大值为
(　　)
A.
8.设函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<上单调,且f,当x=时,
f(x)取到最大值2,若将函数f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍得到函数g(x)的图象,则不等式g(x)>1的解集为(　　)
A.,k∈Z　　　　　　
B.,k∈Z
C.,k∈Z　　　　　　
D.,k∈Z
二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多个选项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分)
9.下列结论正确的是
(　　)
A.-是第三象限角
B.若圆心角为的扇形的弧长为π,则该扇形的面积为
C.若角α的终边上有一点P(-3,4),则cos
α=-
D.若角α为锐角,则角2α为钝角
10.已知函数f(x)=,下列说法中正确的是
(　　)
A.
f(x)=　　　　　　
B.函数f(x)的最大值为
C.函数f(x)的周期是π　　　　　　
D.
f(x)在上单调递增
11.若函数f(x)=3sin的图象为C,则下列叙述正确的是
(　　)
A.图象C关于直线x=对称
B.函数f(x)在区间内是增函数
C.将y=3sin
2x的图象向右平移个单位长度可以得到图象C
D.图象C关于点对称
12.已知函数f(x)=2sin(ω>0),且?x∈R,f
恒成立.现将函数f(x)=2sin个单位长度,再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到函数g(x)的图象,则下列说法正确的是(　　)
A.g=0
B.函数g(x)图象相邻两条对称轴间的距离为π
C.函数g是偶函数
D.函数g(x)在区间上单调递减
三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中横线上)
13.函数y=的定义域是　　　　　　　　.?
14.设a>0且a≠1,若loga(sin
x-cos
x)=0,则sin8x+cos8x=　　　　.?
15.若函数f(x)=(ω>1)在区间上单调递减,则实数ω的取值范围是　　　　　　　.?
16.已知函数f(x)=cos(ωx+φ),若?x1,x2∈R,使得f(x1)f(x2)=-2,且|x2-x1|的最小值为,则ω的值为　　　　;若将f(x)的图象向右平移对称,则f(x)在区间上的最小值为　　　　.?
四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)在①f(x)的图象关于直线x=对称;②f(x)的图象关于点对称;③f(x)的图象的最高点中,有一个点的横坐标为这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并解答.
已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,0<φ<的振幅为2,初相为,最小正周期不小于π,且　　　　.?
(1)求f(x)的解析式;
(2)求f(x)在区间[-π,0]上的最大值和最小值以及取得最大值和最小值时自变量x的值.
注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.
18.(本小题满分12分)已知α为第三象限角,且f(α)=.
(1)化简f(α);
(2)若cos,求f(α)的值;
(3)若α=-,求f(α)的值.
19.(本小题满分12分)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π),它的部分图象如图所示.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)先将函数y=f(x)图象上各点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变),再将得到的图象向左平移个单位,得到函数y=g(x)的图象,求函数y=g(x),x∈的单调递增区间.
20.(本小题满分12分)已知函数f(x)=sin,ω>0的最小正周期为.
(1)求ω的值;
(2)求函数f(x)的单调递增区间;
(3)求函数f(x)取得最大值1时x的取值集合.
21.(本小题满分12分)当我们所处的北半球为冬季的时候,新西兰的惠灵顿市恰好是盛夏,因此北半球的人们冬天愿意去那里旅游.下面是一份惠灵顿机场提供的月平均气温统计表.
x(月份)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
t(℃)
17.3
17.9
17.3
15.8
13.7
11.6
10.06
9.5
10.06
11.6
13.7
15.8
(1)根据这个统计表提供的数据,为惠灵顿市的月平均气温作出一个函数模型;
(2)当月平均气温不低于13.7
℃时,惠灵顿市最适宜旅游,试根据你所确定的函数模型,确定惠灵顿市的最佳旅游时间.
22.(本小题满分12分)函数f(x)=Asin(ωx+φ)其中A>0,ω>0,|φ|<的部分图象如图所示,把函数f(x)的图象向右平移个单位长度,再向下平移1个单位长度,得到函数g(x)的图象.
(1)当x∈时,求g(x)的值域;
(2)令F(x)=f(x)-3,若对任意x都有[F(x)]2-(2+m)·F(x)+2+m≤0恒成立,求m的最大值.
答案全解全析
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一、单项选择题
1.C　-=-405π+或-=-403π-.∵>,
∴使|θ|最小的θ的值是.故选C.
2.D　∵4tan=4tan=4tan=4,∴P(-3,4).
根据三角函数的概念得r==5,∴sin
α=.故选D.
3.C　∵角是锐角,∴a=sin>0.
∵cos∵tan=tan,<<,
∴c<-1.∴c4.A　由诱导公式可得m=tan(5π+α)=tan
α,
所以===.故选A.
5.A　∵a=cos
660°=cos
300°=sin
30°=,∴f(x)=
∴f(8)+f=-log28+=-3+5=2.故选A.
6.D　设扇形的圆心角为α(0<α<2π)rad,扇形所在圆的半径为r,
则S扇形=αr2.由C=2r+αr,
得r=,且0<α<2π,
∴S扇形=α·=
=,0<α<2π,
又2α+≥2=8,当且仅当2α=,即α=2时,等号成立,
∴S扇形的最大值为,对应圆心角为2
rad.故选D.
7.C　由题意得,A=3,3sin
φ=,又|φ|<,∴φ=.
由“五点法”知×ω+=,解得ω=3,∴f(x)=3sin.
令2kπ-≤3x+≤2kπ+,k∈Z,解得-≤x≤+,k∈Z.
∴(-a,a)?,
∴08.A　∵f(x)在区间上单调,
∴≥-=,即T≥,
∴≥,即0<ω≤3.
∵f=f,∴直线x=是函数f(x)图象的一条对称轴.
∵f=-f,∴是函数f(x)的图象的一个对称中心.
∵T≥,∴x=和是函数f(x)图象相邻的对称轴和对称中心,∴×=-,解得ω=2.
∵函数f(x)的最大值为2,
∴f(x)=2sin(2x+φ).
∵当x=时,f(x)取到最大值2,∴2×+φ=+2kπ,k∈Z,∴φ=+2kπ,k∈Z.
当k=0时,φ=.∴f(x)=2sin.
根据题意可知g(x)=2sin,
∴g(x)>1,即2sin>1,
即sin>,
∴+2kπ∴g(x)>1的解集是-+2kπ,+2kπ,k∈Z.故选A.
二、多项选择题
9.BC　选项A中,-=-2π+,是第二象限角,A错误;选项B中,设扇形所在圆的半径为r,扇形的面积为S,则·r=π,解得r=3,∴S=××32=,B正确;选项C中,=5,∴cos
α=-,C正确;选项D中,α=30°是锐角,但2α=60°不是钝角,D错误.故选BC.
10.BD　∵cos=cos-x=cos-+x=sin,
∴f(x)=sin,故A不正确;函数f(x)的最大值是,故B正确;函数的周期是2π,故C不正确;当x∈-,时,x+∈,?,
∴函数f(x)在区间-,上单调递增,故D正确.故选BD.
11.AB　把x=代入函数f(x),得f(x)=3sin=3sin=-3,函数f(x)取得最小值,所以图象C关于直线x=对称,故A正确;
令2kπ-≤2x-≤2kπ+(k∈Z),解得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z),当k=0时,x∈,故B正确;
将y=3sin
2x的图象向右平移个单位长度可以得到y=3sin=3sin的图象,故C错误;
把x=代入函数f(x),得f(x)=3sin2×-=3sin=≠0,故D错误.故选AB.
12.ABC　因为?x∈R,f=-恒成立,
所以?x∈R,f(x)=-,f=-恒成立,
所以?x∈R,f(x)=-=f(x+π)恒成立,
所以f(x)的周期T=π,所以ω==2.
所以f(x)=2sin,
将函数f(x)=2sin的图象向右平移个单位长度,可得y=2sin2·+=2sin的图象,再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),可得g(x)=2sinx-的图象.
对于选项A,g+g=2sin+2sin=2sin(-x)+2sin
x=0,故选项A正确.
对于选项B,函数g(x)的最小正周期为2π,所以g(x)图象相邻两条对称轴间的距离为π,故选项B正确.
对于选项C,g=2sinx+-=2sin=2cos
x,是偶函数,故选项C正确.
对于选项D,当≤x≤时,0≤x-≤,所以函数g(x)在区间,上单调递增,故选项D错误.故选ABC.
三、填空题
13.答案　(k∈Z)
解析　由题意得1+2sin
x>0,即sin
x>-,解得-+2kπ故函数的定义域是-+2kπ,+2kπ(k∈Z).
14.答案　1
解析　由题意得sin
x-cos
x=1,所以(sin
x-cos
x)2=sin2x+cos2x-2sin
xcos
x=1,
因为sin2x+cos2x=1,所以sin
xcos
x=0.
又(sin2x+cos2x)2=sin4x+cos4x+2sin2xcos2x=1,所以sin4x+cos4x=1.所以sin8x+cos8x=(sin4x+cos4x)2-2sin4xcos4x=1.
15.答案　
解析　由题意可得函数f(x)的最小正周期T=≥×2,且ω>1,
∴1<ω≤2.
令kπ+≤ωx+≤kπ+π,k∈Z,
得+≤x≤+,k∈Z,
∴函数f(x)=(ω>1)的单调递减区间为,k∈Z.
∵函数f(x)在区间上单调递减,
∴,k∈Z,
∴k∈Z,
解得k+≤ω≤,k∈Z.
当k=0时,≤ω≤,不符合题意;
当k=1时,≤ω≤,符合题意.
∴实数ω的取值范围是.
16.答案　2;-
解析　易知f(x)=cos(ωx+φ)ω>0,|φ|<的最大值和最小值分别为和-,又f(x1)f(x2)=-2,所以f(x1),f(x2)中一个为最大值,另一个为最小值.
因为|x2-x1|的最小值为,所以f(x)的最小正周期T满足=,所以T=π,所以ω==2.
将f(x)=cos(2x+φ)的图象向右平移个单位长度后,所得图象对应的函数为y=cos.
由题意可知直线x=是y=·cos图象的一条对称轴,所以+φ=kπ,k∈Z,所以φ=-+kπ,k∈Z.
又|φ|<,所以φ=,
所以f(x)=cos.
因为x∈,所以2x+∈,,所以f(x)在区间上为减函数,所以f(x)的最小值为f=-.
四、解答题
17.解析　由题意得A=2,φ=,≥π,即0<ω≤2.
(2分)
选择条件①.
(1)因为f(x)的图象关于直线x=对称,所以ω+=+kπ,k∈Z,解得ω=+3k,k∈Z.
(4分)
当k=0时,ω=,满足题意.
故f(x)=2sin.
(5分)
(2)由x∈[-π,0]得x+∈.
(6分)
所以当x+=-,即x=-π时,f(x)min=2sin=-1;
(8分)
当x+=,即x=0时,f(x)max=2sin=.
(10分)
选择条件②.
(1)因为f(x)的图象关于点对称,所以-ω+=kπ,k∈Z,解得ω=2-6k,k∈Z.
(4分)
当k=0时,ω=2,满足题意.
故f(x)=2sin.
(5分)
(2)由x∈[-π,0]得2x+∈,(6分)
所以当2x+=-或2x+=,即x=-π或x=0时,f(x)max=2sin
=;
(8分)
当2x+=-,即x=-时,f(x)min=2sin=-2.
(10分)
选择条件③.
(1)因为f(x)的图象的最高点中,有一个点的横坐标为,所以ω+=+2kπ,k∈Z,解得ω=1+12k,k∈Z.
(4分)
当k=0时,ω=1,满足题意.
故f(x)=2sin.
(5分)
(2)由x∈[-π,0]得x+∈,
(6分)
所以当x+=,即x=0时,f(x)max=2sin=;
(8分)
当x+=-,即x=-时,f(x)min=2sin=-2.
(10分)
18.解析　(1)f(α)===-cos
α.
(4分)
(2)∵α为第三象限角,cos=-sin
α=,∴sin
α=-,cos
α<0.
(6分)
∴f(α)=-cos
α===.
(8分)
(3)∵α=-,∴f(α)=-cos
α=-cos=-cos=-cos11π-=cos=.
(12分)
19.解析　(1)由题图可知,A=2,=-=,∴T=π,∴ω==2,
由2×+φ=0,得φ=-.
则函数f(x)的解析式为f(x)=2sin2x-.
(4分)
(2)先将函数y=f(x)图象上各点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变),得到y=2sin的图象,
(6分)
再将得到的图象向左平移个单位,得到函数g(x)=2sin的图象.
(8分)
令-+2kπ≤x+≤+2kπ,k∈Z,
得-+2kπ≤x≤+2kπ,k∈Z.
取k=0,可得-≤x≤,
∴函数y=g(x)在x∈上的单调递增区间为.
(12分)
20.解析　(1)由函数f(x)=sin,ω>0的最小正周期为,可得=,
(2分)
解得ω=3.
(4分)
(2)由(1)知,f(x)=sin.
令2kπ-≤3x+≤2kπ+,k∈Z,
(6分)
得-≤x≤+,k∈Z.
故函数f(x)的单调递增区间为,k∈Z.
(8分)
(3)由f(x)=sin的最大值为1,知3x+=2kπ+,k∈Z,
(10分)
得x=+,k∈Z,
所以x的取值集合为.(12分)
21.解析　(1)以月份x为横轴,气温t为纵轴作出散点图,并用光滑的曲线连接各散点,得到如图所示的曲线.
由于月平均气温是以12个月为周期变化的,故依散点图所绘制的图象可以考虑用t=Acos(ωx+φ)+k来模拟.
(2分)
由最高月平均气温为17.9
℃,最低月平均气温为9.5
℃,
得A==4.2,k==13.7.
(4分)
显然=12,故ω=.
(5分)
又x=2时,t取得最大值,
所以由“五点法”可得×2+φ=0,得φ=-,
(6分)
所以t=4.2cos+13.7为惠灵顿市的月平均气温函数模型.
(8分)
(2)作直线t=13.7,与函数图象交于(5,13.7),(11,13.7)两点.这说明在每年的十一月至第二年的五月月平均气温不低于13.7
℃,是惠灵顿市的最佳旅游时间.(12分)
22.解析　(1)由题图知A=1,T=-,即T=π,∴ω==2,∴f(x)=sin(2x+φ).
把代入,得sin=-1,
∴φ=2kπ+,k∈Z.
∵|φ|<,∴φ=.
∴f(x)=sin.
(2分)
由题意得g(x)=sin-1=sin-1.
(4分)
设m=2x-,则m∈,∴sin
m∈-,1,∴g(x)的值域为--1,0.(6分)
(2)由(1)可知f(x)=sin∈[-1,1],∴F(x)=f(x)-3∈[-4,-2].
(8分)
令t=F(x),则t∈[-4,-2],设h(t)=t2-(2+m)t+2+m,由题意得在[-4,-2]上,h(t)max≤0.(10分)
易知h(t)的最大值在t=-4或t=-2时取得,
∴
即
解得∴m≤-.
∴m的最大值为-.
(12分)