第13章立体几何初步单元测试题-2020-2021学年高一下学期数学苏教版（2019）必修第二册(Word含答案解析)

立体几何初步
一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．给出以下四个命题：
①不共面的四点中，其中任意三点不共线；
②若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则点A，B，C，D，E共面；
③若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；
④依次首尾相接的四条线段必共面．
其中正确命题的个数是(　　)
A．0
B．1
C．2
D．3
2．设l为直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中正确的是(　　)
A．若l∥α，l∥β，则α∥β
B．若l⊥α，l⊥β，则α∥β
C．若l⊥α，l∥β，则α∥β
D．若α⊥β，l∥α，则l⊥β
3．若把一个高为10
cm的圆柱的底面画在x′O′y′平面上，则圆柱的高应画成(　　)
A．平行于z′轴且大小为10
cm
B．平行于z′轴且大小为5
cm
C．与z′轴成45°且大小为10
cm
D．与z′轴成45°且大小为5
cm
4．如图所示，若斜线段AB是它在平面α上的射影BO的2倍，则AB与平面α所成的角是(　　)
A．60°
B．45°
C．30°
D．120°
5．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为(　　)
A．πa2
B．πa2
C．πa2
D．5πa2
6．如图，PA⊥面ABC，∠ACB＝90°，且PA＝AC＝BC＝a，则异面直线PB与AC所成的角的正切值等于(　　)
A．2
B．
C．
D．
7．在正方体ABCD?A1B1C1D1中，若经过D1B的平面分别交AA1和CC1于点E、F，则四边形D1EBF的形状是(　　)
A．矩形
B．菱形
C．平行四边形
D．正方形
8．如图，在边长为1的正方形ABCD中，点E，F分别为边BC，AD的中点，将△ABF沿BF所在的直线进行翻折，将△CDE沿DE所在的直线进行翻折，在翻折过程中，下列说法错误的是(　　)
A．无论翻折到什么位置，A、C两点都不可能重合
B．存在某个位置，使得直线AF与直线CE所成的角为60°
C．存在某个位置，使得直线AF与直线CE所成的角为90°
D．存在某个位置，使得直线AB与直线CD所成的角为90°
二、选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)
9．下列命题为真命题的是(　　)
A．若两个平面有无数个公共点，则这两个平面重合
B．若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直
C．垂直于同一条直线的两条直线相互平行
D．若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面不垂直
10．正方体ABCD?A1B1C1D1中，E为线段B1D1上的一个动点，则下列结论中正确的是(　　)
A．
AC⊥BE
B．
B1E∥平面ABCD
C．三棱锥E?ABC的体积为定值
D．B1E⊥BC1
11．如图，矩形ABCD中，AB＝2AD，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A1DE．若M为线段A1C的中点，则在△ADE翻折的过程中，下列命题正确的是(　　)
A．BM是定值
B．点M在某个球面上运动
C．存在某个位置，使DE⊥A1C
D．存在某个位置，使MB∥平面A1DE
12．
在正方体ABCD?A1B1C1D1中，M，N，Q分别是棱D1C1，A1D1，BC的中点，点P在BD1上且BP＝BD1，则下面说法正确的是(　　)
A．MN∥平面APC
B．C1Q∥平面APC
C．A，P，M三点共线
D．平面MNQ∥平面APC
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)
13．已知正六棱柱的侧面积为72
cm2，高为6
cm，那么它的体积为________cm3．
14．已知一圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的表面积为________，体积为________．(本题第一空2分，第二空3分)
15．棱长为1的正四面体内有一点P，由点P向各个面引垂线，垂线段分别为d1，d2，d3，d4，则d1＋d2＋d3＋d4的值为________．
16．已知棱长为的正方体ABCD?A1B1C1D1内有一圆柱，此圆柱恰好以直线AC1为轴，则该圆柱侧面积的最大值为__________．
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)如图，正方体ABCD?A′B′C′D′的棱长为a，连接A′C′，A′D，A′B，BD，BC′，C′D，得到一个三棱锥．求：
(1)三棱锥A′?BC′D的表面积与正方体表面积的比值；
(2)三棱锥A′?BC′D的体积．
18．(本小题满分12分)如图，在三棱锥A?BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD．
求证：(1)EF∥平面ABC；
(2)AD⊥AC．
19．(本小题满分12分)如图，圆锥的轴截面SAB为等腰直角三角形，Q为底面圆周上一点．
(1)若QB的中点为C，求证：平面SOC⊥平面SBQ；
(2)若∠AOQ＝120°，QB＝，求圆锥的表面积．
20．(本小题满分12分)如图所示，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，底面边长为a，E是PC的中点．
(1)求证：PA∥平面BDE；
(2)求证：平面PAC⊥平面BDE；
(3)若二面角E?BD?C为30°，求四棱锥P?ABCD的体积．
21．(本小题满分12分)如图，设△ABC内接于⊙O，PA垂直于⊙O所在的平面．
(1)请指出图中互相垂直的平面；(要求：列出所有的情形，但不要求证明)
(2)若要使互相垂直的平面对数在原有的基础上增加一对，那么在△ABC中需添加一个什么条件？
(要求：添加你认为正确的一个条件即可，不必考虑所有可能的情形，但必须证明你添加的条件的正确性，答案不唯一)
(3)设D是PC的中点，AC＝AB＝a(a是常数)，试探究在PA上是否存在一点M，使MD＋MB最小？若存在，试确定点M的位置；若不存在，请说明理由．
22．(本小题满分12分)如图(1)，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图(2)．
(1)　　　　　　　　　(2)
(1)求证：DE∥平面A1CB；
(2)求证：A1F⊥BE；
(3)线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ．说明理由．
一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．给出以下四个命题：
①不共面的四点中，其中任意三点不共线；
②若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则点A，B，C，D，E共面；
③若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；
④依次首尾相接的四条线段必共面．
其中正确命题的个数是(　　)
A．0
B．1
C．2
D．3
B　[①假设其中有三点共线，则该直线和直线外的另一点确定一个平面，这与四点不共面矛盾，故其中任意三点不共线，所以①正确；②如图，两个相交平面有三个公共点A，B，C，但A，B，C，D，E不共面，所以②不正确；③显然不正确；④不正确．因为此时所得的四边形的四条边可以不在一个平面上，如空间四边形．]
2．设l为直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中正确的是(　　)
A．若l∥α，l∥β，则α∥β
B．若l⊥α，l⊥β，则α∥β
C．若l⊥α，l∥β，则α∥β
D．若α⊥β，l∥α，则l⊥β
B　[对于A，若l∥α，l∥β，则α和β可能平行，也可能相交，故错误；
对于B，若l⊥α，l⊥β，则α∥β，故正确；
对于C，若l⊥α，l∥β，则α⊥β，故错误；
对于D，若α⊥β，l∥α，则l与β的位置关系有三种可能：l⊥β，l∥β，l?β，故错误．故选B．]
3．若把一个高为10
cm的圆柱的底面画在x′O′y′平面上，则圆柱的高应画成(　　)
A．平行于z′轴且大小为10
cm
B．平行于z′轴且大小为5
cm
C．与z′轴成45°且大小为10
cm
D．与z′轴成45°且大小为5
cm
A　[平行于z轴(或在z轴上)的线段，在直观图中的方向和长度都与原来保持一致．]
4．如图所示，若斜线段AB是它在平面α上的射影BO的2倍，则AB与平面α所成的角是(　　)
A．60°
B．45°
C．30°
D．120°
A　[∠ABO即是斜线AB与平面α所成的角，在Rt△AOB中，AB＝2BO，
所以cos∠ABO＝，
即∠ABO＝60°．]
5．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为(　　)
A．πa2
B．πa2
C．πa2
D．5πa2
B　[由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧棱与底面边长相等，均为a．如图，P为三棱柱上底面的中心，O为球心，易知AP＝×a＝a，OP＝a，所以球的半径R＝OA满足R2＝＋＝a2，故S球＝4πR2＝πa2．]
6．如图，PA⊥面ABC，∠ACB＝90°，且PA＝AC＝BC＝a，则异面直线PB与AC所成的角的正切值等于(　　)
A．2
B．
C．
D．
B　[如图，将此多面体补成一个正方体，
因为AC∥BD，所以PB与AC所成角的大小即为此正方体体对角线PB与棱BD所成角的大小，
在Rt△PBD中，∠PDB＝90°，PD＝a，DB＝a，
所以tan∠DBP＝＝．故选B．]
7．在正方体ABCD?A1B1C1D1中，若经过D1B的平面分别交AA1和CC1于点E、F，则四边形D1EBF的形状是(　　)
A．矩形
B．菱形
C．平行四边形
D．正方形
C　[因为过D1B的平面和左右两个侧面分别交于ED1、BF，所以ED1∥BF，同理D1F∥EB，所以四边形D1EBF是平行四边形．]
8．如图，在边长为1的正方形ABCD中，点E，F分别为边BC，AD的中点，将△ABF沿BF所在的直线进行翻折，将△CDE沿DE所在的直线进行翻折，在翻折过程中，下列说法错误的是(　　)
A．无论翻折到什么位置，A、C两点都不可能重合
B．存在某个位置，使得直线AF与直线CE所成的角为60°
C．存在某个位置，使得直线AF与直线CE所成的角为90°
D．存在某个位置，使得直线AB与直线CD所成的角为90°
D　[在A中，点A与点C一定不重合，故A正确；在B中，存在某个位置，使得直线AF与直线CE所成的角为60°，故B正确；在C中，当平面ABF⊥平面BEDF，平面DCE⊥平面BEDF时，直线AF与直线CE垂直，故C正确；在D中，直线AB与直线CD不可能垂直，故D错误．故选D．]
二、选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)
9．下列命题为真命题的是(　　)
A．若两个平面有无数个公共点，则这两个平面重合
B．若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直
C．垂直于同一条直线的两条直线相互平行
D．若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面不垂直
BD　[两个平面相交时，也有无数个公共点，A错；比如a⊥α，b?α，c?α，显然有a⊥b，a⊥c，但b与c也可能相交，C错．故选BD．
]
10．正方体ABCD?A1B1C1D1中，E为线段B1D1上的一个动点，则下列结论中正确的是(　　)
A．
AC⊥BE
B．
B1E∥平面ABCD
C．三棱锥E?ABC的体积为定值
D．B1E⊥BC1
ABC　[因为AC⊥平面BDD1B1，故A正确；因为B1D1∥平面ABCD，故B正确；记正方体的体积为V，
则VE?ABC＝V，为定值，故C正确；B1E与BC1不垂直，故D错误．故选ABC．]
11．如图，矩形ABCD中，AB＝2AD，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A1DE．若M为线段A1C的中点，则在△ADE翻折的过程中，下列命题正确的是(　　)
A．BM是定值
B．点M在某个球面上运动
C．存在某个位置，使DE⊥A1C
D．存在某个位置，使MB∥平面A1DE
ABD　[取DC的中点F，连接MF，BF，MF∥A1D且MF＝A1D，FB∥ED且FB＝ED，所以∠MFB＝∠A1DE，由余弦定理可得MB2＝MF2＋FB2－2MF·FB·cos
∠MFB是定值；因为B是定点，所以M是在以B为圆心，MB为半径的球面上，可得A，B正确；由MF∥A1D与FB∥ED且MF∩BF＝F可得平面MBF∥平面A1DE，故D正确；A1C在平面ABCD中的投影与AC重合，AC与DE不垂直，所以DE与A1C也不垂直，故C不正确．]
12．
在正方体ABCD?A1B1C1D1中，M，N，Q分别是棱D1C1，A1D1，BC的中点，点P在BD1上且BP＝BD1，则下面说法正确的是(　　)
A．MN∥平面APC
B．C1Q∥平面APC
C．A，P，M三点共线
D．平面MNQ∥平面APC
BC　[如图，对于A，连接MN，AC，则MN∥AC，连接AM，CN，
易得AM，CN交于点P，即MN?平面APC，所以MN∥平面APC是错误的．
对于B，由①知M，N在平面APC内，由题易知AN∥C1Q，且AN?平面APC，
C1Q?平面APC．
所以C1Q∥平面APC是正确的．
对于C，由①知，A，P，M三点共线是正确的．
对于D，由①知MN?平面APC，又MN?平面MNQ，所以平面MNQ∥平面APC是错误的．故选BC．]
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)
13．已知正六棱柱的侧面积为72
cm2，高为6
cm，那么它的体积为________cm3．
36　[设正六棱柱的底面边长为x
cm，由题意得6x·6＝72，所以x＝2，
于是其体积V＝×22×6×6＝36
cm3．]
14．已知一圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的表面积为________，体积为________．(本题第一空2分，第二空3分)
3π　π　[设圆锥的底面半径为r，根据题意，得2πr＝2π，解得r＝1，根据勾股定理，得圆锥的高为＝，所以圆锥的表面积S＝×π×22＋π×12＝3π，
体积V＝×π×12×＝π．]
15．棱长为1的正四面体内有一点P，由点P向各个面引垂线，垂线段分别为d1，d2，d3，d4，则d1＋d2＋d3＋d4的值为________．
　[设四面体的高为h，
则h＝eq
\r(12－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)×\f(\r(3),2)×1)))＝，
Sh＝S(d1＋d2＋d3＋d4)，
∴d1＋d2＋d3＋d4＝h＝．]
16．已知棱长为的正方体ABCD?A1B1C1D1内有一圆柱，此圆柱恰好以直线AC1为轴，则该圆柱侧面积的最大值为__________．
　[由题意知，只需考虑圆柱的底面与正方体的表面相切的情况，由图形的对称性可知，侧面积最大时，圆柱的上底面必与过A点的三个面相切，且切点分别在线段AB1，AC，AD1上，如图所示，设线段AB1上的切点为E，AC1与平面A1BD的交点为O2，圆柱上底面的圆心为O1，半径即为O1E，记为r，设
AB1与平面A1BD的交点为F．
∵正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为，∴AC1＝3，A1B＝BD＝A1D＝．
由题意知，O2F＝DF＝××＝，AO2＝AC1＝1．
由O1E∥O2F知＝，
∴AO1＝O1E，则圆柱的高为3－2AO1＝3－2r，
S侧＝2πr(3－2r)＝4π
＝－4π＋≤，
当r＝时，圆柱的侧面积取得最大值，最大值为．]
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)如图，正方体ABCD?A′B′C′D′的棱长为a，连接A′C′，A′D，A′B，BD，BC′，C′D，得到一个三棱锥．求：
(1)三棱锥A′?BC′D的表面积与正方体表面积的比值；
(2)三棱锥A′?BC′D的体积．
[解]　(1)∵ABCD?A′B′C′D′是正方体，
∴六个面是互相全等的正方形，
∴A′C′＝A′B＝A′D＝BC′＝BD＝C′D＝a，
∴S三棱锥＝4××(a)2＝2a2，S正方体＝6a2，
∴＝．
(2)显然，三棱锥A′?ABD，C′?BCD，D?A′D′C′，
B?A′B′C′是完全一样的，
∴V三棱锥A′?BC′D＝V正方体－4V三棱锥A′?ABD
＝a3－4××a2×a＝a3．
18．(本小题满分12分)如图，在三棱锥A?BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD．
求证：(1)EF∥平面ABC；
(2)AD⊥AC．
[证明]　(1)在平面ABD内，因为AB⊥AD，EF⊥AD，
所以EF∥AB．
又因为EF?平面ABC，AB?平面ABC，
所以EF∥平面ABC．
(2)因为平面ABD⊥平面BCD，
平面ABD∩平面BCD＝BD，
BC?平面BCD，BC⊥BD，
所以BC⊥平面ABD．
因为AD?平面ABD，所以BC⊥AD．
又AB⊥AD，BC∩AB＝B，AB?平面ABC，BC?平面ABC，
所以AD⊥平面ABC．
又因为AC?平面ABC，所以AD⊥AC．
19．(本小题满分12分)如图，圆锥的轴截面SAB为等腰直角三角形，Q为底面圆周上一点．
(1)若QB的中点为C，求证：平面SOC⊥平面SBQ；
(2)若∠AOQ＝120°，QB＝，求圆锥的表面积．
[解]　(1)证明：∵SQ＝SB，OQ＝OB，C为QB的中点，
∴QB⊥SC，QB⊥OC．
∵SC∩OC＝C，∴QB⊥平面SOC．
又∵QB?平面SBQ，
∴平面SOC⊥平面SBQ．
(2)∵∠AOQ＝120°，QB＝，
∴∠BOQ＝60°，即△OBQ为等边三角形，∴OB＝．
∵△SAB为等腰直角三角形，∴SB＝，
∴S侧＝×π＝3π，
∴S表＝S侧＋S底＝3π＋3π＝(3＋3)π．
20．(本小题满分12分)如图所示，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，底面边长为a，E是PC的中点．
(1)求证：PA∥平面BDE；
(2)求证：平面PAC⊥平面BDE；
(3)若二面角E?BD?C为30°，求四棱锥P?ABCD的体积．
[解]　(1)证明：连接OE，如图所示．
∵O，E分别为AC，PC的中点，
∴OE∥PA．
∵OE?平面BDE，PA?平面BDE，∴PA∥平面BDE．
(2)证明：∵PO⊥平面ABCD，
∴PO⊥BD．
在正方形ABCD中，BD⊥AC．
又∵PO∩AC＝O，∴BD⊥平面PAC．
又∵BD?平面BDE，∴平面PAC⊥平面BDE．
(3)取OC中点F，连接EF．∵E为PC中点，
∴EF为△POC的中位线，∴EF∥PO．
又∵PO⊥平面ABCD，∴EF⊥平面ABCD，
∴EF⊥BD．
∵OF⊥BD，OF∩EF＝F，∴BD⊥平面EFO，
∴OE⊥BD，∴∠EOF为二面角E?BD?C的平面角，
∴∠EOF＝30°．
在Rt△OEF中，OF＝OC＝AC＝a，
∴EF＝OF·tan
30°＝a，∴OP＝2EF＝a．
∴VP?ABCD＝×a2×a＝a3．
21．(本小题满分12分)如图，设△ABC内接于⊙O，PA垂直于⊙O所在的平面．
(1)请指出图中互相垂直的平面；(要求：列出所有的情形，但不要求证明)
(2)若要使互相垂直的平面对数在原有的基础上增加一对，那么在△ABC中需添加一个什么条件？
(要求：添加你认为正确的一个条件即可，不必考虑所有可能的情形，但必须证明你添加的条件的正确性，答案不唯一)
(3)设D是PC的中点，AC＝AB＝a(a是常数)，试探究在PA上是否存在一点M，使MD＋MB最小？若存在，试确定点M的位置；若不存在，请说明理由．
[解]　(1)图中互相垂直的平面有：
平面PAC⊥平面ABC，平面PAB⊥平面ABC．
(2)要使互相垂直的平面对数在原有的基础上增加一对，在△ABC中需添加AB⊥BC(或AC是圆O的直径)．
证明如下：
∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴BC⊥PA，
∵AB⊥BC，PA∩AB＝A，
∴BC⊥平面PAB，
又BC?平面PBC，∴平面PBC⊥平面PAB；
(3)将平面PAB绕PA沿逆时针方向旋转到与平面PAC在同一平面上，
如图，
∵PA⊥AC，PA⊥AB，
∴C、A、B在同一条直线上，连接DB交PA于点M，则点M就是所求的点，过点D作DE∥BC，交PA于E，
∵D是PC的中点，∴E是PA的中点，
∵＝，且AC＝AB，∴＝2，
∴AM＝AE＝AP，即M为AP上靠近点A的一个三等分点时，MD＋MB最小．
22．(本小题满分12分)如图(1)，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图(2)．
(1)　　　　　　　　　(2)
(1)求证：DE∥平面A1CB；
(2)求证：A1F⊥BE；
(3)线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ．说明理由．
[解]　(1)证明：∵D，E分别为AC，AB的中点，
∴DE∥BC．
又∵DE?平面A1CB，BC?平面A1CB，
∴DE∥平面A1CB．
(2)证明：由已知得AC⊥BC且DE∥BC，
∴DE⊥AC，
∴DE⊥A1D，DE⊥CD，
又A1D∩CD＝D，
∴DE⊥平面A1DC，而A1F?平面A1DC，
∴DE⊥A1F．
又∵A1F⊥CD，DE∩CD＝D，
∴A1F⊥平面BCDE，
∵BE?平面BCDE，
∴A1F⊥BE．
(3)线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ．
理由如下：
如图，分别取A1C，A1B的中点P，Q，连接PQ，QE，PD，则PQ∥BC．
又∵DE∥BC，
∴DE∥PQ，
∴平面DEQ即为平面DEP．
由(2)知，DE⊥平面A1DC，A1C?平面A1DC，
∴DE⊥A1C．
又∵P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，
∴A1C⊥DP．
又DE∩DP＝D，
∴A1C⊥平面DEP．
从而A1C⊥平面DEQ．
故线段A1B上存在点Q(A1B的中点)，使得A1C⊥平面DEQ．