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高中数学
苏教版(2019)
必修 第二册
第11章 解三角形
本章复习与测试
第11章解三角形单元测试题-2020-2021学年高一下学期数学苏教版(2019)必修第二册(Word含答案解析)
文档属性
名称
第11章解三角形单元测试题-2020-2021学年高一下学期数学苏教版(2019)必修第二册(Word含答案解析)
格式
doc
文件大小
1.2MB
资源类型
教案
版本资源
苏教版(2019)
科目
数学
更新时间
2021-09-10 22:00:11
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文档简介
解三角形
一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.在△ABC中,a=k,b=k(k>0),A=45°,则满足条件的三角形有( )
A.0个
B.1个
C.2个
D.无数个
2.在△ABC中,sin
A∶sin
B∶sin
C=3∶2∶3,则cos
C的值为( )
A.
B.-
C.
D.-
3.在△ABC中,A=,BC=3,AB=,则C=( )
A.或
B.
C.
D.
4.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若b=6,a=2c,B=,则△ABC的面积为( )
A.6
B.12
C.4
D.2
5.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且sin2=,则△ABC的形状为( )
A.等边三角形
B.直角三角形
C.等腰三角形
D.等腰直角三角形
6.设锐角三角形ABC的内角A,B,C所对边分别为a,b,c,且a=2,B=2A,则b的取值范围为( )
A.(2,2)
B.(2,4)
C.(2,2)
D.(0,4)
7.如图,在△ABC中,D是边AC上的点,且AB=AD,2AB=BD,BC=2BD,则sin
C的值为( )
A.
B.
C.
D.
8.启东中学天文台是启中校园的标志性建筑.小明同学为了估算学校天文台的高度,在学校宿舍楼AB,其高为(15-5)m,在它们之间的地面上的点M(B,M,D三点共线)处测得楼顶A,天文台顶C的仰角分别是15°和60°,在楼顶A处测得天文台顶C的仰角为30°,假设AB,CD和点M在同一平面内,则小明估算学校天文台的高度为( )
A.20
m
B.30
m
C.20
m
D.30
m
二、选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项是符合题目要求的,全部选对得5分,部分选对得3分,有选错得0分)
9.在△ABC中,b=2,B=45°,若这样的三角形有两个,则边a的取值可以为( )
A.2
B.
C.
D.2
10.
若△ABC中,
AB=2,AC=BC,则S△ABC的可能取值为( )
A.2
B.
C.2
D.3
11.在△ABC中,a=7,b=8,cos
B=-.
则( )
A.A=
B.A=
C.S△ABC=6
D.S△ABC=3
12.在△ABC中,D在线段AB上,且AD=5,BD=3,若CB=2CD,cos∠CDB=-,则( )
A.sin∠CDB=
B.△ABC的面积为8
C.△ABC的周长为8+4
D.△ABC为钝角三角形
三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在题中横线上)
13.已知△ABC为钝角三角形,且C为钝角,则a2+b2与c2的大小关系为________.
14.设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c.若b+c=2a,3sin
A=5sin
B,则角C=________.
15.在△ABC中,∠ABC=90°,AB=4,BC=3,点D在线段AC上,若∠BDC=45°,则BD=________,cos∠ABD=________.(本题第一空2分,第二空3分)
16.海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象,被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”,我国拥有世界上最深的海洋蓝洞,若要测量如图所示的蓝洞的口径A,B两点间的距离,现在珊瑚群岛上取两点C,D,测得CD=80,∠ADB=135°,∠BDC=∠DCA=15°,∠ACB=120°,则A,B两点间的距离为________.
四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,asin
Asin
B+bcos2A=a.
(1)求;
(2)若c2=b2+a2,求B.
18.(本小题满分12分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.
(1)若a=3c,b=,cos
B=,求c的值;
(2)若=,求sin(B+)的值.
19.(本小题满分12分)在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C所对的边,且满足sin
A+cos
A=2.
(1)求角A的大小;
(2)现给出三个条件:①a=2;②B=;③c=b.试从中选出两个可以确定△ABC的条件,写出你的方案并以此为依据求△ABC的面积.(写出一种方案即可)
20.(本小题满分12分)某观测站在城A南偏西20°方向的C处,由城A出发的一条公路,走向是南偏东40°,在C处测得公路距C处31千米的B处有一人正沿公路向城A走去,走了20千米后到达D处,此时C、D间的距离为21千米,问这人还要走多少千米可到达城A?
21.(本小题满分12分)已知△ABC中,角A,B,C所对边分别为a,b,c,=.
(1)求证:2a=b+c;
(2)若cos
A=,S△ABC=6,求a的值.
22.(本小题满分12分)在平面四边形ABCD中,△ABD中边BD所对的角为A,△BCD中边BD所对的角为C,已知AB=BC=CD=2,AD=2.
(1)试问cos
A-cos
C是否是定值,若是定值请求出;若不是请说明理由;
(2)记△ABD与△BCD的面积分别为S1和S2,求出S+S的最大值.
一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.在△ABC中,a=k,b=k(k>0),A=45°,则满足条件的三角形有( )
A.0个
B.1个
C.2个
D.无数个
A [由正弦定理得=,
所以sin
B==>1,即sin
B>1,这是不成立的.所以没有满足此条件的三角形.]
2.在△ABC中,sin
A∶sin
B∶sin
C=3∶2∶3,则cos
C的值为( )
A.
B.-
C.
D.-
A [根据正弦定理,a∶b∶c=si
A∶sin
B∶sin
C=3∶2∶3,
设a=3k,b=2k,c=3k(k>0).
则有cos
C==.]
3.在△ABC中,A=,BC=3,AB=,则C=( )
A.或
B.
C.
D.
C [由=,得sin
C=.
∵BC=3,AB=,∴A>C,则C为锐角,故C=.]
4.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若b=6,a=2c,B=,则△ABC的面积为( )
A.6
B.12
C.4
D.2
A [法一:因为a=2c,b=6,B=,所以由余弦定理b2=a2+c2-2accos
B,得62=(2c)2+c2-2×2c×ccos
,得c=2,所以a=4,所以△ABC的面积S=acsin
B=×4×2×sin
=6.故选A.
法二:因为a=2c,b=6,B=,所以由余弦定理b2=a2+c2-2accos
B,得62=(2c)2+c2-2×2c×ccos
,得c=2,所以a=4,所以a2=b2+c2,所以A=,所以△ABC的面积S=×2×6=6.故选A.]
5.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且sin2=,则△ABC的形状为( )
A.等边三角形
B.直角三角形
C.等腰三角形
D.等腰直角三角形
B [由已知可得=-,
即cos
A=,b=ccos
A.
法一:由余弦定理得cos
A=,则b=c·,
所以c2=a2+b2,由此知△ABC为直角三角形.
法二:由正弦定理,得sin
B=sin
Ccos
A.
在△ABC中,sin
B=sin(A+C),
从而有sin
Acos
C+cos
Asin
C=sin
Ccos
A,
即sin
Acos
C=0.在△ABC中,sin
A≠0,
所以cos
C=0,由此得C=,
故△ABC为直角三角形.]
6.设锐角三角形ABC的内角A,B,C所对边分别为a,b,c,且a=2,B=2A,则b的取值范围为( )
A.(2,2)
B.(2,4)
C.(2,2)
D.(0,4)
A [∵在锐角三角形ABC中,B=2A,
∴0<2A<,且B+A=3A,∴C=π-3A.
∵0<π-3A<,
∴
A<.
∵a=2,B=2A,
∴由正弦定理得==2cos
A,∴b=4cos
A,
∴2<4cos
A<2,则b的取值范围为(2,2).]
7.如图,在△ABC中,D是边AC上的点,且AB=AD,2AB=BD,BC=2BD,则sin
C的值为( )
A.
B.
C.
D.
D [设BD=a,则BC=2a,AB=AD=a.
在△ABD中,由余弦定理,得
cos
A==eq
\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)a))+\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)a))-a2,2×\f(\r(3),2)a·\f(\r(3),2)a)=.
又∵A为△ABC的内角,∴sin
A=.
在△ABC中,由正弦定理得,=.
∴sin
C=·sin
A=·=.]
8.启东中学天文台是启中校园的标志性建筑.小明同学为了估算学校天文台的高度,在学校宿舍楼AB,其高为(15-5)m,在它们之间的地面上的点M(B,M,D三点共线)处测得楼顶A,天文台顶C的仰角分别是15°和60°,在楼顶A处测得天文台顶C的仰角为30°,假设AB,CD和点M在同一平面内,则小明估算学校天文台的高度为( )
A.20
m
B.30
m
C.20
m
D.30
m
B [在直角三角形ABM中,AM=,
在△ACM中,∠CAM=30°+15°=45°,∠AMC=180°-15°-60°=105°,
故∠ACM=180°-45°-105°=30°,
由正弦定理,=,
故CM=·AM=×.
在直角三角形CDM中,
CD=CMsin
60°=×=×=30(m).故选B.]
二、选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项是符合题目要求的,全部选对得5分,部分选对得3分,有选错得0分)
9.在△ABC中,b=2,B=45°,若这样的三角形有两个,则边a的取值可以为( )
A.2
B.
C.
D.2
BC [由题意得??2
10.
若△ABC中,
AB=2,AC=BC,则S△ABC的可能取值为( )
A.2
B.
C.2
D.3
ABC [设BC=x,则AC=x.根据三角形的面积公式,
得S△ABC=·AB·BCsin
B=x.
①
根据余弦定理,得cos
B===.
②
将②代入①,得S△ABC=x=.
由三角形的三边关系,得解得2-2
故当x=2时,S△ABC取得最大值2,故选A.
不选D;
当x=1时,S△ABC=,故选B;
当x=2时,S△ABC=2
,故选C,应选ABC.]
11.在△ABC中,a=7,b=8,cos
B=-.
则( )
A.A=
B.A=
C.S△ABC=6
D.S△ABC=3
AC [在△ABC中,因为cos
B=-,所以sin
B==.
由正弦定理得sin
A==.由题设知
在△ABC中,因为sin
C=sin(A+B)=sin
Acos
B+cos
Asin
B=,
所以S△ABC=×7×8×=6,故选AC.]
12.在△ABC中,D在线段AB上,且AD=5,BD=3,若CB=2CD,cos∠CDB=-,则( )
A.sin∠CDB=
B.△ABC的面积为8
C.△ABC的周长为8+4
D.△ABC为钝角三角形
BCD [因为cos∠CDB=-,所以sin∠CDB==,故A错误;
设CD=a,则BC=2a,在△BCD中,BC2=CD2+BD2-2BD·CD·cos∠CDB,解得a=,所以S△DBC=BD·CD·sin∠CDB=×3××=3,
所以S△ABC=S△DBC=8,故B正确;
因为∠ADC=π-∠CDB,
所以cos∠ADC=cos=-cos∠CDB=,
在△ADC中,AC2=AD2+CD2-2AD·DC·cos∠ADC,解得AC=2,
所以C△ABC=AB+AC+BC=+2+2=8+4,故C正确;
因为AB=8为最大边,所以cos
C==-<0,即C为钝角,所以△ABC为钝角三角形,故D正确.
故选BCD.]
三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在题中横线上)
13.已知△ABC为钝角三角形,且C为钝角,则a2+b2与c2的大小关系为________.
a2+b2
C=,且C为钝角,
∴cos
C<0,∴a2+b2-c2<0,故a2+b2
14.设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c.若b+c=2a,3sin
A=5sin
B,则角C=________.
[由3sin
A=5sin
B,得3a=5b.
因为b+c=2a,所以a=b,c=b,
所以cos
C==eq
\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)b))+b2-\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,3)b)),2×\f(5,3)b×b)=-.因为C∈(0,π),所以C=.]
15.在△ABC中,∠ABC=90°,AB=4,BC=3,点D在线段AC上,若∠BDC=45°,则BD=________,cos∠ABD=________.(本题第一空2分,第二空3分)
[如图,在△ABD中,由正弦定理有:=,而AB=4,∠ADB=,
AC==5,sin∠BAC==,cos∠BAC==,所以BD=.
cos∠ABD=cos(∠BDC-∠BAC)=coscos∠BAC+sinsin∠BAC=.]
16.海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象,被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”,我国拥有世界上最深的海洋蓝洞,若要测量如图所示的蓝洞的口径A,B两点间的距离,现在珊瑚群岛上取两点C,D,测得CD=80,∠ADB=135°,∠BDC=∠DCA=15°,∠ACB=120°,则A,B两点间的距离为________.
80 [在△ACD中,∠ACD=15°,∠ADC=150°,
∴∠DAC=15°,
由正弦定理,得AC===40(+).
在△BCD中,∠BDC=15°,∠BCD=135°,∴∠DBC=30°,
由正弦定理,得=,
BC==
=80××2
=40(-),
在△ABC中,由余弦定理得
AB2=AC2+BC2-2AC·BCcos
120°
=1
600(+)2+1
600(-)2-2×40(+)×40(-)×=32
000.
∴AB=80.]
四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,asin
Asin
B+bcos2A=a.
(1)求;
(2)若c2=b2+a2,求B.
[解] (1)由正弦定理得,sin2Asin
B+sin
Bcos2A=sin
A,即sin
B(sin2A+cos2A)=sin
A.
故sin
B=sin
A,所以=.
(2)由余弦定理和c2=b2+a2,
得cos
B=.
由(1)知b2=2a2,故c2=(2+)a2.
可得cos2B=,又cos
B>0,
故cos
B=,所以B=45°.
18.(本小题满分12分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.
(1)若a=3c,b=,cos
B=,求c的值;
(2)若=,求sin(B+)的值.
[解] (1)因为a=3c,b=,cos
B=,
由余弦定理cos
B=,
得=,即c2=.所以c=.
(2)因为=,
由正弦定理=,得=,所以cos
B=2sin
B.
从而cos2B=(2sin
B)2,即cos2B=4,故cos2B=.
因为sin
B>0,所以cos
B=2sin
B>0,从而cos
B=.
因此sin=cos
B=.
19.(本小题满分12分)在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C所对的边,且满足sin
A+cos
A=2.
(1)求角A的大小;
(2)现给出三个条件:①a=2;②B=;③c=b.试从中选出两个可以确定△ABC的条件,写出你的方案并以此为依据求△ABC的面积.(写出一种方案即可)
[解] (1)依题意得2sin=2,
即sin=1,
∵0
∴A=.
(2)方案一:选择①②
由正弦定理=,得b==2.
∵A+B+C=π,
∴sin
C=sin(A+B)=sin
Acos
B+cos
Asin
B=,
∴S=absin
C=×2×2×=+1.
方案二:选择①③
由余弦定理b2+c2-2bccos
A=a2,
即b2+3b2-3b2=4,解得b=2,c=2,
∴S=bcsin
A=×2×2×=.
说明:若选择②③,由c=b得,sin
C=sin
B=>1不成立,这样的三角形不存在.
20.(本小题满分12分)某观测站在城A南偏西20°方向的C处,由城A出发的一条公路,走向是南偏东40°,在C处测得公路距C处31千米的B处有一人正沿公路向城A走去,走了20千米后到达D处,此时C、D间的距离为21千米,问这人还要走多少千米可到达城A?
[解] 如图所示,
设∠ACD=α,∠CDB=β.
在△CBD中,由余弦定理得
cos
β=
==-,
∴sin
β=.
而sin
α=sin(β-60°)=sin
βcos
60°-sin
60°cos
β=×+×=.
在△ACD中,=,
∴AD==15(千米).
所以这人还要再走15千米可到达城A.
21.(本小题满分12分)已知△ABC中,角A,B,C所对边分别为a,b,c,=.
(1)求证:2a=b+c;
(2)若cos
A=,S△ABC=6,求a的值.
[解] (1)证明:∵=,
∴2sin
A-sin
Acos
B=sin
B+sin
Bcos
A,
可得2sin
A=sin
B+sin
Acos
B+sin
Bcos
A=sin
B+sin(A+B)=sin
B+sin
C,
所以由正弦定理可得2a=b+c.
(2)∵cos
A=,A为三角形内角,
∴sin
A==.
又S△ABC=6,
∴6=bcsin
A,
∴bc=20,
由余弦定理可得cos
A======.
整理得a2=24,解得a=2(负值舍去).
22.(本小题满分12分)在平面四边形ABCD中,△ABD中边BD所对的角为A,△BCD中边BD所对的角为C,已知AB=BC=CD=2,AD=2.
(1)试问cos
A-cos
C是否是定值,若是定值请求出;若不是请说明理由;
(2)记△ABD与△BCD的面积分别为S1和S2,求出S+S的最大值.
[解] (1)在△ABD中,由余弦定理得
BD2=4+12-8cos
A=16-8cos
A,
在△BCD中,由余弦定理得BD2=4+4-8cos
C=8-8cos
C,
所以16-8cos
A=8-8cos
C,
则8=8,
所以cos
A-cos
C=1,
所以cos
A-cos
C为定值1.
(2)S1=×2×2sin
A=2sin
A,
S2=×2×2sin
C=2sin
C,
则S+S=12sin2A+4sin2C=16-(12cos2A+4cos2C),
由(1)知:cos
A=1+cos
C,代入上式得
S+S=16-12cos2A-42=-24cos2A+8cos
A+12,
配方得S+S=-24+14,
所以当cos
A=时,S+S取到最大值14.
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同课章节目录
第9章 平面向量
9.1 向量概念
9.2 向量运算
9.3 向量基本定理及坐标表示
9.4 向量应用
第10章 三角恒等变换
10.1 两角和与差的三角函数
10.2 二倍角的三角函数
10.3 几个三角恒等式
第11章 解三角形
11.1 余弦定理
11.2 正弦定理
11.3 余弦定理、正弦定理的应用
第12章 复数
12.1 复数的概念
12.2 复数的运算
12.3 复数的几何意义
12.4 复数的三角形式
第13章 立体几何初步
13.1 基本立体图形
13.2 基本图形位置关系
13.3 空间图形的表面积和体积
第14章 统计
14.1 获取数据的基本途径及相关概念
14.2 抽样
14.3 统计图表
14.4 用样本估计总体
第15章 概率
15.1 随机事件和样本空间
15.2 随机事件的概率
15.3 互斥事件和独立事件
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