第11章解三角形单元测试题-2020-2021学年高一下学期数学苏教版(2019)必修第二册(Word含答案解析)

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名称 第11章解三角形单元测试题-2020-2021学年高一下学期数学苏教版(2019)必修第二册(Word含答案解析)
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资源类型 教案
版本资源 苏教版(2019)
科目 数学
更新时间 2021-09-10 22:00:11

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文档简介

解三角形
一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.在△ABC中,a=k,b=k(k>0),A=45°,则满足条件的三角形有(  )
A.0个
B.1个
C.2个
D.无数个
2.在△ABC中,sin
A∶sin
B∶sin
C=3∶2∶3,则cos
C的值为(  )
A.
B.-
C.
D.-
3.在△ABC中,A=,BC=3,AB=,则C=(  )
A.或
B.
C.
D.
4.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若b=6,a=2c,B=,则△ABC的面积为(  )
A.6
B.12
C.4
D.2
5.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且sin2=,则△ABC的形状为(  )
A.等边三角形
B.直角三角形
C.等腰三角形
D.等腰直角三角形
6.设锐角三角形ABC的内角A,B,C所对边分别为a,b,c,且a=2,B=2A,则b的取值范围为(  )
A.(2,2)
B.(2,4)
C.(2,2)
D.(0,4)
7.如图,在△ABC中,D是边AC上的点,且AB=AD,2AB=BD,BC=2BD,则sin
C的值为(  )
A.
B.
C.
D.
8.启东中学天文台是启中校园的标志性建筑.小明同学为了估算学校天文台的高度,在学校宿舍楼AB,其高为(15-5)m,在它们之间的地面上的点M(B,M,D三点共线)处测得楼顶A,天文台顶C的仰角分别是15°和60°,在楼顶A处测得天文台顶C的仰角为30°,假设AB,CD和点M在同一平面内,则小明估算学校天文台的高度为(  )
A.20
m
B.30
m
C.20
m
D.30
m
二、选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项是符合题目要求的,全部选对得5分,部分选对得3分,有选错得0分)
9.在△ABC中,b=2,B=45°,若这样的三角形有两个,则边a的取值可以为(  )
A.2
B.
C.
D.2
10.
若△ABC中,
AB=2,AC=BC,则S△ABC的可能取值为(  )
A.2
B.
C.2
D.3
11.在△ABC中,a=7,b=8,cos
B=-.
则(  )
A.A=
B.A=
C.S△ABC=6
D.S△ABC=3
12.在△ABC中,D在线段AB上,且AD=5,BD=3,若CB=2CD,cos∠CDB=-,则(  )
A.sin∠CDB=
B.△ABC的面积为8
C.△ABC的周长为8+4
D.△ABC为钝角三角形
三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在题中横线上)
13.已知△ABC为钝角三角形,且C为钝角,则a2+b2与c2的大小关系为________.
14.设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c.若b+c=2a,3sin
A=5sin
B,则角C=________.
15.在△ABC中,∠ABC=90°,AB=4,BC=3,点D在线段AC上,若∠BDC=45°,则BD=________,cos∠ABD=________.(本题第一空2分,第二空3分)
16.海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象,被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”,我国拥有世界上最深的海洋蓝洞,若要测量如图所示的蓝洞的口径A,B两点间的距离,现在珊瑚群岛上取两点C,D,测得CD=80,∠ADB=135°,∠BDC=∠DCA=15°,∠ACB=120°,则A,B两点间的距离为________.
四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,asin
Asin
B+bcos2A=a.
(1)求;
(2)若c2=b2+a2,求B.
18.(本小题满分12分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.
(1)若a=3c,b=,cos
B=,求c的值;
(2)若=,求sin(B+)的值.
19.(本小题满分12分)在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C所对的边,且满足sin
A+cos
A=2.
(1)求角A的大小;
(2)现给出三个条件:①a=2;②B=;③c=b.试从中选出两个可以确定△ABC的条件,写出你的方案并以此为依据求△ABC的面积.(写出一种方案即可)
20.(本小题满分12分)某观测站在城A南偏西20°方向的C处,由城A出发的一条公路,走向是南偏东40°,在C处测得公路距C处31千米的B处有一人正沿公路向城A走去,走了20千米后到达D处,此时C、D间的距离为21千米,问这人还要走多少千米可到达城A?
21.(本小题满分12分)已知△ABC中,角A,B,C所对边分别为a,b,c,=.
(1)求证:2a=b+c;
(2)若cos
A=,S△ABC=6,求a的值.
22.(本小题满分12分)在平面四边形ABCD中,△ABD中边BD所对的角为A,△BCD中边BD所对的角为C,已知AB=BC=CD=2,AD=2.
(1)试问cos
A-cos
C是否是定值,若是定值请求出;若不是请说明理由;
(2)记△ABD与△BCD的面积分别为S1和S2,求出S+S的最大值.
一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.在△ABC中,a=k,b=k(k>0),A=45°,则满足条件的三角形有(  )
A.0个
B.1个
C.2个
D.无数个
A [由正弦定理得=,
所以sin
B==>1,即sin
B>1,这是不成立的.所以没有满足此条件的三角形.]
2.在△ABC中,sin
A∶sin
B∶sin
C=3∶2∶3,则cos
C的值为(  )
A.
B.-
C.
D.-
A [根据正弦定理,a∶b∶c=si
A∶sin
B∶sin
C=3∶2∶3,
设a=3k,b=2k,c=3k(k>0).
则有cos
C==.]
3.在△ABC中,A=,BC=3,AB=,则C=(  )
A.或
B.
C.
D.
C [由=,得sin
C=.
∵BC=3,AB=,∴A>C,则C为锐角,故C=.]
4.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若b=6,a=2c,B=,则△ABC的面积为(  )
A.6
B.12
C.4
D.2
A [法一:因为a=2c,b=6,B=,所以由余弦定理b2=a2+c2-2accos
B,得62=(2c)2+c2-2×2c×ccos
,得c=2,所以a=4,所以△ABC的面积S=acsin
B=×4×2×sin
=6.故选A.
法二:因为a=2c,b=6,B=,所以由余弦定理b2=a2+c2-2accos
B,得62=(2c)2+c2-2×2c×ccos
,得c=2,所以a=4,所以a2=b2+c2,所以A=,所以△ABC的面积S=×2×6=6.故选A.]
5.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且sin2=,则△ABC的形状为(  )
A.等边三角形
B.直角三角形
C.等腰三角形
D.等腰直角三角形
B [由已知可得=-,
即cos
A=,b=ccos
A.
法一:由余弦定理得cos
A=,则b=c·,
所以c2=a2+b2,由此知△ABC为直角三角形.
法二:由正弦定理,得sin
B=sin
Ccos
A.
在△ABC中,sin
B=sin(A+C),
从而有sin
Acos
C+cos
Asin
C=sin
Ccos
A,
即sin
Acos
C=0.在△ABC中,sin
A≠0,
所以cos
C=0,由此得C=,
故△ABC为直角三角形.]
6.设锐角三角形ABC的内角A,B,C所对边分别为a,b,c,且a=2,B=2A,则b的取值范围为(  )
A.(2,2)
B.(2,4)
C.(2,2)
D.(0,4)
A [∵在锐角三角形ABC中,B=2A,
∴0<2A<,且B+A=3A,∴C=π-3A.
∵0<π-3A<,
A<.
∵a=2,B=2A,
∴由正弦定理得==2cos
A,∴b=4cos
A,
∴2<4cos
A<2,则b的取值范围为(2,2).]
7.如图,在△ABC中,D是边AC上的点,且AB=AD,2AB=BD,BC=2BD,则sin
C的值为(  )
A.
B.
C.
D.
D [设BD=a,则BC=2a,AB=AD=a.
在△ABD中,由余弦定理,得
cos
A==eq
\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)a))+\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)a))-a2,2×\f(\r(3),2)a·\f(\r(3),2)a)=.
又∵A为△ABC的内角,∴sin
A=.
在△ABC中,由正弦定理得,=.
∴sin
C=·sin
A=·=.]
8.启东中学天文台是启中校园的标志性建筑.小明同学为了估算学校天文台的高度,在学校宿舍楼AB,其高为(15-5)m,在它们之间的地面上的点M(B,M,D三点共线)处测得楼顶A,天文台顶C的仰角分别是15°和60°,在楼顶A处测得天文台顶C的仰角为30°,假设AB,CD和点M在同一平面内,则小明估算学校天文台的高度为(  )
A.20
m
B.30
m
C.20
m
D.30
m
B [在直角三角形ABM中,AM=,
在△ACM中,∠CAM=30°+15°=45°,∠AMC=180°-15°-60°=105°,
故∠ACM=180°-45°-105°=30°,
由正弦定理,=,
故CM=·AM=×.
在直角三角形CDM中,
CD=CMsin
60°=×=×=30(m).故选B.]
二、选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项是符合题目要求的,全部选对得5分,部分选对得3分,有选错得0分)
9.在△ABC中,b=2,B=45°,若这样的三角形有两个,则边a的取值可以为(  )
A.2
B.
C.
D.2
BC [由题意得??210.
若△ABC中,
AB=2,AC=BC,则S△ABC的可能取值为(  )
A.2
B.
C.2
D.3
ABC [设BC=x,则AC=x.根据三角形的面积公式,
得S△ABC=·AB·BCsin
B=x.

根据余弦定理,得cos
B===.

将②代入①,得S△ABC=x=.
由三角形的三边关系,得解得2-2故当x=2时,S△ABC取得最大值2,故选A.
不选D;
当x=1时,S△ABC=,故选B;
当x=2时,S△ABC=2
,故选C,应选ABC.]
11.在△ABC中,a=7,b=8,cos
B=-.
则(  )
A.A=
B.A=
C.S△ABC=6
D.S△ABC=3
AC [在△ABC中,因为cos
B=-,所以sin
B==.
由正弦定理得sin
A==.由题设知在△ABC中,因为sin
C=sin(A+B)=sin
Acos
B+cos
Asin
B=,
所以S△ABC=×7×8×=6,故选AC.]
12.在△ABC中,D在线段AB上,且AD=5,BD=3,若CB=2CD,cos∠CDB=-,则(  )
A.sin∠CDB=
B.△ABC的面积为8
C.△ABC的周长为8+4
D.△ABC为钝角三角形
BCD [因为cos∠CDB=-,所以sin∠CDB==,故A错误;
设CD=a,则BC=2a,在△BCD中,BC2=CD2+BD2-2BD·CD·cos∠CDB,解得a=,所以S△DBC=BD·CD·sin∠CDB=×3××=3,
所以S△ABC=S△DBC=8,故B正确;
因为∠ADC=π-∠CDB,
所以cos∠ADC=cos=-cos∠CDB=,
在△ADC中,AC2=AD2+CD2-2AD·DC·cos∠ADC,解得AC=2,
所以C△ABC=AB+AC+BC=+2+2=8+4,故C正确;
因为AB=8为最大边,所以cos
C==-<0,即C为钝角,所以△ABC为钝角三角形,故D正确.
故选BCD.]
三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在题中横线上)
13.已知△ABC为钝角三角形,且C为钝角,则a2+b2与c2的大小关系为________.
a2+b2C=,且C为钝角,
∴cos
C<0,∴a2+b2-c2<0,故a2+b214.设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c.若b+c=2a,3sin
A=5sin
B,则角C=________.
 [由3sin
A=5sin
B,得3a=5b.
因为b+c=2a,所以a=b,c=b,
所以cos
C==eq
\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)b))+b2-\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,3)b)),2×\f(5,3)b×b)=-.因为C∈(0,π),所以C=.]
15.在△ABC中,∠ABC=90°,AB=4,BC=3,点D在线段AC上,若∠BDC=45°,则BD=________,cos∠ABD=________.(本题第一空2分,第二空3分)
  
[如图,在△ABD中,由正弦定理有:=,而AB=4,∠ADB=,
AC==5,sin∠BAC==,cos∠BAC==,所以BD=.
cos∠ABD=cos(∠BDC-∠BAC)=coscos∠BAC+sinsin∠BAC=.]
16.海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象,被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”,我国拥有世界上最深的海洋蓝洞,若要测量如图所示的蓝洞的口径A,B两点间的距离,现在珊瑚群岛上取两点C,D,测得CD=80,∠ADB=135°,∠BDC=∠DCA=15°,∠ACB=120°,则A,B两点间的距离为________.
80 [在△ACD中,∠ACD=15°,∠ADC=150°,
∴∠DAC=15°,
由正弦定理,得AC===40(+).
在△BCD中,∠BDC=15°,∠BCD=135°,∴∠DBC=30°,
由正弦定理,得=,
BC==
=80××2
=40(-),
在△ABC中,由余弦定理得
AB2=AC2+BC2-2AC·BCcos
120°
=1
600(+)2+1
600(-)2-2×40(+)×40(-)×=32
000.
∴AB=80.]
四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,asin
Asin
B+bcos2A=a.
(1)求;
(2)若c2=b2+a2,求B.
[解] (1)由正弦定理得,sin2Asin
B+sin
Bcos2A=sin
A,即sin
B(sin2A+cos2A)=sin
A.
故sin
B=sin
A,所以=.
(2)由余弦定理和c2=b2+a2,
得cos
B=.
由(1)知b2=2a2,故c2=(2+)a2.
可得cos2B=,又cos
B>0,
故cos
B=,所以B=45°.
18.(本小题满分12分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.
(1)若a=3c,b=,cos
B=,求c的值;
(2)若=,求sin(B+)的值.
[解] (1)因为a=3c,b=,cos
B=,
由余弦定理cos
B=,
得=,即c2=.所以c=.
(2)因为=,
由正弦定理=,得=,所以cos
B=2sin
B.
从而cos2B=(2sin
B)2,即cos2B=4,故cos2B=.
因为sin
B>0,所以cos
B=2sin
B>0,从而cos
B=.
因此sin=cos
B=.
19.(本小题满分12分)在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C所对的边,且满足sin
A+cos
A=2.
(1)求角A的大小;
(2)现给出三个条件:①a=2;②B=;③c=b.试从中选出两个可以确定△ABC的条件,写出你的方案并以此为依据求△ABC的面积.(写出一种方案即可)
[解] (1)依题意得2sin=2,
即sin=1,
∵0∴A=.
(2)方案一:选择①②
由正弦定理=,得b==2.
∵A+B+C=π,
∴sin
C=sin(A+B)=sin
Acos
B+cos
Asin
B=,
∴S=absin
C=×2×2×=+1.
方案二:选择①③
由余弦定理b2+c2-2bccos
A=a2,
即b2+3b2-3b2=4,解得b=2,c=2,
∴S=bcsin
A=×2×2×=.
说明:若选择②③,由c=b得,sin
C=sin
B=>1不成立,这样的三角形不存在.
20.(本小题满分12分)某观测站在城A南偏西20°方向的C处,由城A出发的一条公路,走向是南偏东40°,在C处测得公路距C处31千米的B处有一人正沿公路向城A走去,走了20千米后到达D处,此时C、D间的距离为21千米,问这人还要走多少千米可到达城A?
[解] 如图所示,
设∠ACD=α,∠CDB=β.
在△CBD中,由余弦定理得
cos
β=
==-,
∴sin
β=.
而sin
α=sin(β-60°)=sin
βcos
60°-sin
60°cos
β=×+×=.
在△ACD中,=,
∴AD==15(千米).
所以这人还要再走15千米可到达城A.
21.(本小题满分12分)已知△ABC中,角A,B,C所对边分别为a,b,c,=.
(1)求证:2a=b+c;
(2)若cos
A=,S△ABC=6,求a的值.
[解] (1)证明:∵=,
∴2sin
A-sin
Acos
B=sin
B+sin
Bcos
A,
可得2sin
A=sin
B+sin
Acos
B+sin
Bcos
A=sin
B+sin(A+B)=sin
B+sin
C,
所以由正弦定理可得2a=b+c.
(2)∵cos
A=,A为三角形内角,
∴sin
A==.
又S△ABC=6,
∴6=bcsin
A,
∴bc=20,
由余弦定理可得cos
A======.
整理得a2=24,解得a=2(负值舍去).
22.(本小题满分12分)在平面四边形ABCD中,△ABD中边BD所对的角为A,△BCD中边BD所对的角为C,已知AB=BC=CD=2,AD=2.
(1)试问cos
A-cos
C是否是定值,若是定值请求出;若不是请说明理由;
(2)记△ABD与△BCD的面积分别为S1和S2,求出S+S的最大值.
[解] (1)在△ABD中,由余弦定理得
BD2=4+12-8cos
A=16-8cos
A,
在△BCD中,由余弦定理得BD2=4+4-8cos
C=8-8cos
C,
所以16-8cos
A=8-8cos
C,
则8=8,
所以cos
A-cos
C=1,
所以cos
A-cos
C为定值1.
(2)S1=×2×2sin
A=2sin
A,
S2=×2×2sin
C=2sin
C,
则S+S=12sin2A+4sin2C=16-(12cos2A+4cos2C),
由(1)知:cos
A=1+cos
C,代入上式得
S+S=16-12cos2A-42=-24cos2A+8cos
A+12,
配方得S+S=-24+14,
所以当cos
A=时,S+S取到最大值14.