三角恒等变换单元检测B卷-2020-2021学年高一下学期数学苏教版(2019)必修第二册(Word含答案解析)

单元检测二　三角恒等变换(B卷)
(时间：120分钟　满分：150分)
一、
选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.
若sin
α＝，α∈(－，)，则cos(α＋)的值为(　　)
A.
　　
B.
－　　
C.
－　
D.
2.
计算的结果是(　　)
A.
　　　　
B.
　　
C.
　　
D.
2
3.
若3sin
θ＝cos
θ，则cos
2θ＋sin
2θ的值为(　　)
A.
　　
B.
－　　
C.
－　
D.
4.
已知sin
2α＝，则cos
2(α＋)的结果是(　　)
A.
　　
B.
　　
C.
　
D.
5.
若sin
α－cos
β＝－，cos
α－sin
β＝，则sin(α＋β)的结果是(　　)
A.
　　　
B.
　　
C.
　
D.
6.
函数y＝sin
2x＋sin2x，x∈R的值域是(　　)
A.
[－，]　　
B.
[－＋，＋]
C.
[－，]　　
D.
[－－，－]
7.
设θ为第二象限角，若tan(θ＋)＝，则sin
θ＋cos
θ的值为(　　)
A.
　　
B.
－
C.
－　　　
D.
－
8.
设角α，β的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，α，β∈(0，π)，角β的终边与单位圆交点的横坐标是－，角α＋β的终边与单位圆交点的纵坐标是，则cos
α的值为(　　)
A.
　　　　
B.
C.
　　
D.
9.
已知θ为第三象限角，若sin4θ＋cos4θ＝，则sin
2θ的值为(　　)
A.
　　　
B.
－
C.
　　　
D.
－
10.
设函数f(x)＝cos(x＋φ)，g(x)＝－·sin(x＋φ)，0＜φ＜π.若f(x)＋g(x)是奇函数，则φ的值为(　　)
A.
　　　
B.
　　
C.
　
D.
11.
已知α是第二象限的角，tan(π＋2α)＝－，则tan
α的值为(　　)
A.
－2　　　
B.
2　　　
C.
　
D.
－
12.
若两个函数的图象经过若干次平移后能够重合，则称这两个函数为“同形”函数．给出下列四个函数：①
f1(x)＝sin
x＋cos
x；②
f2(x)＝sin
x＋；③
f3(x)＝sin
x；④
f4(x)＝(sin
x＋cos
x)．其中是“同形”函数的有(　　)
A.
①③　　　　
B.
①②
C.
②③　
　　
D.
②④
二、
填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.
已知sin
β＝msin(2α＋β)，且tan(α＋β)＝3tan
α，则实数m的值为________.
14.
已知＝1，tan(β－α)＝－，则tan(β－2α)＝________.
15.
已知α为第二象限角，且tanα＋tan
＝2tan
αtan
－2，则sin(α＋)＝________.
16.
设0＜α＜β＜γ＜2π，若对任意的x∈R，cos(x＋α)＋cos(x＋β)＋cos(x＋γ)＝0均成立，则β－α＝________.
三、
解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.
(本小题满分10分)
(1)
已知tan(α＋β)＝，tan(β－)＝，求的值；
(2)
已知α，β均为锐角，且cos(α＋β)＝，sin(α－β)＝，求2β的值.
18.
(本小题满分12分)
已知向量a＝(3sin
α，cos
α)，b＝(2sin
α，5sin
α－4cos
α)，α∈(，2π)，且a⊥b.
(1)
求tan
α的值；(2)
求cos(＋)的值.
19.
(本小题满分12分)
已知函数f(x)＝2sin
xcos
x＋2cos2x－1(x∈R).
(1)
求函数f(x)的最小正周期及在区间[0，]上的最大值和最小值；
(2)
若f(x0)＝，x0∈[，]，求cos
2x0的值.
20.(本小题满分12分)
如图，点A，B是单位圆上的两点，A，B两点分别在第一、二象限，点C是圆与x轴正半轴的交点，△AOB是正三角形，若点A的坐标为(，)，记∠COA＝α.
(1)求的值；
(2)求|BC|2的值．
21.
(本小题满分12分)
已知点，O为坐标原点。
（I）若的值；
（II）若实数m，n满足的最大值。
22.(本小题满分12分)
已知O为坐标原点，对于函数f(x)＝asin
x＋bcos
x，称向量＝(a，b)为函数f(x)的伴随向量，同时称函数f(x)为向量的伴随函数.
(1)
设函数g(x)＝sin(＋x)＋2cos(－x)，试求g(x)的伴随向量的模；
(2)
记＝(1，)的伴随函数为h(x)，求使得关于x的方程h(x)－t＝0在[0，]内恒有两个不相等实数解的实数t的取值范围.
单元检测三　三角恒等变换(B卷)
1.
B　解析：由α∈，sin
α＝，得cos
α＝.由两角和与差的余弦公式，得cos＝－(cos
α－sin
α)＝－.
2.
C　解析：＝＝＝.
3.
A　解析：∵
3sin
θ＝cos
θ，∴
tan
θ＝.
∴
cos
2θ＋sin
2θ＝cos2θ－sin2θ＋2sin
θcos
θ＝
＝＝＝.
4.
D　解析：cos
2＝[1＋cos(2α＋)]＝(1－sin
2α)＝.
5.
C　解析：由sin
α－cos
β＝－，cos
α－sin
β＝，两式平方再相加，整理得
－2(sin
αcos
β＋cos
αsin
β)＝－，
所以sin(α＋β)＝.
6.
B　解析：y＝sin
2x＋sin2x＝sin
2x＋＝sin
2x－cos
2x＋＝sin＋.∵
x∈R，∴
－1≤sin≤1，∴
y∈[－＋，＋]．
7.
C　解析：∵
tan＝＝，
∴
tan
θ＝－.
又cos2θ＝＝，
θ为第二象限角，
∴
cosθ＝－＝－，
sin
θ＝＝，
∴
sin
θ＋cos
θ＝－＝－.
8.
A　解析：由条件及三角函数的定义知，cos
β＝－，sin(α＋β)＝，α，β∈(0，π)，∴
sin
β＝，cos(α＋β)＝－，
∴
cos
α＝cos
[(α＋β)－β]＝cos(α＋β)·cos
β＋sin(α＋β)sin
β＝.
9.
A　解析：由sin4θ＋cos4θ＝(sin2θ＋cos2θ)2－2sin2θcos2θ＝知，sin2θcos2θ＝.又θ为第三象限角，∴
sin
θ·cos
θ＝，sin
2θ＝.
10.
A　解析：∵
f(x)＋g(x)＋f(－x)＋g(－x)＝0，整理得
cos
φcosx－sin
φ·cosx＝0，∴
2cosxcos＝0对x∈R恒成立，即cos＝0.
∵
0<φ<π，∴
φ＋＝，∴
φ＝.
11.
D　解析：∵
tan(π＋2α)＝－，∴
tan
2α＝－＝，∴
tan
α＝－或tan
α＝2.又α在第二象限，∴
tan
α＝－.
12.
B　解析：∵
f1(x)＝sin，f2(x)＝(1＋sin
x)，f4(x)＝2sin，∴
“同形”函数为①②.
13.
　解析：因为sin
β＝msin(2α＋β)，
所以sin[(α＋β)－α]＝msin
[(α＋β)＋α]，
即sin(α＋β)cos
α－cos(α＋β)sin
α＝m[sin(α＋β)cos
α＋cos(α＋β)sin
α]，
即(1－m)sin(α＋β)cos
α＝(1＋m)cos(α＋β)sin
α，
所以＝＝3，所以m＝.
14.
－1　解析：因为＝1，即＝2tan
α＝1，即tan
α＝，所以tan(β－2α)＝tan(β－α－α)＝＝＝－1.
15.
－　解析：由已知可得tan＝－2.∵
α为第二象限角，∴
sin＝，cos＝－，则sin(α＋)＝－sin(α－)＝－sin[(α＋)－]＝cossin－sin(α＋)cos＝－.
16.
　解析：设f(x)＝cos(x＋α)＋cos(x＋β)＋cos(x＋γ)，由x∈R，f(x)＝0知，
f(－α)＝0，f(－γ)＝0，f(－β)＝0，
即cos(β－α)＋cos(γ－α)＝－1，
cos(α－β)＋cos(γ－β)＝－1，
cos(α－γ)＋cos(β－γ)＝－1，
∴
cos(β－α)＝cos(γ－β)＝cos(γ－α)＝－.∵
0＜α＜β＜γ＜2π，
∴
β－α，γ－α，γ－β∈.
又β－α＜γ－α，γ－β＜γ－α，只有β－α＝γ－β＝.∴
γ－α＝.
另一方面，当β－α＝γ－β＝时，有β＝α＋，γ＝α＋.
?x∈R，记x＋α＝θ，由于三点(cos
θ，sin
θ)，，(cos(θ＋)，sin(θ＋))构成单位圆x2＋y2＝1上正三角形的三个顶点，其中圆心位于原点，显然有cos
θ＋cos＋cos＝0，即cos(x＋α)＋cos(x＋β)＋cos(x＋γ)＝0.
17.
解：(1)
∵
tan(α＋β)＝，tan(β－)＝，∴
＝
＝tan(α＋)＝tan[(α＋β)－(β－)]＝
＝＝.
(2)
∵
α，β均为锐角，
∴
0<α＋β<π，－<α－β<，
∴
sin(α＋β)＝＝，
cos(α－β)＝＝，
∴
cos
2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)＝×＋×＝.
∵
β为锐角，
∴
0<2β<π，∴
2β＝.
18.
解：(1)
∵
a⊥b，∴
a·b＝0.
∵
a＝(3sin
α，cos
α)，b＝(2sin
α，5sin
α－4cos
α)，
∴
a·b＝6sin2α＋5sin
αcos
α－4cos2α＝0.
由于cos
α≠0，∴
6tan2α＋5tan
α－4＝0，
解得tan
α＝－或tan
α＝.
∵
α∈，∴
tan
α<0，
∴
tan
α＝－.
(2)
∵
α∈，∴
∈.
由tan
α＝－，求得tan＝－或tan＝2(舍去)．
∵
∴
sin＝，cos＝－，
∴
cos＝coscos－sinsin＝－×－×
＝－.
19.
解：(1)
f(x)＝sin
2x＋cos
2x＝2sin，T＝＝π.
∵
x∈，
∴
≤2x＋≤，
－≤sin≤1，
∴
f(x)min＝－1，f(x)max＝2.
(2)
∵
x0∈?≤2x0＋≤，　
f(x0)＝2sin＝?sin(2x0＋)＝＞0.
∴
≤2x0＋＜π，
∴
cos＝－，
∴
cos
2x0＝cos
＝cos＋sin(2x0＋)＝×＋×＝.
20.
解：(1)∵A的坐标为(，)，根据三角函数的定义可知，sinα＝，cosα＝，
∴＝＝.
(2)∵△AOB为正三角形，∴∠AOB＝60°.
∴cos∠COB＝cos(α＋60°)＝cosαcos60°－sinαsin60°.
＝×－×＝，
∴|BC|2＝|OC|2＋|OB|2－2|OC|·|OB|cos∠COB
＝1＋1－2×＝.
21.
解：（1）
即
两边平方得：
（2）由已知得：
取得最大值16
22.
解：(1)
∵
g(x)＝sin＋2·cos(－x)＝2sin
x＋cos
x，
∴
＝(2，1)．
∴
||＝＝.
(2)
∵
＝(1，)，∴
＝(1，)的伴随函数h(x)＝sin
x＋cos
x＝2sin.
∵
0≤x≤，∴
≤x＋≤，
∴
h(x)∈[1，2]．
∵
当x∈时，函数h(x)单调递增，且h(x)∈[，2]；当x∈时，函数h(x)单调递减，且h(x)∈[1，2)，
∴
使得关于x的方程h(x)－t＝0在内恒有两个不相等实数解的实数t的取值范围是[，2)．