2022届新高考一轮复习 第四章 导数及其应用 第3讲 导数研究函数极值、最值 教案（含解析）

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第四章
导数及其应用
第3讲
导数研究函数极值、最值
学习要求：
1．了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件．
2．会用导数求函数的极大值、极小值．
3．会求闭区间上函数的最大值、最小值．
知识梳理：
1．导数与函数的极值
（1）函数的极小值：函数在点的函数值比它在点附近的其他点的函数值都小，，而且在点附近的左侧，右侧，我们把叫做函数的极小值点，叫做函数的极小值．
（2）函数的极大值：函数在点的函数值比它在点附近的其他点的函数值都大，，而且在点附近的左侧，右侧，我们把叫做函数的极大值点，叫做函数的极大值．
（3）极小值点与极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．
注意：（1）函数在处有极值的必要不充分条件是，极值点是的根，但的根不都是极值点（例如，，但不是极值点）．
（2）极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画的是函数的局部性质，极值点是函数在区间内部的点，不会是端点．
2．函数的最值
（1）函数在上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．
（2）求在上的最大（小）值的步骤：
①求函数在内的极值；
②将函数的各极值点与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
题型练习：
1利用导数研究函数极值
1．求函数的极值或极值点
【例1】函数的极值点是________．
【变式1．1】函数的极大值为______．
【变式1．2】设的导数满足，
其中常数．设，求函数的极值．
【例2】求函数的极值．
【变式2．1】已知函数，讨论的极值．
【例3】已知函数的导函数为，．求的极值．
【变式3．1】讨论函数的极值．
2．判断极值点的个数
【例4】已知函数极值点的个数为（）
A．0
B．1
C．2
D．3
【变式4．1】函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【例5】（多选）如图，已知直线与曲线相切于两点，则有（）
A．1个极大值点，2个极小值点
B．2个零点
C．0个零点
D．2个极小值点，无极大值点
【变式5．1】（多选）如图，已知直线与曲线相切于两点，设，则（）
A．方程没有实数解
B．方程有6个实数解
C．函数有3个极小值点
D．函数有3个极大值点
3．已知函数的极值或极值点的个数求参数的值或取值范围
【例6】已知函数在处有极小值，则的值为（）
A．2
B．6
C．2或6
D．或6
【变式6．1】已知函数在处有极小值，则实数的值为________．
【变式6．2】已知函数在处有极值0，则的值为（）
A．4
B．7
C．11
D．4或11
【例7】函数在内有极值，则实数的取值范围是（）
A．
B．
C．
D．
【变式7．1】已知函数，若在上有3个极值点，求的取值范围．
【例8】函数（）在内不存在极值点，则a的取值范围是______________．
【变式8．1】函数既有极大值，又有极小值，则的取值范围是_________．
【例9】已知函数，若在处有极大值，求的取值范围．
【变式9．1】已知函数的导数，且在处取得极大值，则实数a的取值范围是（）
A．
B．
C．
D．
4．根据极值点的条件，求极值点代数式的值或取值范围
【例10】已知函数，曲线在点处的切线与轴平行．
（1）求的值；
（2）证明：函数存在唯一的极大值点，并且．
【变式10．1】已知函数的最小值为0．
（1）求；
（2）设函数，证明：有两个极值点，，且．
【变式10．2】已知函数．
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）当时，求证：总存在唯一的极小值点，且．
2利用导数研究函数最值
【例11】已知函数．
（1）若函数在点处的切线方程为，求实数，的值；
（2）当时，求函数在区间上的最值．
【变式11．1】已知函数，其中．
（1）若函数恰好有三个单调区间，求实数的取值范围；
（2）已知函数的图象经过点，且，求的最大值．
【例12】已知函数，，若存在实数，使得，则的最大值为（）
A．
B．1
C．
D．
【变式12．1】已知函数，，若，
则的最小值为（）
A．
B．
C．
D．1
【例13】已知函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若在区间内至少存在一个实数，使得成立，求实数的取值范围．
【变式13．1】已知函数，若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是_________．
课后练习：
一、选择题．
1．设是函数的一个极值点，则（）
A．
B．
C．
D．3
2．已知函数在上无极值，则实数的取值范围为（）
A．
B．
C．
D．
3．设函数在处取得极值为0，则（）
A．2
B．
C．2或
D．1
4．已知是的极值点，则在上的最大值是（）
A．
B．
C．
D．
5．已知函数，，若成立，则的最大值为（）
A．
B．
C．
D．
6．已知函数在上恰有三个极值点，则实数的取值范围是（）
A．
B．
C．
D．
二、填空题．
7．若函数在区间内存在极大值，则的取值范围是___________．
8．已知函数存在两个极值点，则实数的取值范围是______．
9．已知实数，若函数的极小值大于0，则实数的取值范围是__________．
三、解答题．
10．设的导数为，若函数的图象关于直线对称，且．
（1）实数的值；
（2）求函数的极值．
11．已知函数．
（1）当时，直线与函数的图象相切，求实数的值；
（2）当时，函数在上的最大值与最小值的和为，求实数的值．
12．已知函数
()，．
（1）求的单调区间；
（2）当时，若函数在区间内存在唯一的极值点，
求的值．
13．已知函数．
（1）当时，求在点处的切线方程；
（2）若有两个极值点．
①求的取值范围；
②证明的极小值小于．
题型练习：
1利用导数研究函数极值
1．求函数的极值或极值点
【例1】函数的极值点是________．
【答案】1
【解析】的定义域为，，
所以令，解得；令，解得，
所以为的极值点，
故答案为1．
【变式1．1】函数的极大值为______．
【答案】
【解析】，定义域为，
，令，可得或．
当或时，；当时，，
所以，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为，
所以，函数的极大值为，
故答案为．
【变式1．2】设的导数满足，
其中常数．设，求函数的极值．
【答案】极小值，极大值．
【解析】，．
令，得，①
令，得，②
解方程组①②得，
∴，从而有，
令，则或，
∵当时，；当时，；当时，，
在时取极小值，
在时取极大值．
【例2】求函数的极值．
【答案】当时，无极值；当时，有极小值，无极大值．
【解析】由题意知，，
所以当时，，所以在上递减，无极值；
当时，令，
所以在上递减，上递增，
所以当时，取到极小值，无极大值，
综上，当时，无极值；
当时，则当时，有极小值，无极大值．
【变式2．1】已知函数，讨论的极值．
【答案】时，无极值；时，有极小值，
无极大值．
【解析】函数，定义域为，
，
当时，，即在上单调递增，无极值；
当时，令，得，
时，；时，，
即在上单调递减，在上单调递增，有极小值，无极大值，
综上，时，在上单调递增，无极值；
时，在上单调递减，上单调递增，有极小值，无极大值．
【例3】已知函数的导函数为，．求的极值．
【答案】答案见解析．
【解析】由题意，函数的定义为，
则，
令，
则，
令，可得或．
①若，当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以当时，取得极小值，无极大值；
②若时，即时，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以当时，取得极大值，
当时，取得极小值；
③若时，即时，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以当时，取得极大值，
当时，取得极小值，
④若时，此时，此时函数单调递增，此时无极值；
综上可得：
当时，函数有极小值，无极大值；
当时，函数有极大值，极小值；
当时，函数有极大值，极小值；
当时，函数无极值．
【变式3．1】讨论函数的极值．
【答案】当时，无极值；当时，极大值为，无极小值．
【解析】由题意，函数的定义域为，
且，
若，则当时，，
故函数在上单调递增，函数无极值；
若，当时，；当，，
故函数在上单调递增，在上单调递减，
所以函数有极大值，无极小值．
综上，当时，函数无极值；
当时，函数有极大值为，无极小值．
2．判断极值点的个数
【例4】已知函数极值点的个数为（）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】B
【解析】由，
可得，
由，可得，令，可得，
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增，
故可得函数存在一个极值点，故选B．
【变式4．1】函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】A
【解析】时，函数单调递增；时，函数单调递减，
根据极小值点的定义并结合导函数在内的图象知：函数在开区间内有极小值点1个，
故选A．
【例5】（多选）如图，已知直线与曲线相切于两点，则有（）
A．1个极大值点，2个极小值点
B．2个零点
C．0个零点
D．2个极小值点，无极大值点
【答案】AC
【解析】直线与曲线相切于两点，
有两个根，且，
由图象知，则，
即，则函数，没有零点，故C正确；
函数有三个极值点，其中一个极大值点，两个极小值点，
设的三个极值点分别为，不妨设，
则，
①当时，由图象知，图象上任意一点的切线斜率都小于，
即，，所以在递减，
②当时，由图象知，图象上任意一点的切线斜率都大于0，
即，，所以在递增，
③当时，由图象知，图象上任意一点的切线斜率都小于，
即，，所以在递减，
④当时，由图象知，图象上任意一点的切线斜率都大于0，
即，，所以在递增，
综合①②③④有，有1个极大值点，2个极小值点，故A正确，
故选AC．
【变式5．1】（多选）如图，已知直线与曲线相切于两点，设，则（）
A．方程没有实数解
B．方程有6个实数解
C．函数有3个极小值点
D．函数有3个极大值点
【答案】AD
【解析】由题中图可知，即，
由于，恒成立，所以方程没有实数解，A正确；
由题中图可知，函数有3个极大值点，2个极小值点，而，
设的三个极大值点分别为，两个极小值点为，
当，，，函数的图象上的点的切线斜率大于直线斜率k，即；
当，，，函数的图象上的点的切线斜率小于直线斜率k，即，
所以函数有极大值点3个，极小值点2个，即方程有5个实数解，故BC错误，
故选AD．
3．已知函数的极值或极值点的个数求参数的值或取值范围
【例6】已知函数在处有极小值，则的值为（）
A．2
B．6
C．2或6
D．或6
【答案】A
【解析】函数，
，
又在处有极值，，解得或6，
又由函数在处有极小值，故，
时，，
所以函数在处有极大值，不符合题意，
故选A．
【变式6．1】已知函数在处有极小值，则实数的值为________．
【答案】2
【解析】由题可得，
因为函数在处有极小值，
所以，解得或．
当时，，
函数在上单调递增，上单调递减，
即函数在处有极大值，不满足，舍去；
当时，，函数在上单调递增，上单调递减，即函数在处有极小值，满足，所以，
故答案为2．
【变式6．2】已知函数在处有极值0，则的值为（）
A．4
B．7
C．11
D．4或11
【答案】C
【解析】由，得，
因为在处有极值0，
所以，即，解得或．
当时，，则在上单调递增，此时函数无极值，所以舍去；
当时，，令，得或，经检验和都为函数的极值点，
综上，，
所以，故选C．
【例7】函数在内有极值，则实数的取值范围是（）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由，
得，
因函数在内有极值，则时，有解，
即在时，函数与直线有公共点，
而，即在上单调递减，，
则，显然在零点左右两侧异号，
所以实数的取值范围是，故选C．
【变式7．1】已知函数，若在上有3个极值点，求的取值范围．
【答案】．
【解析】因为，
所以，
在上有个极值点，则在有个不同实根，
则方程在上有个不等于的实根，
显然不是方程的根，
所以问题转化为直线与函数()的图象有个横坐标不等于的交点，
，在，上是减函数，在上是增函数，
当时，；当时，；当时，，
所以当，即时，在上有个极值点，
所以的取值范围是．
【例8】函数（）在内不存在极值点，则a的取值范围是______________．
【答案】
【解析】∵函数（）在内不存在极值点，
∴函数在内单调递增或单调递减，
∴或在内恒成立，
∵，
令，二次函数的对称轴为，
∴，，
当时，需满足，即，
当时，需满足，即，
综上所述，a的取值范围为，
故答案为．
【变式8．1】函数既有极大值，又有极小值，则的取值范围是_________．
【答案】
【解析】，，
因为函数既有极大值，又有极小值，
所以，即，，
解得或，
故的取值范围为，故答案为．
【例9】已知函数，若在处有极大值，求的取值范围．
【答案】．
【解析】，
①当时，，故有：当时，，单调递增，
当时，，单调递减，此时在处有极大值；
②当时，即．
令，解得．故有：
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
此时在处有极大值；
③当时，，在定义域内单调递增，无极大值；
④当时，即，令，解得．
故有：当时，，单调递增；当时，，单调递减，当时，，单调递增，此时在处有极小值，
综上所述，当时，在处有极大值，
即的取值范围是．
【变式9．1】已知函数的导数，且在处取得极大值，则实数a的取值范围是（）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】（1）当时，
当时，；当时，，
则在处取到极小值，不符合题意；
（2）当时，函数无极值，不符合题意；
（3）当时，
当时，；当时，，
则在处取到极大值，符合题意；
（4）当时，，函数无极值，不符合题意；
（5）当时，
当时，；当时，，
则在处取到极小值，不符合题意；
综上所述，故选B．
4．根据极值点的条件，求极值点代数式的值或取值范围
【例10】已知函数，曲线在点处的切线与轴平行．
（1）求的值；
（2）证明：函数存在唯一的极大值点，并且．
【答案】（1）；（2）证明见解析．
【解析】（1）由题得，且，解得．
（2）由上得，其中，
令，，所以为增函数，
，，
由零点存在性定理得，存在唯一的使得，即．
所以令，得，，
且当时，；时，，
所以在和为增函数，在为减函数．
所以为唯一的极大值点，
．
【变式10．1】已知函数的最小值为0．
（1）求；
（2）设函数，证明：有两个极值点，，且．
【答案】（1）；（2）证明见解析．
【解析】（1），定义域是，
，
时，，在递增，无最小值，不合题意，
时，令，解得；令，解得，
故在递减，在递增，
故，解得，
综上：．
（2）证明：由（1），
则，
，令，解得；令，解得，
故在递减，在递增，
故，而，，
故有2个零点，，其中，，
由，得，
故，当且仅当时“”成立，
显然“”不成立，
故．
【变式10．2】已知函数．
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）当时，求证：总存在唯一的极小值点，且．
【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增；（2）证明见解析．
【解析】（1）函数的定义域为．
当时，，所以，
易知在上单调递增，且．
则在上，；在上，，
从而在上单调递减，在上单调递增．
（2）证明：，所以，且．
设，则，
所以在上单调递增，即在上单调递增，
由，即，
设，，
则在上单调递增且．
则当时，都恰有一个，使得，
且当时，；当时，，
因此总有唯一的极小值点．
所以，从而，
极小值，
由，可得当时，，
即，
随增大而增大，易得．
令，则，设，，
，所以在上单调递减，且，从而．
即．
2利用导数研究函数最值
【例11】已知函数．
（1）若函数在点处的切线方程为，求实数，的值；
（2）当时，求函数在区间上的最值．
【答案】（1），；（2）最小值，最大值．
【解析】（1）∵，，，，
又，所以．
（2）当时，，，
解得（舍去）或，
时，，递减；时，，递增，
，，
∴最小值，最大值．
【变式11．1】已知函数，其中．
（1）若函数恰好有三个单调区间，求实数的取值范围；
（2）已知函数的图象经过点，且，求的最大值．
【答案】（1）；（2）最大值为12．
【解析】（1）由，得．
∵存在三个单调区间，∴有两个不相等的实数根，
即．
∴，即，故．
（2）∵图象经过点，∴，得，
∴，，．
的单调性和极值情况列表如下：
2
0
0
0
增函数
极大值3
减函数
极小值
增函数
12
故的最大值为12．
【例12】已知函数，，若存在实数，使得，则的最大值为（）
A．
B．1
C．
D．
【答案】B
【解析】由题意设，则，
所以，
令，则，
因为，所以在上递减，
因为，所以当时，；当时，，
所以在上递增，在上递减，
所以当时，取得最大值为，
所以的最大值为1，故选B．
【变式12．1】已知函数，，若，
则的最小值为（）
A．
B．
C．
D．1
【答案】A
【解析】由已知，，，，
令，则，
时，，递减；时，，递增，
所以时，取得极小值也是最小值，
故选A．
【例13】已知函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若在区间内至少存在一个实数，使得成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）时，，，
曲线在点处的切线斜率，
故曲线在点处的切线方程为，
所求切线方程为．
（2），
①当，即时，，在上为单调增函数，
此时，，解得与矛盾，不符合题意；
②当，即时，，，的变化如下：
0
递减
极小值
递增
此时，，
解得，与矛盾，不符合题意；
③当，即时，，在上为单调减函数，
，解得，
又，，
综上：实数的取值范围是．
【变式13．1】已知函数，若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是_________．
【答案】
【解析】，即，即，
设，则，故函数在定义域上递增，
又，故当时，，
，即，
设，则，
当时，，递增；当时，，递减，
，，即，故答案为．
课后练习：
一、选择题．
1．设是函数的一个极值点，则（）
A．
B．
C．
D．3
【答案】C
【解析】∵由已知可得，∴，故选C．
2．已知函数在上无极值，则实数的取值范围为（）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】函数在上无极值在上无变号零点，故选D．
3．设函数在处取得极值为0，则（）
A．2
B．
C．2或
D．1
【答案】B
【解析】求导得，
因为函数在处取得极值为0，
所以，解得或，
代入检验时，无极值，所以
(舍)，
代入检验符合题意，
所以，故选B．
4．已知是的极值点，则在上的最大值是（）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由题意，且，∴，
则，
∴当时，，单调递减；当或时，，单调递增，
∴在上，单调递增；，单调递减，
∵，∴在上最大值是，
故选A．
5．已知函数，，若成立，则的最大值为（）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】不妨设，，，
，即，，
故，
令，，，
故在上是减函数，且，
当时，；当时，，
即当时，取得极大值同时也是最大值，
此时，即的最大值为，故选A．
6．已知函数在上恰有三个极值点，则实数的取值范围是（）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】设，，
令，所以，
设，，
当时，，单调递增；当时，，单调递减，
所以，
且当时，；时，，
所以方程最多仅有两个解，
又因为在上最多仅有一个极值点，
所以有两个极值点，有一个极值点；
当方程有两个解时，，所以，
当在有一个极值点时，，所以，
综上可知，若要使在上恰有三个极值点，则，
故选A．
二、填空题．
7．若函数在区间内存在极大值，则的取值范围是___________．
【答案】
【解析】依题意得，由，得，，
或时，；时，，
所以0是的极大值点，2是的极小值点，
因函数在区间内存在极大值，
所以，即，
故答案为．
8．已知函数存在两个极值点，则实数的取值范围是______．
【答案】
【解析】由题意得，
因为函数有两个极值点，所以有两个正数零点．
由，得，即，
令，则，易知函数是减函数，且当时，，所以当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
故，
又当时，；当时，，
所以要使有两个零点，需，即，
故答案为．
9．已知实数，若函数的极小值大于0，则实数的取值范围是__________．
【答案】
【解析】，由题可得，函数有极值，
故，解得，
设是函数的极小值点，故，
解得，
又因为函数的极小值大于零，
所以，
解得，
所以，
由双勾函数的知识可得在上单调递增，
所以，
故答案为．
三、解答题．
10．设的导数为，若函数的图象关于直线对称，且．
（1）实数的值；
（2）求函数的极值．
【答案】（1），；（2）的极大值是，极小值是．
【解析】（1）因，故，
从而，即关于直线对称，
从而由条件可知，解得，
又由于，即，解得．
（2）由（1）知，．
令，得或，
当时，在上是增函数，
当时，在上是减函数，
当时，在上是增函数，
从而在处取到极大值，在处取到极小值．
11．已知函数．
（1）当时，直线与函数的图象相切，求实数的值；
（2）当时，函数在上的最大值与最小值的和为，求实数的值．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）当时，，则，
由，得，
又，代入切线方程得，所以．
（2）因为，
所以由，得，，
因为，列表如下：
增
极大值
减
极小值
增
并且，，，．
①当，即时，在上递增，在上递减，
，
又，所以，
由已知，所以，不合题意；
②当，即时，在上递增，在上递减，在上递增，
所以，而，，
故，
．
（i）当时，，所以，
由已知，可得，合乎题意；
（ii）当时，，所以，，
由已知，所以，舍去，
综上所述，．
12．已知函数
()，．
（1）求的单调区间；
（2）当时，若函数在区间内存在唯一的极值点，
求的值．
【答案】（1）答案见解析；（2）或．
【解析】（1）由已知得，．
当时，恒成立，则函数在为增函数；
当时，由，得；由，得，
所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为．
（2）因为，
则．
由（1）可知，函数在上单调递增，在上单调递减．
又因为，，
所以在上有且只有一个零点．
又在上，，在上单调递减；
在上，，在上单调递增．
所以为极值点，此时．
又，，
所以在上有且只有一个零点．
又在上，，在上单调递增；
在上，，在上单调递减．
所以为极值点，此时．
综上所述，或．
13．已知函数．
（1）当时，求在点处的切线方程；
（2）若有两个极值点．
①求的取值范围；
②证明的极小值小于．
【答案】（1）；（2）①；②证明见解析．
【解析】（1）当时，．
因为，所以．
又因为，所以在点处的切线方程为．
（2）因为的定义域为，
所以．
令，，的对称轴．
①当时，即，，故，
所以在上单调递增，此时无极值；
②当时，即，因为，，
所以函数在区间有两个变号零点、，
不妨设，其中，．
所以当时，，，所以在上单调递增；
当时，，，所以在上单调递减；
当时，，，所以在上单调递增．
所以当有两个极值点时，的取值范围为；
②由①可知，函数有唯一的极小值点为，且．
又因为，所以．
所以．
令，
在上恒成立，
所以在单调递减．
所以，即的极小值小于．
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