2020-2021学年北京课改新版八年级上册数学《第12章 三角形》单元测试卷（word版含解析）

2020-2021学年北京课改新版八年级上册数学《第12章
三角形》单元测试卷
一．选择题
1．图中三角形的个数是（　　）
A．3个
B．4个
C．5个
D．6个
2．已知△ABC的一个外角为50°，则△ABC一定是（　　）
A．锐角三角形
B．钝角三角形
C．直角三角形
D．锐角三角形或钝角三角形
3．一天，爸爸带小明到建筑工地玩，看见一个如图所示的人字架，爸爸说：“小明，我考考你，这个人字架的夹角∠1等于130°，你知道∠3比∠2大多少吗？”小明马上得到了正确的答案，他的答案是（　　）
A．50°
B．65°
C．90°
D．130°
4．三角形按边分类可以用集合来表示，如图所示，图中小椭圆圈里的A表示（　　）
A．直角三角形
B．锐角三角形
C．钝角三角形
D．等边三角形
5．如图，一扇窗户打开后，用窗钩AB可将其固定，这里所运用的几何原理是（　　）
A．两点确定一条直线
B．两点之间线段最短
C．三角形的稳定性
D．垂线段最短
6．如图，张叔叔家的凳子坏了，于是他给凳子加了两根木条，这样凳子就比较牢固了，他所应用的数学原理是（　　）
A．三角形的稳定性
B．两点之间线段最短
C．垂线段最短
D．对顶角相等
7．以下列各组长度的线段为边，能构成三角形的是（　　）
A．4cm，8cm，12cm
B．5cm，6cm，14cm
C．10cm，10cm，8cm
D．3cm，9cm，5cm
8．如图，小明用铅笔可以支起一张质地均匀的三角形卡片，则他支起的这个点应是三角形的（　　）
A．三边高的交点
B．三条角平分线的交点
C．三边垂直平分线的交点
D．三边中线的交点
9．如图，△ABC的角平分线CD、BE相交于F，∠A＝90°，EG∥BC，且CG⊥EG于G，下列结论：
①∠CEG＝2∠DCB；②∠ADC＝∠GCD；③CA平分∠BCG；④∠DFB＝∠CGE．
其中正确的结论的个数是（　　）
A．1
B．2
C．3
D．4
10．下列说法：①直线外一点到该直线的垂线段，是这个点到该直线的距离；②同旁内角互补；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④三角形三条高至少有一条在三角形的内部；⑤垂直于同一条直线的两条直线平行；⑥三角形的角平分线是线段．其中说法正确的有（　　）
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
二．填空题
11．如图中的三角形的个数是　
　个．
12．电工师傅在安好电线杆后，为了防止电线杆倾倒，常常按图所示引两条拉线，这样做的数学道理是　
　．
13．如图，△ABC中，AB＝BC，AC＝8，点F是△ABC的重心（即点F是△ABC的两条中线AD、BE的交点），BF＝6，则DF＝　
　．
14．一个三角形两边上的高线交于一点，这个点正好是三角形的一个顶点，则这个三角形的形状是　
　三角形．
15．如图，一扇窗户打开后，用窗钩BC可将其固定，这里所运用的几何原理是　
　．
16．如图，共有　
　个三角形．
17．已知三角形ABC，且AB＝3厘米，BC＝2厘米，A、C两点间的距离为x厘米，那么x的取值范围是　
　．
18．在一个三角形中，如果一个角是另一个角的3倍，这样的三角形我们称之为“灵动三角形”．例如，三个内角分别为120°，40°，20°的三角形是“灵动三角形”．如图，∠MON＝60°，在射线OM上找一点A，过点A作AB⊥OM交ON于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB于点C（规定0°＜∠OAC＜90°）．当△ABC为“灵动三角形”时，则∠OAC的度数为　
　．
19．如图，以AD为高的三角形共有　
　个．
20．如图，在△ABC中，∠A、∠B的平分线相交于点I，若∠C＝70°，则∠AIB＝　
　度，若∠AIB＝155°，则∠C＝　
　度．
三．解答题
21．（1）下列图形中具有稳定性是　
　；（只填图形序号）
（2）对不具有稳定性的图形，请适当地添加线段，使之具有稳定性．
22．如图所示，图中共有多少个三角形？请写出这些三角形并指出所有以E为顶点的角．
23．要使四边形木架（用四根木条钉成）不变形，至少要再钉上几根木条？五边形木架和六边形木架呢？n边形木架呢？
24．如图，在△ABC中，BD，CE分别是边AC，AB上的中线，BD与CE相交于点O．
（1）BO与OD的长度有什么关系？并证明你的结论．
（2）BC边上的中线是否一定过点O？为什么？
25．（1）如图（1），已知，在△ABC中，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线，若∠B＝30°，∠C＝50°．求∠DAE的度数；
（2）如图（2），已知AF平分∠BAC，交边BC于点E，过F作FD⊥BC，若∠B＝x°，∠C＝（x+36）°，
①∠CAE＝　
　（含x的代数式表示）
②求∠F的度数．
26．如图，△ABC中，A1，A2，A3，…，An为AC边上不同的n个点，首先连接BA1，图中出现了3个不同的三角形，再连接BA2，图中便有6个不同的三角形…
（1）完成下表：
连接个数
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
出现三角形个数
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
（2）若出现了45个三角形，则共连接了多少个点？
（3）若一直连接到An，则图中共有　
　个三角形．
27．小刚准备用一段长50米的篱笆围成一个三角形形状的场地，用于饲养鸡，已知第一条边长为m米，由于条件限制第二条边长只能比第一条边长的3倍少2米．
①用含m的式子表示第三条边长；
②第一条边长能否为10米？为什么？
③若第一条边长最短，求m的取值范围．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．解：BD，BE，BC，DE，DC，EC六条线段分别和A组成6个三角形．故选：D．
2．解：一个外角为50°，所以与它相邻的内角的度数为130°，所以三角形为钝角三角形．
故选：B．
3．解：根据题意，∠3﹣∠2＝180°﹣∠1，
且∠1＝130°，
即得∠3﹣∠2＝50°．
故选：A．
4．解：三角形根据边分类，
∴图中小椭圆圈里的A表示等边三角形．
故选：D．
5．解：根据三角形的稳定性可固定窗户．
故选：C．
6．解：张叔叔家的凳子坏了，于是他给凳子加了两根木条，这样凳子就比较牢固了，他所应用的数学原理是三角形的稳定性，
故选：A．
7．解：A、4+8＝12，不能组成三角形，故此选项不合题意；
B、6+5＜14，不能组成三角形，故此选项不符合题意；
C、10+8＞10，能组成三角形，故此选项符合题意；
D、5+3＝8＜9，不能组成三角形，故此选项不合题意；
故选：C．
8．解：∵支撑点应是三角形的重心，
∴三角形的重心是三角形三边中线的交点，
故选：D．
9．解：∵EG∥BC，
∴∠CEG＝∠ACB，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACB＝2∠DCB，
∴∠CEG＝2∠DCB，故①正确；
∵∠A＝90°，
∴∠ACD+∠ADC＝90°，
∵EG∥BC，且CG⊥EG于G，
∴∠CGE＝∠GCB＝90°，
∴∠GCD+∠BCD＝90°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD，
∴∠ADC＝∠GCD，故②正确；
无法证明CA平分∠BCG，故③错误；
∵∠EBC+∠ACB＝∠AEB，∠DCB+∠ABC＝∠ADC，
∴∠AEB+∠ADC＝90°+（∠ABC+∠ACB）＝135°，
∴∠DFE＝360°﹣135°﹣90°＝135°，
∴∠DFB＝45°＝∠CGE，故④正确；
所以其中正确的结论为①②④共3个，
故选：C．
10．解：①直线外一点到该直线的垂线段的长度，是这个点到该直线的距离；故原命题错误；
②两直线平行，同旁内角互补；故原命题错误；
③过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；故原命题错误；
④三角形三条高至少有一条在三角形的内部；故原命题正确；
⑤在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行；故原命题错误；
⑥三角形的角平分线是线段．故原命题正确；
其中说法正确的有2个，
故选：A．
二．填空题
11．解：5+4＝9（个）
故答案为：9．
12．解：结合图形，为了防止电线杆倾倒，常常按图所示引两条拉线，两条拉线与地面就构成了三角形，所以这样做根据的数学道理是三角形的稳定性．
故答案是：三角形的稳定性．
13．解：∵点F是△ABC的重心，
∴EF＝BF＝×6＝3，
∵AB＝BC，BE是中线，
∴AE＝AC＝×8＝4，BE⊥AC，
在Rt△AEF中，由勾股定理得，AF＝＝＝5，
∴DF＝AF＝．
故答案为：．
14．解：∵三角形两边上的高线交于一点，这个点正好是三角形的一个顶点，
∴这个三角形一定是直角三角形．
故答案为：直角．
15．解：一扇窗户打开后，用窗钩BC可将其固定，这里所运用的几何原理是三角形的稳定性．
故应填：三角形的稳定性．
16．解：图中有：△ABC，△ABD，△ABE，△ACD，△ACE，△ADE，共6个．
故答案为：6
17．解：∵△ABC中，AB＝3厘米，BC＝2厘米，A、C两点间的距离为x厘米，
∴3﹣2＜x＜3+2，
即：1＜x＜5，
故答案为：1＜x＜5．
18．解：设∠OAC＝x则∠BAC＝90°﹣x，∠ACB＝60°+x，∠ABC＝30°
∵△ABC为“灵动三角形”，
Ⅰ、当∠ABC＝3∠BAC时，
∴30°＝3（90°﹣x），
∴x＝80°；
Ⅱ、当∠ABC＝3∠ACB时，
∴30°＝3（60°+x）∴x＝﹣50°
（舍去）
∴此种情况不存在；
Ⅲ、当∠BCA＝3∠BAC时，
∴60°+x＝3（90°﹣x），
∴x＝52.5°，
Ⅳ、当∠BCA＝3∠ABC时，
∴60°+x＝90°，
∴x＝30°；
Ⅴ、当∠BAC＝3∠ABC时，
∴90°﹣x＝90°，
∴x＝0°（舍去）；
Ⅵ、当∠BAC＝3∠ACB时，
∴90°﹣x＝3（60°+x），
∴x＝﹣22.5°（舍去），
∴此种情况不存在，
∴综上所述：∠OAC＝80°或52.5°或30°．
故答案为：80°或52.5°或30°．
19．解：∵AD⊥BC于D，
而图中有一边在直线CB上，且以A为顶点的三角形有6个，
∴以AD为高的三角形有6个．
故答案为：6
20．解：连接CI并延长交AB于P．
∵AI平分∠CAP，
∴∠1＝∠2．
∵BI平分∠CBP，
∴∠3＝∠4，
∴∠1+∠3＝（∠CAB+∠CBA）＝×（180°﹣70°）＝55°，
∴∠7+∠8＝∠1+∠3+∠5+∠6＝55°+70°＝125°．
∵∠AIB＝155°，
∴∠2+∠4＝180°﹣155°＝25°，
又∵∠CAP、∠CBP的平分线，相交于点I，
∴∠CAP+∠CBP＝2×25°＝50°，
∴∠ACB＝180°﹣50°＝130°．
三．解答题
21．解：（1）具有稳定性的是①④⑥三个．
（2）如图所示：
22．解：图中共有7个，△AEF，△ADE，△DEB，△ABF，△BCF，△ABC，△ABE，以E为顶点的角是∠AEF，∠AED，∠DEB，∠DEF，∠AEB，∠BEF．
23．解：四边形木架，至少要再钉上1根木条，使四边形变成两个三角形；
五边形木架，至少要再钉上2根木条，使五边形变成3个三角形；
六边形木架，至少要再钉上3根木条，使六边形变成4个三角形；
n边形木架，至少要再钉上（n﹣3）根木条，使多边形变成（n﹣2）个三角形．
24．解：（1）BO＝2OD，理由如下：
连接DE，
∵BD、CE是边AC、AB上的中线，
∴DE∥BC，DE＝BC．
∴△ODE∽△OBC，
∴＝，
即BO＝2OD．
（2）BC边上的中线一定过点O，
理由是：作BC边上的中线AF，交BD于M，
连接DF，
∵BD、AF是边AC、BC上的中线，
.∴DF∥BA，DF＝BA．
∴△MDF∽△MBA
∴＝＝＝，
即BD＝3DM，
BO＝BD，
∴O和M重合，
即BC边上的中线一定过点O．
25．解：（1）∵∠B＝30°，∠C＝50°，
∴∠CAB＝180°﹣∠B﹣∠C＝100°，
∵AE是∠BAC的平分线，
∴∠CAE＝∠CAB＝50°，
∵AD是△ABC的高，
∴∠ADC＝90°，
∴∠CAD＝90°﹣∠C＝40°，
∴∠DAE＝∠CAE﹣∠CAD＝50°﹣40°＝10°；
（2）①∵∠B＝x°，∠C＝（x+36）°，AF平分∠BAC，
∴∠EAC＝∠BAF，
∴∠CAE＝
[180°﹣x°﹣（x+36）°]＝72°﹣x°，
②∠AEC＝∠BAE+∠B＝72°，
∵FD⊥BC，
∴∠F＝18°．
26．解：（1）
连接个数
1
2
3
4
5
6
出现三角形个数
3
6
10
15
21
28
（2）8个点；
（3）1+2+3+…+（n+1）
＝
[1+2+3+…+（n+1）+1+2+3+…+（n+1）]
＝（n+1）（n+2）．
故答案为（n+1）（n+2）．
27．解：（1）∵第二条边长为（3m﹣2）米，
∴第三条边长为50﹣m﹣（3m﹣2）＝（52﹣4m）米；
（2）当m＝10时，三边长分别为10，28，12，
由于10+12＜28，所以不能构成三角形，即第一条边长不能为10米；
（3）由题意，得，
解得＜m＜9．