2020-2021学年北京课改新版九年级上册数学《第20章 解直角三角形》单元测试卷（word版含解析）

2020-2021学年北京课改新版九年级上册数学《第20章
解直角三角形》单元测试卷
一．选择题
1．比较tan20°，tan50°，tan70°的大小，下列不等式正确的是（　　）
A．tan70°＜tan50°＜tan20°
B．tan50°＜tan20°＜tan70°
C．tan20°＜tan50°＜tan70°
D．tan20°＜tan70°＜tan50°
2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝，则cosB的值是（　　）
A．
B．
C．
D．
3．在△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，则cosA的值为（　　）
A．
B．
C．
D．
4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，那么tanB的值是（　　）
A．
B．
C．
D．
5．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝26°，BC＝5．若用科学计算器求边AC的长，则下列按键顺序正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝3，则下列等式正确的是（　　）
A．sinA＝
B．cosA＝
C．tanA＝
D．cosA＝
7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，设∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，则下面四个等式一定成立的是（　　）
A．c＝b?sinB
B．a＝c?cosB
C．a＝b?tanB
D．b＝c?tanB
8．在Rt△ABC中，∠C＝90°，各边都扩大5倍，则tanA的值（　　）
A．不变
B．扩大5倍
C．缩小5倍
D．不能确定
9．式子2cos30°﹣tan45°的值是（　　）
A．1﹣
B．0
C．﹣1
D．﹣
10．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝α，AC＝2，那么AB的长等于（　　）
A．
B．2sinα
C．
D．2cosα
二．填空题
11．已知：正方形ABCD的边长为3，点P是直线CD上一点，若DP＝1，则tan∠BPC的值是　
　．
12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2BC，则sinB的值为　
　．
13．在△ABC中，∠C＝90°，tanA＝2，则sinA+cosA＝　
　．
14．已知sinα+cosα＝，则sinα?cosα＝　
　．
15．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，sinB＝，则tanA＝　
　．
16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝7，则sinB＝　
　．
17．比较大小：sin81°　
　tan47°（填“＜”、“＝”或“＞”）．
18．cos60°＝　
　．
19．如图，在Rt△ABD中，∠A＝90°，点C在AD上，∠ACB＝45°，tan∠D＝，则＝　
　．
20．请从以下两个小题中任选一个作答，若多选，则按第一题计分．
A．如图，在△ABC中，BD和CE是△ABC的两条角平分线．若∠A＝52°，则∠1+∠2的度数为　
　．
B.
tan38°15′≈　
　．（结果精确到0.01）
三．解答题
21．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，求∠A的正弦值、余弦值和正切值．
22．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边．
（1）已知c＝2，b＝，求∠B；
（2）已知c＝12，sinA＝，求b．
23．计算下列各题：
（1）；
（2）sin60°?cos60°﹣tan30°tan60°+sin245°+cos245°．
24．在△ABC中，∠C＝90°，BC＝24cm，cosA＝，求这个三角形的周长．
25．在锐角△ABC中，AB＝15，BC＝14，S△ABC＝84，求：
（1）tanC的值；
（2）sinA的值．
26．（1）如图，锐角的正弦和余弦都随着锐角的确定而确定，也随着其变化而变化，试探索随着锐角度数的增大，它的正弦值和余弦值的变化规律；
（2）根据你探索到的规律，试比较18°，34°，52°，65°，88°，这些角的正弦值的大小和余弦值的大小；
（3）比较大小：（在空格处填写“＜”或“＞”或“＝”）
若∠α＝45°，则sinα　
　cosα；若∠α＜45°，则sinα　
　cosα；若∠α＞45°，则sinα　
　cosα；
（4）利用互余的两个角的正弦和余弦的关系，比较下列正弦值和余弦值的大小：
sin10°，cos30°，sin50°，cos70°．
27．附加题：如图，在Rt△ABC中，BC、AC、AB三边的长分别为a、b、c，则sinA＝，cosA＝，tanA＝．我们不难发现：sin260°+cos260°＝1，…试探求sinA、cosA、tanA之间存在的一般关系，并说明理由．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．解：由正切函数随角增大而增大，得
tan20°＜tan50°＜tan70°，故C符合题意，
故选：C．
2．解：在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∴cosB＝sinA，
∵sinA＝，
∴cosB＝．
故选：B．
3．解：如图，
∵tanA＝＝，
∴设BC＝x，则AC＝3x，
∴AB＝＝x，
∴cosA＝＝＝．
故选：D．
4．解：∵sinA＝＝，
∴设BC＝2x，AB＝3x，
由勾股定理得：AC＝＝x，
∴tanB＝＝＝，
故选：A．
5．解：由tan∠B＝，得
AC＝BC?tanB＝5×tan26．
故选：D．
6．解：如图所示：
∵∠C＝90°，AB＝5，AC＝3，
∴BC＝4，
∴sinA＝，故A错误；
cosA＝，故B正确；
tanA＝；故C错误；
cosA＝，故D错误；
故选：B．
7．解：在△ABC中，∠C＝90°，
∵sinB＝，
∴c＝，A选项等式不成立；
∵cosB＝，
∴a＝c?cosB，B选项等式成立；
∵tanB＝，
∴a＝，C选项等式不成立；
∵tanB＝，
∴b＝a?tanB，D选项等式不成立；
故选：B．
8．解：∵∠C＝90°，各边都扩大5倍所得的三角形与原三角形相似，
∴∠A的大小没有变，
∴tanA的值不变．
故选：A．
9．解：2cos30°﹣tan45°
＝2×﹣1
＝﹣1，
故选：C．
10．解：∵sinB＝sinα＝，AC＝2，
∴AB＝＝，
故选：A．
二．填空题
11．解：当点P在边DC上，如图1，
∵四边形ABCD为边长为3的正方形，
∴BC＝DC＝3，
而DP＝1，
∴PC＝3﹣1＝2，
∴tan∠BPC＝＝；
当点P在边CD的延长线上，如图2，
则PC＝PD+DC＝1+3＝4，
∴tan∠BPC＝＝．
故答案为或．
12．解：∵AB＝2BC，
∴AC＝＝BC，
∴sinB＝＝＝．
故答案为．
13．解：如图，∵tanA＝2，
∴设AB＝x，则BC＝2x，
AC＝＝x，
则有：sinA+cosA＝+＝+＝．
故答案为：．
14．解：∵sin2α+cos2α＝1，
∴（sinα+cosα）2﹣2sinα?cosα＝1，
∵sinα+cosα＝，
∴sinα?cosα＝．
15．解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴sinB＝，tanA＝，a2+b2＝c2．
∵sinB＝，
设b＝4x，则c＝5x，a＝3x．
∴tanA＝＝．
16．解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝7，
∴sinB＝＝．
故答案为：．
17．解：∵sin81°＜sin90°＝1，tan47°＞tan45°＝1，
∴sin81°＜1＜tan47°，
∴sin81°＜tan47°．
故答案为＜．
18．解：cos60°＝．
故答案为：．
19．解：在Rt△ABD中，∵tan∠D＝＝，
∴设AB＝2x，AD＝3x，
∵∠ACB＝45°，
∴AC＝AB＝2x，
则CD＝AD﹣AC＝3x﹣2x＝x，
∴＝＝，
故答案为：．
20．解：A、∵∠A＝52°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝128°，
∵BD平分∠ABC、CE平分∠ACB，
∴∠1＝∠ABC、∠2＝∠ACB，
则∠1+∠2＝∠ABC+∠ACB＝（∠ABC+∠ACB）＝64°，
故答案为：64°；
B、tan38°15′≈2.5713×0.7883≈2.03，
故答案为：2.03．
三．解答题
21．解：由勾股定理得，AB＝＝＝13，
则sinA＝＝，cosA＝＝，tanA＝＝．
22．解：（1）∵sinB＝＝＝，
∴∠B＝45°；
（2）∵c＝12，sinA＝＝，
∴a＝4，
∴b＝＝8，
23．解：（1）
＝（2×﹣）+
＝2﹣+
＝2；
（2）sin60°?cos60°﹣tan30°tan60°+sin245°+cos245°．
＝×﹣×+（）2+（）2
＝﹣1++
＝．
24．解：可设AC＝5xcm，AB＝13xcm，
则BC＝12xcm，
由12x＝24得x＝2，
∴AB＝26，AC＝10，
∴△ABC的周长为：10+24+26＝60cm．
25．解：（1）过A作AD⊥BC于点D．
∵S△ABC＝BC?AD＝84，
∴×14×AD＝84，
∴AD＝12．
又∵AB＝15，
∴BD＝＝9．
∴CD＝14﹣9＝5．
在Rt△ADC中，AC＝＝13，
∴tanC＝＝；
（2）过B作BE⊥AC于点E．
∵S△ABC＝AC?EB＝84，
∴BE＝，
∴sin∠BAC＝＝＝．
26．解：（1）在图（1）中，令AB1＝AB2＝AB3，B1C1⊥AC于点C1，B2C2⊥AC于点C2，B3C3⊥AC于点C3，
显然有：B1C1＞B2C2＞B3C3，∠B1AC＞∠B2AC＞∠B3AC．
∵sin∠B1AC＝，sin∠B2AC＝，sin∠B3AC＝，
而＞＞．
∴sin∠B1AC＞sin∠B2AC＞sin∠B3AC．
在图（2）中，Rt△ACB3中，∠C＝90°，
cos∠B1AC＝，cos∠B2AC＝，cos∠B3AC＝，
∵AB3＜AB2＜AB1，
∴＞＞．
即cos∠B3AC＞cos∠B2AC＞cos∠B1AC．
（2）sin88°＞sin65°＞sin52°＞sin34°＞sin18°；
cos88°＜cos65°＜cos52°＜cos34°＜cos18°．
（3）若∠α＝45°，则sinα＝cosα；若∠α＜45°，则sinα＜cosα；若∠α＞45°，则sinα＞cosα．
（4）cos30°＞sin50°＞cos70°＞sin10°．
27．解：存在的一般关系有：
（1）sin2A+cos2A＝1；
（2）tanA＝．
证明：（1）∵sinA＝，cosA＝，
a2+b2＝c2，
∴sin2A+cos2A＝＝1．
（2）∵sinA＝，cosA＝，
∴tanA＝＝，
＝．