2020-2021学年沪科新版八年级上册数学《第13章 三角形中的边角关系、命题与证明》单元测试卷（word版含解析）

2020-2021学年沪科新版八年级上册数学《第13章
三角形中的边角关系、命题与证明》单元测试卷
一．选择题
1．图中的三角形被木板遮住了一部分，这个三角形是（　　）
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．以上都有可能
2．如图所示，其中三角形的个数是（　　）
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
3．下列命题是真命题的是（　　）
A．如果a2＝b2，那么a＝b
B．如果两个角是同位角，那么这两个角相等
C．相等的两个角是对顶角
D．平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行
4．如图，BD是△ABC的中线，点E、F分别为BD、CE的中点，若△AEF的面积为3．则△ABC的面积是（　　）
A．9
B．10
C．11
D．12
5．如图，△ABC的高CD、BE相交于点O，如果∠A＝60°，那么∠BOC的大小为（　　）
A．60°
B．100°
C．120°
D．130°
6．如果将一副三角板按如图方式叠放，那么∠1的度数是（　　）
A．90°
B．100°
C．105°
D．135°
7．下列命题正确的是（　　）
A．零的倒数是零
B．乘积是1的两数互为倒数
C．如果一个数是a，那么它的倒数是
D．任何不等于0的数的倒数都大于零
8．已知AD为△ABC的中线，且AB＝10cm，AC＝8cm，则△ABD与△ACD的周长之差为（　　）
A．2cm
B．4cm
C．6cm
D．18cm
9．已知三角形的两边长分别为4和9，则下列数据中，能作为第三边长的是（　　）
A．2
B．3
C．4
D．9
10．将一个三角形纸片剪开分成两个三角形，这两个三角形不可能（　　）
A．都是直角三角形
B．都是钝角三角形
C．都是锐角三角形
D．是一个直角三角形和一个钝角三角形
二．填空题
11．一副三角尺如图摆放，D是BC延长线上一点，E是AC上一点，∠B＝∠EDF＝90°，∠A＝30°，∠F＝45°，若EF∥BC，则∠CED等于　
　度．
12．如图△ABC中，AB＝21，AC＝20，AD为中线，则△ABD与△ACD的周长之差＝　
　．
13．若三角形三条边长分别是1、a、3（其中a为整数），则a＝　
　．
14．三角形周长为12，且三边a，b，c有如下关系，c＝b﹣1，b＝a﹣1，则a＝　
　，b＝　
　，c＝　
　．
15．如图，直角ABC的周长为2008，在其内部有五个小直角三角形，则这五个小直角三角形的周长为　
　．
16．如图，△ABC的面积为1．第一次操作：分别延长AB，BC，CA至点A1，B1，C1，使A1B＝AB，B1C＝BC，C1A＝CA，顺次连接A1，B1，C1，得到△A1B1C1．第二次操作：分别延长A1B1，B1C1，C1A1至点A2，B2，C2；使A2B1＝A1B1，B2C1＝B1C1，C2A1＝C1A1，顺次连接A2，B2，C2，得到△A2B2C2，…．按此规律，要使得到的三角形的面积超过2021，最少经过　
　次操作．
17．命题“等角的补角相等”写成“如果…，那么…”　
　．
18．如图，点D在AB上，点E在AC上，BE、CD相交于点O，∠A＝40°，∠C＝30°，∠BOD＝100°．则∠B＝　
　°．
19．“锐角与钝角是互为补角”是　
　命题．（填写“真”或“假”）
20．图1是一个三角形，分别连接这个三角形三边的中点得到图2；再分别连接图2中间小三角形的中点，得到图3．（若三角形中含有其它三角形则不记入）
（1）图2有　
　个三角形；图3中有　
　个三角形
（2）按上面方法继续下去，第20个图有　
　个三角形；第n个图中有　
　个三角形．（用n的代数式表示结论）
三．解答题
21．如图，已知＝＝，△ABC的周长是14cm，求BC的长．
22．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标（a，3），点B坐标为（b，6），若a，b的方程组满足
（1）当m＝﹣3时，点A的坐标为　
　；点B的坐标为　
　．
（2）当这个方程组的解a，b满足，求m的取值范围；
（3）若AC⊥x轴，垂足为C，BD⊥x轴，垂足为D，则四边形ACDB的面积为　
　．
23．如图所示，图中共有多少个三角形？请写出这些三角形并指出所有以E为顶点的角．
24．如图，武汉有三个车站A、B、C成三角形，一辆公共汽车从B站前往到C站．
（1）当汽车运动到点D点时，刚好BD＝CD，连接线段AD，AD这条线段是什么线段？这样的线段在△ABC中有几条呢？此时有面积相等的三角形吗？
（2）汽车继续向前运动，当运动到点E时，发现∠BAE＝∠CAE，那么AE这条线段是什么线段呢？在△ABC中，这样的线段又有几条呢？
（3）汽车继续向前运动，当运动到点F时，发现∠AFB＝∠AFC＝90°，则AF是什么线段？这样的线段在△ABC中有几条？
25．已知a、b、c是三角形的三边长，
①化简：|a﹣b﹣c|+|b﹣c﹣a|+|c﹣a﹣b|；
②若a+b＝11，b+c＝9，a+c＝10，求这个三角形的各边．
26．如图，在△ABC中，∠ACB＝60°，∠BAC＝75°，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE交于H，求∠CHD的度数．
27．如图，△ABC中，A1，A2，A3，…，An为AC边上不同的n个点，首先连接BA1，图中出现了3个不同的三角形，再连接BA2，图中便有6个不同的三角形…
（1）完成下表：
连接个数
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
出现三角形个数
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
（2）若出现了45个三角形，则共连接了多少个点？
（3）若一直连接到An，则图中共有　
　个三角形．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．解：从图中，只能看到一个角是锐角，其它的两个角中，可以都是锐角或有一个钝角或有一个直角．
故选：D．
2．解：△ABE，△DEC，△BEC，△ABC，△DBC共5个．故选D．
3．解：A、如果a2＝b2，那么a＝±b，故错误，是假命题；
B、两直线平行，同位角才相等，故错误，是假命题；
C、相等的两个角不一定是对顶角，故错误，是假命题；
D、平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，正确，是真命题，
故选：D．
4．解：∵F是CE的中点，△AEF的面积为3，
∴S△ACE＝2S△AEF＝6，
∵E是BD的中点，
∴S△ADE＝S△ABE，S△CDE＝S△BCE，
∴S△ACE＝S△ADE+S△CDE＝S△ABE+S△BCE＝S△ABC，
∴△ABC的面积＝12．
故选：D．
5．解：如图，
∵CD、BE均为△ABC的高，
∴∠BEC＝∠ADC＝90°，
∵∠A＝60°，
∴∠OCE＝180°﹣∠ADC﹣∠A＝180°﹣90°﹣60°＝30°，
则∠BOC＝∠BEC+∠OCE＝90°+30°＝120°．
故选：C．
6．解：如图所示：由题意可得，∠2＝90°﹣45°＝45°，
则∠1＝∠2+60°＝45°+60°＝105°．
故选：C．
7．解：A、零没有倒数，本选项说法错误；
B、乘积是1的两数互为倒数，本选项说法正确；
C、如果a＝0，则a没有倒数，本选项说法错误；
D、﹣2的倒数是﹣，﹣＜0，则任何不等于0的数的倒数都大于零说法错误；
故选：B．
8．解：∵AD为中线，
∴BD＝CD，
∴△ABD与△ACD的周长之差＝（AB+AD+BD）﹣（AC+AD+CD）＝AB﹣AC，
∵AB＝10，AC＝8，
∴△ABD与△ACD的周长之差＝10﹣8＝2（cm）．
故选：A．
9．解：设这个三角形的第三边为x．
根据三角形的三边关系定理，得：9﹣4＜x＜9+4，
解得5＜x＜13．
故选：D．
10．解：如图，沿三角形一边上的高剪开即可得到两个直角三角形．
如图，钝角三角形沿虚线剪开即可得到两个钝角三角形．
如图，直角三角形沿虚线剪开即可得到一个直角三角形和一个钝角三角形．
因为剪开的边上的两个角是邻补角，不可能都是锐角，故这两个三角形不可能都是锐角三角形．
综上所述，将一个三角形剪成两三角形，这两个三角形不可能都是锐角三角形．
故选：C．
二．填空题
11．解：∵∠B＝90°，∠A＝30°，
∴∠ACB＝60°．
∵∠EDF＝90°，∠F＝45°，
∴∠DEF＝45°．
∵EF∥BC，
∴∠CEF＝∠ACB＝60°，
∴∠CED＝∠CEF﹣∠DEF＝60°﹣45°＝15°．
故答案为：15．
12．解：∵AD为△ABC的中线，
∴BD＝CD，
∴△ABD的周长﹣△ACD的周长＝（AB+BD+AD）﹣（AC+CD+AD）＝AB﹣AC＝1，
故答案为：1．
13．解：∵三角形的两边长分别为1和3，
∴第三边长a的取值范围是：3﹣1＜a＜3+1，
即：2＜a＜4，
∴a的值为3，
故答案为：3．
14．解：∵c＝b﹣1，b＝a﹣1，
∴c＝a﹣1﹣1＝a﹣2，
又∵a+b+c＝12，
则a+a﹣1+a﹣2＝12，
解得：a＝5，
则b＝a﹣1＝4，c＝a﹣2＝3，
故答案为：5，4，3．
15．解：∵五个小直角三角形与大三角形相似，
∴对应边的比相等，
∵五个小三角形的斜边长的和等于大三角形的斜边长，
∴五个小三角形的周长的和等于大三角形的周长为2008．
16．解：连接A1C，
∵AB＝A1B，
∴△ABC与△A1BC的面积相等，
∵△ABC面积为1，
∴S△A1BC＝1．
∵BB1＝2BC，
∴S△A1B1B＝2S△A1BC＝2，
同理可得，S△C1B1C＝2，S△AA1C＝2，
∴S△A1B1C1＝S△C1B1C+S△AA1C+S△A1B1B+S△ABC＝2+2+2+1＝7；
同理可证△A2B2C2的面积＝7×△A1B1C1的面积＝49，
第三次操作后的面积为7×49＝343，
第四次操作后的面积为7×343＝2401．
故按此规律，要使得到的三角形的面积超过2021，最少经过4次操作．
故答案为：4．
17．解：命题“等角的补角相等”写成“如果…，那么…”是：如果两个角相等，那么它们的补角相等，
故答案为：如果两个角相等，那么它们的补角相等．
18．解：∵∠A＝40°，∠C＝30°，
∴∠BDO＝∠A+∠C＝70°；
∵∠BOD＝100°，
∴∠B＝180°﹣∠BDO﹣∠BOD＝10°．
故答案为：10．
19．解：30°的锐角和100°的钝角的和为130°，不是互为补角，
所以“锐角与钝角是互为补角”是假命题．
故答案为：假．
20．解：（1）图2有4个三角形；图3中有7个三角形；
（2）按上面方法继续下去，可以得到（4）比（3）增加了4个三角形，
依此类推，第20个图有3×20﹣2＝58个三角形；第n个图中有（3n﹣2）个三角形．
故答案为：（1）4；7；（2）58；（3n﹣2）
三．解答题
21．解：∵＝＝，
设AB为5x，BD为2x，AC为5y，CD为2y，
∵△ABC的周长是14cm，
∴5x+2x+5y+2y＝14，
解得：x+y＝2，
所以BC＝2（x+y）＝4．
22．解：（1）将原方程组整理可得，
解得：，
当m＝﹣3时，a＝﹣4、b＝﹣2，
∴点A坐标为（﹣4，3）、点B坐标为（﹣2，6），
故答案为：（﹣4，3）、（﹣2，6）；
（2）将代入不等式组，得：
解得：2≤m≤5；
（3）由（1）知A（m﹣1，3）、B（m+1，6），
∴CD＝m+1﹣（m﹣1）＝2，AC＝3、BD＝6，
则四边形ACDB的面积为×CD×（AC+BD）＝×2×9＝9，
故答案为：9．
23．解：图中共有7个，△AEF，△ADE，△DEB，△ABF，△BCF，△ABC，△ABE，以E为顶点的角是∠AEF，∠AED，∠DEB，∠DEF，∠AEB，∠BEF．
24．解：（1）AD是△ABC中BC边上的中线，三角形中有三条中线．此时△ABD与△ADC的面积相等．
（2）AE是△ABC中∠BAC的角平分线，三角形上角平分线有三条．
（3）AF是△ABC中BC边上的高线，高线有时在三角形外部，三角形中有三条高线．
25．解：（1）∵a、b、c是三角形的三边长，
∴a﹣b﹣c＜0，b﹣c﹣a＜0，c﹣a﹣b＜0，
∴|a﹣b﹣c|+|b﹣c﹣a|+|c﹣a﹣b|＝﹣a+b+c﹣b+c+a﹣c+a+b＝a+b+c；
（2）∵a+b＝11①，b+c＝9②，a+c＝10③，
∴由①﹣②，得
a﹣c＝2，④
由③+④，得2a＝12，
∴a＝6，
∴b＝11﹣6＝5，
∴c＝10﹣6＝4．
26．解：延长CH交AB于F，
在△ABC中，三边的高交于一点，所以CF⊥AB，
∵∠BAC＝75°，且CF⊥AB，∴∠ACF＝15°，
∵∠ACB＝60°，∴∠BCF＝45°
在△CDH中，三内角之和为180°，
∴∠CHD＝45°，
27．解：（1）
连接个数
1
2
3
4
5
6
出现三角形个数
3
6
10
15
21
28
（2）8个点；
（3）1+2+3+…+（n+1）
＝
[1+2+3+…+（n+1）+1+2+3+…+（n+1）]
＝（n+1）（n+2）．
故答案为（n+1）（n+2）．