2020-2021学年沪科新版九年级上册数学《第22章 相似形》单元测试卷（word版含解析）
文档属性
| 名称 | 2020-2021学年沪科新版九年级上册数学《第22章 相似形》单元测试卷（word版含解析） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 377.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-09-10 21:56:22 | ||
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文档简介
2020-2021学年沪科新版九年级上册数学《第22章
相似形》单元测试卷
一．选择题
1．若＝，则等于（ ）
A．
B．
C．
D．
2．已知＝，则的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．下列四组线段中，不构成比例线段的一组是（ ）
A．1cm，2cm，3cm，6cm
B．2cm，3cm，4cm，6cm
C．1cm，
cm，
cm，
cm
D．1cm，2cm，3cm，4cm
4．下列各组图形一定相似的是（ ）
A．两个矩形
B．两个等边三角形
C．各有一角是80°的两个等腰三角形
D．任意两个菱形
5．已知，那么下列等式中，不成立的是（ ）
A．
B．
C．（y≠﹣4a）
D．4x＝3y
6．如图，在△ABC中，D，E两点分别在BC，AC上，且AD平分∠BAC，若∠ABE＝∠C，BE与AD相交于点F，则图中与△ABD相似的是（ ）
A．△ABC
B．△ABF
C．△BFD
D．△AEF
7．如图，在△ABC中，D为AB上一点，若AC2＝AD?AB，则（ ）
A．△ADC∽△CBD
B．△BDC∽△BCA
C．△ADC∽△ACB
D．无法判断
8．若△ABC∽△ADE，AB＝9，AC＝6，AD＝3，则EC的长是（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
9．如图，顶角为36°的等腰三角形，其底边与腰之比等于k，这样的三角形称为黄金三角形，已知腰AB＝1，△ABC为第一个黄金三角形，△BCD为第二个黄金三角形，△CDE为第三个黄金三角形以此类推，第2020个黄金三角形的周长（ ）
A．k2018
B．k2019
C．
D．k2019（2+k）
10．如图，点E是矩形ABCD的边CD上一点，作AF⊥BE于F，连接DF，若AB＝6，DF＝BC，则CE的长度为（ ）
A．2
B．
C．3
D．
二．填空题
11．如果x：y＝1：2，那么＝
．
12．如图，△ABC的两条中线AD，BE交于点G，EF∥BC交AD于点F．若FG＝1，则AD＝
．
13．已知△ABC的三边分别是5，6，7，则与它相似△A′B′C′的最短边为10，则△A′B′C′的周长是
．
14．若x：y＝5：2，则（x+y）：y的值是
．
15．已知线段AB，点P是线段AB的黄金分割点，AP＞BP，设以AP为边的正方形的面积为S1，以PB、AB为边的矩形的面积为S2，则S1
S2（填＜、≤、＝、＞或≥）．
16．某课外活动小组的同学在研究某种植物标本（如图所示）时，测得叶片①最大宽度是8cm，最大长度是16cm；叶片②最大宽度是7cm，最大长度是14cm；叶片③最大宽度约为6.5cm，请你用所学数学知识估算叶片③的完整叶片的最大长度，结果约为
cm．
17．如图，∠B＝∠D，请你添加一个条件，使得△ABC∽△ADE，这个条件可以是
．
18．如果＝，那么＝
．
19．在1：40000的地图上，村犀路的距离是7厘米，则实际距离是
千米．
20．如图，在△ABC中，P为AB上的一点，补充条件，能使△APC∽△ACB，这个条件可以是
．（写出一个即可）
三．解答题
21．已知＝＝，且2x+3y﹣z＝18，求x，y，z的值．
22．已知，求m的值．
23．已知，求的值．
24．如图，a∥b∥c，直线m，n与直线a，b，c分别相交于点A，B，C和点D，E，F．若AB＝3，BC＝5，DE＝4，求EF的长．
25．已知＝＝2，求和的值．
26．阅读理解：
如图1，点C将线段AB分成两部分，若＝，则点C为线段AB的黄金分割点．
某研究学习小组，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，而给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S1、S2，如果＝，那么称直线l为该图形的黄金分割线．
问题解决：
如图2，在△ABC中，若点D是AB的黄金分割点．
（1）研究小组猜想：直线CD是△ABC的黄金分割线，你认为对吗？为什么？
（2）请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？
（3）研究小组探究发现：过点C作直线交AB于E，过D作DF∥CE，交AC于F，连接EF（如图3），则直线EF也是△ABC的黄金分割线．请你说明理由．
27．如图1，将A4纸2次折叠，发现第一次的折痕与A4纸较长的边重合，如图2，将1张A4纸对折，使其较长的边一分为二，沿折痕剪开，可得2张A5纸．
（1）A4纸较长边与较短边的比为
；
（2）A4纸与A5纸是否为相似图形？请说明理由．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．解：∵＝，
∴a＝b，
则＝＝．
故选：A．
2．解：由＝，得＝＝．
故选：D．
3．解：A、1：2＝3：6，即1cm，2cm，3cm，6cm成比例；
B、2：3＝4：6，即2cm，3cm，4cm，6cm成比例；
C、1：＝：，即1cm，
cm，
cm，
cm成比例；
D、四条线段中，任意两条的比都不相等，因而不成比例．
故选：D．
4．解：两个矩形对应边的比不一定相等，故不一定相似；
两个等边三角形相似对应边的比相等，对应角相等，一定相似；
各有一角是80°的两个等腰三角形对应角不一定相等，故不一定相似；
任意两个菱形对应角不一定相等，故不一定相似；
故选：B．
5．解：A、∵，
∴＝，此选项正确，不合题意；
B、∵，
∴＝﹣，此选项错误，符合题意；
C、∵，
∴＝，此选项正确，不合题意；
D、∵，
∴4x＝3y，此选项正确，不合题意；
故选：B．
6．解：在△ABE与△ACB中，∠ABE＝∠C，∠BAE＝∠CAB，
∴△ABE∽△ACB，
∴∠AEB＝∠ABC，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠EAF，
∴△ABD∽△AEF．
故选：D．
7．解：∵AC2＝AD?AB，
∴，
∵∠A＝∠A，且∠A为AD、AC和AB、AC的夹角，
∴△ADC∽△ACB．
故选：C．
8．解：设EC＝x，
∵AC＝6，
∴AE＝6﹣x，
∵△ABC∽△ADE，
∴，
∴，
解得：x＝4，
故选：C．
9．解：∵AB＝AC＝1，
∴△ABC的周长为2+k；
△BCD的周长为k+k+k2＝k（2+k）；
△CDE的周长为k2+k2+k3＝k2（2+k）；
依此类推，
第n个黄金三角形的周长为kn﹣1（2+k），
∴第2020个黄金三角形的周长为k2019（2+k）．
故选：D．
10．解：过D作DH⊥AF于点H，延长DH与AB相交于点G，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD＝BC，
∵DF＝BC，
∴DA＝DF，
∴AH＝FH，
∵AF⊥BE，
∴DG∥BE，
∴AG＝BG＝，
∵矩形ABCD中，AB＝DC＝6，AB∥DC，
∴四边形BEDG为平行四边形，
∴DE＝BG＝3，
∴CE＝CD﹣DE＝6﹣3＝3．
故选：C．
二．填空题
11．解：
+1＝+1，即＝．
故答案为：．
12．解：∵△ABC的两条中线AD，BE交于点G，
∴BD＝CD，AE＝CE，
∵EF∥CD，
∴＝＝1，即AF＝FD，
∴EF为△ADC的中位线，
∴EF＝CD，
∴EF＝BD，
∵EF∥BD，
∴＝＝，
∴DG＝2FG＝2，
∴FD＝2+1＝3，
∴AD＝2FG＝6．
故答案为6．
13．解：∵△ABC∽△A′B′C′，△ABC的三边分别是5，6，7，△A′B′C′的最短边为10，
∴相似比是：＝，
∴△A′B′C′的另外两条边是6×2＝12，7×2＝14，
∴△A′B′C′的周长是：10+12+14＝36，
故答案为：36．
14．解：由合比性质，得
＝＝，
故答案为：．
15．解：根据黄金分割的概念得：AP：AB＝PB：AP，即AP2＝PB?AB，
则S1：S2＝AP2：（PB?AB）＝1，即S1＝S2．
故答案为：＝．
16．解：根据叶片①②的最大长度和宽度，可得出这种植物的叶片的最大宽度：最大长度＝1：2．由此可得出完整的叶片③的最大长度应是6.5×2＝13cm．
故答案为：13．
17．解：∵∠B＝∠D，
∴添加∠C＝∠E或∠BAC＝∠DAE或∠BAD＝∠CAE或＝，可证△ABC∽△ADE．
故答案为：∠C＝∠E或∠BAC＝∠DAE或∠BAD＝∠CAE或＝．
18．解：∵＝，则x＝y，
∴＝＝＝．
故答案为：．
19．解：因为实际距离＝图上距离÷比例尺，
则：7÷＝280000（厘米）＝2800（米）＝2.8千米；
答：这两地之间的实际距离是2.8千米．
故答案为：2.8．
20．解：∵∠PAC＝∠CAB，
∴当∠ACP＝∠B时，△ACP∽△APC，
故答案为：∠ACP＝∠B（答案不唯一）
三．解答题
21．解：由＝＝，得
y＝，z＝2x．
将y＝，z＝2x代入2x+3y﹣z＝1中，得
2x+﹣2x＝18．
解得x＝4，y＝＝6，z＝2x＝8．
22．解：由可知：
x+y＝mz，y+z＝mx，z+x＝my．
这几式相加可得：2（x+y+z）＝m（x+y+z），
当x+y+z≠0时，有m＝2，
当x+y+z＝0时，有x+y＝﹣z，y+z＝﹣x，x+z＝﹣y，m＝﹣1．
故m＝2或﹣1．
23．解：设＝＝＝k，
所以，a＝3k，b＝4k，c＝5k，
则＝＝．
24．解：∵a∥b∥c，
∴，
即，
解得：EF＝．
25．解：因为＝＝2，
可得：a＝2b，c＝2d，
所以＝，＝．
26．解：（1）直线CD是△ABC的黄金分割线．理由如下：
∵点D是AB的黄金分割点，
∴＝，
∵＝，＝，
∴＝，
∴直线CD是△ABC的黄金分割线；
（2）∵三角形的中线把AB分成相等的两条线段，即AD＝BD，
∴＝，＝＝1，
∴三角形的中线不是该三角形的黄金分割线；
（3）∵DF∥CE，
∴S△FDE＝S△FDC，S△DEC＝S△FEC，
∴S△AEF＝S△ADC，S四边形BEFC＝S△BDC，
∵＝，
∴＝，
∴直线EF是△ABC的黄金分割线．
27．解：（1）如图1，
由折叠过程可以看到：第一次折叠，A与D重合，四边形ABDC为正方形，折痕BC为对角线，由勾股定理可得BC＝AB；第二次折叠，第一次的折痕与A4纸较长的边重合，即BC与较长边重合．所以，较长边＝AB．
∴A4纸较长边与较短边的比为：．
故答案为：．
（2）A4纸与A5纸是相似图形．理由：
∵A4纸较长边与较短边的比为：，
∴设A4纸较短边的长为a，则较长边为a．
∵由图2可知：A5纸的长边与A4纸的短边重合，短边等于A4纸的长边的一半，
∴A5纸的长边为a，短边为．
∴A5纸的长边与短边的比为：＝．
∴A4纸较长边与较短边的比＝A5纸的长边与短边的比．
又∵A4纸与A5纸的四个角均为直角，
∴A4纸与A5纸相似．
相似形》单元测试卷
一．选择题
1．若＝，则等于（ ）
A．
B．
C．
D．
2．已知＝，则的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．下列四组线段中，不构成比例线段的一组是（ ）
A．1cm，2cm，3cm，6cm
B．2cm，3cm，4cm，6cm
C．1cm，
cm，
cm，
cm
D．1cm，2cm，3cm，4cm
4．下列各组图形一定相似的是（ ）
A．两个矩形
B．两个等边三角形
C．各有一角是80°的两个等腰三角形
D．任意两个菱形
5．已知，那么下列等式中，不成立的是（ ）
A．
B．
C．（y≠﹣4a）
D．4x＝3y
6．如图，在△ABC中，D，E两点分别在BC，AC上，且AD平分∠BAC，若∠ABE＝∠C，BE与AD相交于点F，则图中与△ABD相似的是（ ）
A．△ABC
B．△ABF
C．△BFD
D．△AEF
7．如图，在△ABC中，D为AB上一点，若AC2＝AD?AB，则（ ）
A．△ADC∽△CBD
B．△BDC∽△BCA
C．△ADC∽△ACB
D．无法判断
8．若△ABC∽△ADE，AB＝9，AC＝6，AD＝3，则EC的长是（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
9．如图，顶角为36°的等腰三角形，其底边与腰之比等于k，这样的三角形称为黄金三角形，已知腰AB＝1，△ABC为第一个黄金三角形，△BCD为第二个黄金三角形，△CDE为第三个黄金三角形以此类推，第2020个黄金三角形的周长（ ）
A．k2018
B．k2019
C．
D．k2019（2+k）
10．如图，点E是矩形ABCD的边CD上一点，作AF⊥BE于F，连接DF，若AB＝6，DF＝BC，则CE的长度为（ ）
A．2
B．
C．3
D．
二．填空题
11．如果x：y＝1：2，那么＝
．
12．如图，△ABC的两条中线AD，BE交于点G，EF∥BC交AD于点F．若FG＝1，则AD＝
．
13．已知△ABC的三边分别是5，6，7，则与它相似△A′B′C′的最短边为10，则△A′B′C′的周长是
．
14．若x：y＝5：2，则（x+y）：y的值是
．
15．已知线段AB，点P是线段AB的黄金分割点，AP＞BP，设以AP为边的正方形的面积为S1，以PB、AB为边的矩形的面积为S2，则S1
S2（填＜、≤、＝、＞或≥）．
16．某课外活动小组的同学在研究某种植物标本（如图所示）时，测得叶片①最大宽度是8cm，最大长度是16cm；叶片②最大宽度是7cm，最大长度是14cm；叶片③最大宽度约为6.5cm，请你用所学数学知识估算叶片③的完整叶片的最大长度，结果约为
cm．
17．如图，∠B＝∠D，请你添加一个条件，使得△ABC∽△ADE，这个条件可以是
．
18．如果＝，那么＝
．
19．在1：40000的地图上，村犀路的距离是7厘米，则实际距离是
千米．
20．如图，在△ABC中，P为AB上的一点，补充条件，能使△APC∽△ACB，这个条件可以是
．（写出一个即可）
三．解答题
21．已知＝＝，且2x+3y﹣z＝18，求x，y，z的值．
22．已知，求m的值．
23．已知，求的值．
24．如图，a∥b∥c，直线m，n与直线a，b，c分别相交于点A，B，C和点D，E，F．若AB＝3，BC＝5，DE＝4，求EF的长．
25．已知＝＝2，求和的值．
26．阅读理解：
如图1，点C将线段AB分成两部分，若＝，则点C为线段AB的黄金分割点．
某研究学习小组，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，而给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S1、S2，如果＝，那么称直线l为该图形的黄金分割线．
问题解决：
如图2，在△ABC中，若点D是AB的黄金分割点．
（1）研究小组猜想：直线CD是△ABC的黄金分割线，你认为对吗？为什么？
（2）请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？
（3）研究小组探究发现：过点C作直线交AB于E，过D作DF∥CE，交AC于F，连接EF（如图3），则直线EF也是△ABC的黄金分割线．请你说明理由．
27．如图1，将A4纸2次折叠，发现第一次的折痕与A4纸较长的边重合，如图2，将1张A4纸对折，使其较长的边一分为二，沿折痕剪开，可得2张A5纸．
（1）A4纸较长边与较短边的比为
；
（2）A4纸与A5纸是否为相似图形？请说明理由．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．解：∵＝，
∴a＝b，
则＝＝．
故选：A．
2．解：由＝，得＝＝．
故选：D．
3．解：A、1：2＝3：6，即1cm，2cm，3cm，6cm成比例；
B、2：3＝4：6，即2cm，3cm，4cm，6cm成比例；
C、1：＝：，即1cm，
cm，
cm，
cm成比例；
D、四条线段中，任意两条的比都不相等，因而不成比例．
故选：D．
4．解：两个矩形对应边的比不一定相等，故不一定相似；
两个等边三角形相似对应边的比相等，对应角相等，一定相似；
各有一角是80°的两个等腰三角形对应角不一定相等，故不一定相似；
任意两个菱形对应角不一定相等，故不一定相似；
故选：B．
5．解：A、∵，
∴＝，此选项正确，不合题意；
B、∵，
∴＝﹣，此选项错误，符合题意；
C、∵，
∴＝，此选项正确，不合题意；
D、∵，
∴4x＝3y，此选项正确，不合题意；
故选：B．
6．解：在△ABE与△ACB中，∠ABE＝∠C，∠BAE＝∠CAB，
∴△ABE∽△ACB，
∴∠AEB＝∠ABC，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠EAF，
∴△ABD∽△AEF．
故选：D．
7．解：∵AC2＝AD?AB，
∴，
∵∠A＝∠A，且∠A为AD、AC和AB、AC的夹角，
∴△ADC∽△ACB．
故选：C．
8．解：设EC＝x，
∵AC＝6，
∴AE＝6﹣x，
∵△ABC∽△ADE，
∴，
∴，
解得：x＝4，
故选：C．
9．解：∵AB＝AC＝1，
∴△ABC的周长为2+k；
△BCD的周长为k+k+k2＝k（2+k）；
△CDE的周长为k2+k2+k3＝k2（2+k）；
依此类推，
第n个黄金三角形的周长为kn﹣1（2+k），
∴第2020个黄金三角形的周长为k2019（2+k）．
故选：D．
10．解：过D作DH⊥AF于点H，延长DH与AB相交于点G，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD＝BC，
∵DF＝BC，
∴DA＝DF，
∴AH＝FH，
∵AF⊥BE，
∴DG∥BE，
∴AG＝BG＝，
∵矩形ABCD中，AB＝DC＝6，AB∥DC，
∴四边形BEDG为平行四边形，
∴DE＝BG＝3，
∴CE＝CD﹣DE＝6﹣3＝3．
故选：C．
二．填空题
11．解：
+1＝+1，即＝．
故答案为：．
12．解：∵△ABC的两条中线AD，BE交于点G，
∴BD＝CD，AE＝CE，
∵EF∥CD，
∴＝＝1，即AF＝FD，
∴EF为△ADC的中位线，
∴EF＝CD，
∴EF＝BD，
∵EF∥BD，
∴＝＝，
∴DG＝2FG＝2，
∴FD＝2+1＝3，
∴AD＝2FG＝6．
故答案为6．
13．解：∵△ABC∽△A′B′C′，△ABC的三边分别是5，6，7，△A′B′C′的最短边为10，
∴相似比是：＝，
∴△A′B′C′的另外两条边是6×2＝12，7×2＝14，
∴△A′B′C′的周长是：10+12+14＝36，
故答案为：36．
14．解：由合比性质，得
＝＝，
故答案为：．
15．解：根据黄金分割的概念得：AP：AB＝PB：AP，即AP2＝PB?AB，
则S1：S2＝AP2：（PB?AB）＝1，即S1＝S2．
故答案为：＝．
16．解：根据叶片①②的最大长度和宽度，可得出这种植物的叶片的最大宽度：最大长度＝1：2．由此可得出完整的叶片③的最大长度应是6.5×2＝13cm．
故答案为：13．
17．解：∵∠B＝∠D，
∴添加∠C＝∠E或∠BAC＝∠DAE或∠BAD＝∠CAE或＝，可证△ABC∽△ADE．
故答案为：∠C＝∠E或∠BAC＝∠DAE或∠BAD＝∠CAE或＝．
18．解：∵＝，则x＝y，
∴＝＝＝．
故答案为：．
19．解：因为实际距离＝图上距离÷比例尺，
则：7÷＝280000（厘米）＝2800（米）＝2.8千米；
答：这两地之间的实际距离是2.8千米．
故答案为：2.8．
20．解：∵∠PAC＝∠CAB，
∴当∠ACP＝∠B时，△ACP∽△APC，
故答案为：∠ACP＝∠B（答案不唯一）
三．解答题
21．解：由＝＝，得
y＝，z＝2x．
将y＝，z＝2x代入2x+3y﹣z＝1中，得
2x+﹣2x＝18．
解得x＝4，y＝＝6，z＝2x＝8．
22．解：由可知：
x+y＝mz，y+z＝mx，z+x＝my．
这几式相加可得：2（x+y+z）＝m（x+y+z），
当x+y+z≠0时，有m＝2，
当x+y+z＝0时，有x+y＝﹣z，y+z＝﹣x，x+z＝﹣y，m＝﹣1．
故m＝2或﹣1．
23．解：设＝＝＝k，
所以，a＝3k，b＝4k，c＝5k，
则＝＝．
24．解：∵a∥b∥c，
∴，
即，
解得：EF＝．
25．解：因为＝＝2，
可得：a＝2b，c＝2d，
所以＝，＝．
26．解：（1）直线CD是△ABC的黄金分割线．理由如下：
∵点D是AB的黄金分割点，
∴＝，
∵＝，＝，
∴＝，
∴直线CD是△ABC的黄金分割线；
（2）∵三角形的中线把AB分成相等的两条线段，即AD＝BD，
∴＝，＝＝1，
∴三角形的中线不是该三角形的黄金分割线；
（3）∵DF∥CE，
∴S△FDE＝S△FDC，S△DEC＝S△FEC，
∴S△AEF＝S△ADC，S四边形BEFC＝S△BDC，
∵＝，
∴＝，
∴直线EF是△ABC的黄金分割线．
27．解：（1）如图1，
由折叠过程可以看到：第一次折叠，A与D重合，四边形ABDC为正方形，折痕BC为对角线，由勾股定理可得BC＝AB；第二次折叠，第一次的折痕与A4纸较长的边重合，即BC与较长边重合．所以，较长边＝AB．
∴A4纸较长边与较短边的比为：．
故答案为：．
（2）A4纸与A5纸是相似图形．理由：
∵A4纸较长边与较短边的比为：，
∴设A4纸较短边的长为a，则较长边为a．
∵由图2可知：A5纸的长边与A4纸的短边重合，短边等于A4纸的长边的一半，
∴A5纸的长边为a，短边为．
∴A5纸的长边与短边的比为：＝．
∴A4纸较长边与较短边的比＝A5纸的长边与短边的比．
又∵A4纸与A5纸的四个角均为直角，
∴A4纸与A5纸相似．