2020-2021学年冀教新版九年级上册数学《第26章 解直角三角形》单元测试卷（word版含解析）

2020-2021学年冀教新版九年级上册数学《第26章
解直角三角形》单元测试卷
一．选择题
1．△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则tanA的值是（　　）
A．
B．
C．
D．
2．已知α为锐角，那么sinα+cosα的值是（　　）
A．大于1
B．小于1
C．等于1
D．不能确定
3．Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝，AB＝4，则cosB的值是（　　）
A．
B．
C．
D．
4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，BC＝6，则AB长是（　　）
A．4
B．6
C．8
D．10
5．计算1﹣2sin245°的结果是（　　）
A．﹣1
B．0
C．
D．1
6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，cosA＝，则AC的长为（　　）
A．5
B．8
C．12
D．13
7．若α，β都是锐角，下列说法正确的是（　　）
A．若sinα＝cosβ，则α＝β＝45°
B．若sinα＝cosβ，则α+β＝90°
C．若sinα＞cosβ，则α＞β
D．若sinα＜cosβ，则α＜β
8．如图，△ABC与△A′B′C′都是等腰三角形，且AB＝AC＝5，A′B′＝A′C′＝3，若∠B+∠B′＝90°，则△ABC与△A′B′C′的面积比为（　　）
A．25：9
B．5：3
C．：
D．5：3
9．为了方便行人推车过某天桥，市政府在10m高的天桥一侧修建了40m长的斜道（如图所示），我们可以借助科学计算器求这条斜道倾斜角的度数，具体按键顺序是（　　）
A．
B．
C．
D．
10．如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点P，则tan∠APD＝（　　）
A．
B．3
C．
D．2
二．填空题
11．如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的正弦值为　
　．
12．计算：sin45°＝　
　．
13．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8．若∠BPC＝∠BAC，则tan∠BPC＝　
　．
14．网格中的每个小正方形的边长都是1，△ABC每个顶点都在网格的交点处，则sinA＝　
　．
15．比较大小：tan40°　
　tan70°（填“＞”或“＜”）
16．已知：∠A为锐角，且sinA＝，则tanA的值为　
　．
17．α为锐角，且tanα＝1，则α＝　
　，sinα＝　
　．
18．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则tanB的值为　
　．
19．已知：如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝45°，AC＝2，则AB的长为　
　．
20．请从以下两个小题中任选一个作答，若多选，则按第一题计分．
A．如图，在△ABC中，BD和CE是△ABC的两条角平分线．若∠A＝52°，则∠1+∠2的度数为　
　．
B.
tan38°15′≈　
　．（结果精确到0.01）
三．解答题（共7小题）
21．已知cos45°＝，求cos21°+cos22°+…+cos289°的值．
22．阅读下列材料，并完成相应的任务．初中阶段，我们所学的锐角三角函数反映了直角三角形中的边角关系：
sinα＝cosα＝tanα＝
一般地，当α、β为任意角时，sin（α+β）与sin（α﹣β）的值可以用下面的公式求得：
sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ
sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ
例如sin15°＝sin（45°﹣30°）＝sin45°cos30°﹣cos45°sin30°
＝
根据上述材料内容，解决下列问题：
（1）计算：sin75°＝　
　；
（2）在Rt△ABC中，∠A＝75°，∠C＝90°，AB＝4，请你求出AC和BC的长．
23．在△ABC中，∠C＝90°，BC＝24cm，cosA＝，求这个三角形的周长．
24．如图，在平面直角坐标系中，已知点B（4，2），BA⊥x轴于A．
（1）求tan∠BOA的值；
（2）将点B绕原点逆时针方向旋转90°后记作点C，求点C的坐标；
（3）将△OAB平移得到△O′A′B′，点A的对应点是A′，点B的对应点B'的坐标为（2，﹣2），在坐标系中作出△O′A′B′，并写出点O′、A′的坐标．
25．如图，在所示的直角坐标系中，P是第一象限的点，其坐标是（6，y），且OP与x轴的正半轴的夹角α的正切值是，求角α的正弦值．
26．在锐角△ABC中，AB＝15，BC＝14，S△ABC＝84，求：
（1）tanC的值；
（2）sinA的值．
27．（1）如图，锐角的正弦和余弦都随着锐角的确定而确定，也随着其变化而变化，试探索随着锐角度数的增大，它的正弦值和余弦值的变化规律；
（2）根据你探索到的规律，试比较18°，34°，52°，65°，88°，这些角的正弦值的大小和余弦值的大小；
（3）比较大小：（在空格处填写“＜”或“＞”或“＝”）
若∠α＝45°，则sinα　
　cosα；若∠α＜45°，则sinα　
　cosα；若∠α＞45°，则sinα　
　cosα；
（4）利用互余的两个角的正弦和余弦的关系，比较下列正弦值和余弦值的大小：
sin10°，cos30°，sin50°，cos70°．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．解：如图，
∵sinA＝＝，
∴设BC＝4x，AB＝5x，
∴AC＝＝3x，
∴tanA＝＝＝．
故选：A．
2．解：因为α为锐角，
∴sinαcosα＞0，
∴（sinα+cosα）2＝sin2α+cos2α+2sinαcosα
＝1+2sinαcosα＞1，
∴sinα+cosα＞1．
故选：A．
3．解：∵∠C＝90°，AC＝，AB＝4，
∴BC＝＝＝1，
∴cosB＝＝，
故选：D．
4．解：∵∠C＝90°，sinA＝＝，BC＝6，
∴AB＝BC＝×6＝10；
故选：D．
5．解：原式＝1﹣2×（）2
＝1﹣2×
＝1﹣1
＝0．
故选：B．
6．解：∵cosA＝，即＝，AB＝13，
∴AC＝AB?cosA＝5，
故选：A．
7．解：根据一个角的正弦值等于余角的余弦值，判断A错误，B正确．
根据锐角三角函数的变化规律，则C，D错误．
故选：B．
8．解：过A
作AD⊥BC于D，过A′作A′D′⊥B′C′于D′，
∵△ABC与△A′B′C′都是等腰三角形，
∴∠B＝∠C，∠B′＝∠C′，BC＝2BD，B′C′＝2B′D′，
∴AD＝AB?sinB，A′D′＝A′B′?sinB′，BC＝2BD＝2AB?cosB，B′C′＝2B′D′＝2A′B′?cosB′，
∵∠B+∠B′＝90°，
∴sinB＝cosB′，sinB′＝cosB，
∵S△BAC＝AD?BC＝AB?sinB?2AB?cosB＝25sinB?cosB，
S△A′B′C′＝A′D′?B′C′＝A′B′?cosB′?2A′B′?sinB′＝9sinB′?cosB′，
∴S△BAC：S△A′B′C′＝25：9．
解法二：证明△ADB∽△B′D′A′，推出△ABC与△A′B′C′的面积比＝（）2＝．
故选：A．
9．解：sinA＝＝＝0.25，
所以用科学计算器求这条斜道倾斜角的度数时，按键顺序为
故选：A．
10．解：设小正方形的边长为1，
由图形可知，，
∴△ADC是等腰直角三角形，
∴AD⊥DC．
∵AC∥BD，
∴，
∴PC＝2DP，
∴AD＝DC＝3DP，
∴．
故选：B．
二．填空题
11．解：AB2＝32+12＝10，BC2＝22+12＝5，AC2＝22+12＝5，
∴AC＝CB，BC2+AC2＝AB2，
∴∠BCA＝90°，
∴∠ABC＝45°，
∴∠ABC的正弦值为．
故答案为：．
12．解：根据特殊角的三角函数值得：sin45°＝．
13．解：过点A作AE⊥BC于点E，
∵AB＝AC＝5，
∴BE＝BC＝×8＝4，∠BAE＝∠BAC，
∵∠BPC＝∠BAC，
∴∠BPC＝∠BAE．
在Rt△BAE中，由勾股定理得
AE＝，
∴tan∠BPC＝tan∠BAE＝．
故答案为：．
14．解：如图，作AD⊥BC于D，CE⊥AB于E，
由勾股定理得AB＝AC＝2，BC＝2，AD＝3，
可以得知△ABC是等腰三角形，
由面积相等可得，
BC?AD＝AB?CE，
即CE＝＝，
sinA＝＝＝，
故答案为：．
15．解：∵tanα的值随着α的增大而增大，且40°＜70°，
∴tan40°＜tan70°，
故答案为：＜．
16．解：由sinA＝＝知，如果设a＝8x，则c＝17x，
结合a2+b2＝c2得b＝15x．
∴tanA＝＝．
17．解：∵tanα＝1，∴α＝45°．
∴sinα＝．
18．解：
∵sinA＝，
∴设BC＝5x，AB＝13x，
则AC＝＝12x，
故tan∠B＝＝．
故答案为：．
19．解：过A作AD⊥BC，
在Rt△ACD中，∠C＝45°，AC＝2，
∴AD＝CD＝2，
在Rt△ABD中，∠B＝30°，AD＝2，
∴AB＝2AD＝4，
故答案为：4．
20．解：A、∵∠A＝52°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝128°，
∵BD平分∠ABC、CE平分∠ACB，
∴∠1＝∠ABC、∠2＝∠ACB，
则∠1+∠2＝∠ABC+∠ACB＝（∠ABC+∠ACB）＝64°，
故答案为：64°；
B、tan38°15′≈2.5713×0.7883≈2.03，
故答案为：2.03．
三．解答题（共7小题）
21．解：原式＝（cos21°+cos289°）+（cos22°+cos288°）+…+（cos244°+cos246°）+cos245
＝（sin21°+cos21°）+（sin22°+cos22°）+…+（sin244°+cos244°）+cos245
＝44+（）2
＝44．
22．解：（1）sin75°＝sin（30°+45°）
＝sin30°cos45°+cos30°sin45°
＝×+×
＝，
故答案为：．
（2）Rt△ABC中，∵sin∠A＝sin75°＝＝
∴BC＝AB×＝4×＝
∵∠B＝90﹣∠A
∴∠B＝15°
∵sin∠B＝sin15°＝＝
∴AC＝AB×＝
23．解：可设AC＝5xcm，AB＝13xcm，
则BC＝12xcm，
由12x＝24得x＝2，
∴AB＝26，AC＝10，
∴△ABC的周长为：10+24+26＝60cm．
24．解：（1）∵点B（4，2），BA⊥x轴于A，
∴OA＝4，BA＝2，
∴tan∠BOA＝＝＝．
（2）如图，由旋转可知：CD＝BA＝2，OD＝OA＝4，
∴点C的坐标是（﹣2，4）．
（3）△O′A′B′如图所示，O′（﹣2，﹣4），A′（2，﹣4）．
25．解：作PC⊥x轴于C．
∵tanα＝，OC＝6
∴PC＝8．
则OP＝10．
则sinα＝．
26．解：（1）过A作AD⊥BC于点D．
∵S△ABC＝BC?AD＝84，
∴×14×AD＝84，
∴AD＝12．
又∵AB＝15，
∴BD＝＝9．
∴CD＝14﹣9＝5．
在Rt△ADC中，AC＝＝13，
∴tanC＝＝；
（2）过B作BE⊥AC于点E．
∵S△ABC＝AC?EB＝84，
∴BE＝，
∴sin∠BAC＝＝＝．
27．解：（1）在图（1）中，令AB1＝AB2＝AB3，B1C1⊥AC于点C1，B2C2⊥AC于点C2，B3C3⊥AC于点C3，
显然有：B1C1＞B2C2＞B3C3，∠B1AC＞∠B2AC＞∠B3AC．
∵sin∠B1AC＝，sin∠B2AC＝，sin∠B3AC＝，
而＞＞．
∴sin∠B1AC＞sin∠B2AC＞sin∠B3AC．
在图（2）中，Rt△ACB3中，∠C＝90°，
cos∠B1AC＝，cos∠B2AC＝，cos∠B3AC＝，
∵AB3＜AB2＜AB1，
∴＞＞．
即cos∠B3AC＞cos∠B2AC＞cos∠B1AC．
（2）sin88°＞sin65°＞sin52°＞sin34°＞sin18°；
cos88°＜cos65°＜cos52°＜cos34°＜cos18°．
（3）若∠α＝45°，则sinα＝cosα；若∠α＜45°，则sinα＜cosα；若∠α＞45°，则sinα＞cosα．
（4）cos30°＞sin50°＞cos70°＞sin10°．