九年级数学圆心角与圆周角的关系

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专题一
圆心角与圆周角的关系
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于
该弧所对的圆心角的一半，相等的圆周角所对的弧相等．半圆
(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
例 1：如图 24－1，AB 是⊙O 的直径，C、D、E 是⊙O 上
的点，则∠1＋∠2＝________°.
图 24－1
解析：连接OC，∵∠1为 所对的圆周角，∠2为 所
对的圆周角，∴∠1＋∠2＝ ∠AOC＋ ∠BOC＝ ∠AOB，又AB
1 1 1
2 2 2
是⊙O 的直径，∴∠AOB＝180°，∴∠1＋∠2＝90°.
专题二
圆与圆的位置关系
圆与圆的位置关系中，时常要注意两圆相切包括外切和内
切两种情况．
例2：已知△ABC 的三边分别是 a、b、c，两圆的半径 r1
＝a，r2＝b，圆心距 d＝c，则这两个圆的位置关系是__________．
解析：∵△ABC 的三边分别是a、b、c，∴a＋b＞c，即r1
＋r2＞d，∴两圆相交．
专题三
求与圆有关的阴影部分的面积
求圆中不规则阴影图形的面积，通常用割补法，将其面积
用规则图形(如扇形、三角形、矩形等)的面积的和或差表示．
例 3：如图 24－2，将△ABC 绕点 B 逆时针旋转到A′BC′
使 A、B、C′在同一直线上，若∠BCA＝90°，∠BAC＝30°，
AB＝4 cm，则图中阴影部分面积为__________cm2.
图 24－2
1．如图 24－3，已知⊙O 的直径为 10 cm, 点 D 在圆上．
以 AD、BD 为边长分别做正方形 ADEF 和 BDMN，分别记两个
正方形的面积为 a，b，则 a＋b＝________.
100
图 24－3
图 24－4
2．如图 24－4，⊙O 的直径 CD⊥AB，∠AOC＝50°，则
∠ CDB 大小为(
)
A
A．25°
B．30°
C．40°
D．50°
3．若⊙O1 与⊙O2 至多有一个交点，且 O1O2＝5，⊙O1 的
半径 r1＝2，则⊙O2 的半径 r2 的取值范围是(
)
D
A．3≤r≤7
C．07
B．3D．04．如图 24－5，⊙O1、⊙O2 的直径分别为 2 cm 和 4 cm，
现将⊙O1 向⊙O2 平移，当 O1O2＝__________cm 时，⊙O1与⊙
O2 相切．
1 或 3
图 24－5
5．(2010 年广东湛江)已知两圆的半径分别为 3 cm 和 4 cm，
两个圆的圆心距为 8 cm，则两圆的位置关系是(
)
C
A．内切
B．相交
C．外离
D．外切
6．(2010 年广东珠海)如图 24－6, PA 、PB 是⊙O 的切线，
)
C
切点分别是 A、B，如果∠P＝60°，那么∠AOB 等于(
图 24－6
A．60°
B．90°
C．120°
D．150°
7．(2010 年广东深圳)如图 24－7，点 P(3a，a)是反比例函
则反比例函数的解析式为(
D
)
图 24－7
A．y＝
3
x
B．y＝
5
x
C．y＝
10
x
D．y＝
12
x
8．(2010 年广东)如图 24－8，PA 与⊙O 相切于点 A，弦 AB
⊥OP，垂足为 C，OP 与⊙O 相交于 D 点，已知 OA＝2，OP＝4.
(1)求∠POA 的度数；
(2)计算弦 AB 的长．
图 24－8
解：(1)60°
(2)AB＝
9．(1)如图 24－9(1)，已知△ABC 是边长为 2 的等边三角形，
以 BC 为直径的⊙O 交 AB、AC 于 D、E.求证：△ADE 是等边三
角形；
(2)在(1)的条件下，若一个圆锥的侧面展开图是扇形 ODE，
求这个圆锥的全面积；
(3)如图 24－9(2)，若∠A＝60°，AB≠AC，则(1)的结论是否
成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．
图 24－9
(1)证明：易知∠ADE＋∠BDE＝180°，
又由圆周角的知识知道∠C＋∠BDE＝180°，故∠ADE＝∠C.
又∵△ABC 是等边三角形，∴∠ADE＝∠C＝60°.
∴△ADE 是等边三角形．
(2)解：易知∠B＝60°，
又∵DO＝BO，∴△BDO 是等边三角形，∴∠DOB＝60°.
同理，∠EOC＝60°.即∠DOE＝60°.
∵等边△ABC 边长为 2，∴DO＝OE＝1.
(3)解：不成立．理由：由(1)知道，若△ADE 是等边三角形，
则∠ADE＝∠C＝60°.又∠A＝60°，故△ABC 是等边三角形，即
AB＝AC，与题设矛盾．