1.2空间向量基本定理 同步练习 2021-2022学年高二上学期人教A版（2019）选择性必修第一册（Word含答案解析）

1．2　空间向量基本定理
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夯基础
题组一　空间向量基本定理及相关概念的理解
1．设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一个基底，给出下列向量组：①{a，b，x}；②{x，y，z}；③{b，c，z}；④{x，y，a＋b＋c}，则其中可以作为空间的基底的向量组有
(
)
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
2．已知空间四个点O、A、B、C，{}为空间的一个基底，则下列说法正确的是
(　　)
A．O，A，B，C四点共线
B．O，A，B，C四点共面，但不共线
C．O，A，B，C四点不共面
D．||＝||＝||＝1
3．(2021山东济宁高二上检测)已知点O，A，B，C为空间中不共面的四点，且向量a＝，向量b＝，则不能与a，b共同构成空间向量的一个基底的向量是
(　　)
A．
B．
C．
D．以上都不能
题组二　空间向量基本定理的应用—用空间的基底表示空间向量
4．在三棱柱A1B1C1－ABC中，D是四边形BB1C1C的中心，且＝a，＝b，＝c，则＝
(　　)
A．c
C．c
5．(2020安徽淮北一中高二上期中)已知M、N分别是四面体OABC的棱OA，BC的中点，点P在线段MN上，且MP＝2PN，设向量＝a，＝b，＝c，则＝
(　　)
A．c
C．c
6．(2020湖北宜昌高二下期末)在正四面体PABC中，M是PA上的点，且PM＝2MA，N是BC的中点，若＝x＋y＋z，则x＋y＋z
的值为　　　　．?
题组三　利用空间向量基本定理解决几何问题
7．(2021山东师范大学附属中学高二上月考)如图，已知ABCD－A1B1C1D1是四棱柱，底面ABCD是正方形，AA1＝3，AB＝2，且∠C1CB＝∠C1CD＝60°，设＝a，＝b，＝c．
(1)试用a，b，c表示
；
(2)已知O为体对角线A1C的中点，求CO的长．
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培素养
题组一　利用空间向量基本定理证明平行和垂直　　　　　　
　　　　　
　　　　　
1．(多选)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，若E为A1C1的中点，则与直线CE不垂直的有
(　　)
A．AC
B．BD
C．A1D
D．A1A
2．(2020山东烟台高二上期末)如图所示的平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，已知AB＝AA1＝AD，∠BAD＝∠DAA1＝60°，∠BAA1＝30°，N为A1D1上一点，且A1N＝λA1D1，若BD⊥AN，则λ的值为　　　　；若M为棱DD1的中点，BM∥平面AB1N，则λ的值为　　　　．?
(2021辽宁大连高二上检测)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，
∠ABC＝90°，BC＝2，CC1＝4，点E在棱BB1上，EB1＝1，D、F、G分别为CC1、B1C1、A1C1的中点，EF与B1D相交于点H．
(1)求证：B1D⊥平面ABD；
(2)求证：平面EFG∥平面ABD．
题组二　利用空间向量基本定理求线段长度和异面直线所成角
(2021山东济宁实验中学高二上月考)在一平面直角坐标系中，已知A(－1，6)，B(2，－6)，现沿x轴将坐标平面折成60°的二面角，则折叠后A，B两点间的距离为
(　　)
A．
B．
C．
D．
5．(多选)()如图，一个结晶体的形状为平行六面体ABCD－A1B1C1D1，其中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是(　　)
A．AC1＝6
B．AC1⊥DB
C．向量与的夹角是60°
D．BD1与AC所成角的余弦值为
6．(2020浙江杭州学军中学高二上期中，)棱长为a的正四面体ABCD中，E，F分别为棱AD，BC的中点，则异面直线EF与AB所成角的大小是　　　　，线段EF的长度为　　　　．?
7．化学中，将构成粒子(原子、离子或分子)在空间按一定规律呈周期性重复排列构成的固体物质称为晶体．在结构化学中，可将晶体结构截分为一个个包含等同内容的基本单位，这个基本单位叫做晶胞．已知钙、钛、氧可以形成如图所示的立方体晶胞(其中Ti原子位于晶胞的中心，Ca原子均在顶点位置，O原子位于棱的中点)．则图中原子连线BF与B1E所成角的余弦值为　　　　．?
答案
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夯基础
1．C　结合长方体，如图，可知向量a，b，x共面，x，y，z不共面，b，c，z不共面，x，y，a＋b＋c也不共面，故选C．
方法归纳　判断给出的某一个向量组中的三个向量能否作为基底，关键是要判断它们是否共面，如果从正面难以入手，常用反证法或借助一些常见的几何图形帮助我们进行判断．
2．C　∵{}为空间的一个基底，
∴三个向量不共面，即O、A、B、C四点不共面．、、不一定为单位向量，故选C．
3．C　∵(a－b)，
∴与a，b共面，
∴不能与a，b共同构成空间向量的一个基底．
易知均能与a，b共同构成空间向量的一个基底．
故选C．
4．D　c，故选D．
5．C　a，故选C．
6．答案　
解析　如图所示，连接PN，AN，，
∴x＝－．
∴x＋y＋z＝．
7．解析　(1)＝－＝－＝－c－b－a．
(2)由题意知，|a|＝2，|b|＝2，|c|＝3，
a·b＝0，a·c＝2×3×＝3，a·b＝2×3×＝3，
∵(a＋b＋c)，
∴|
＝
＝．
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培素养
1．ACD　，
，
∴·≠0，·＝0，
·＝－≠0，·≠0，
∴与CE不垂直的有AC、A1D、A1A．
故选ACD．
2．答案　
解析　取空间中的一个基底：＝a，＝b，＝c．若BD⊥AN，则·＝0．
∵＝b－a，＝c＋λb，
∴(b－a)·(c＋λb)＝0，∴－1．
当M为棱DD1的中点，BM∥平面AB1N时，c，＝λb＋c，＝a＋c．
∵BM∥平面AB1N，∴向量共面，∴?x，y∈R，使得＝x＋y，
即－a＋b＋c＝ya＋xλb＋(x＋y)c，
∴．
3．证明　(1)易得，
∵··＝0，
··＝＝0，
∴B1D⊥BA，B1D⊥BD，又BA∩BD＝B，
∴B1D⊥平面ABD．
(2)连接B1G．∵，
，
∴·＝()·＝0，
··＝0，
∴B1D⊥EG，B1D⊥FG，又EG∩FG＝G，
∴B1D⊥平面EFG，又B1D⊥平面ABD，平面ABD与平面EFG不重合，
∴平面EFG∥平面ABD．
4．D　已知在平面直角坐标系中A(－1，6)，B(2，－6)，作AC⊥x轴，交x轴于C点，作BD⊥x轴，交x轴于D点，如图(1)，沿x轴将坐标平面折成60°的二面角，如图(2)，
易得||＝6，||＝3，||＝6，⊥⊥的夹角为120°，
所以，
图(1)
图(2)
所以||2＝||2＋||2＋＋2·＋2·＋2·＝45，∴|．故选D．
5．AB　因为以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，
所以···＝6×6×cos
60°＝18，
()2＝＋2·＋2·＋2·
＝36＋36＋36＋3×2×18＝216，
则||＝|，
所以A正确；
·＝()·()
＝····
＝0，所以B正确；
显然△AA1D
为等边三角形，则∠AA1D＝60°．
因为，且向量与的夹角是120°，所以与的夹角是120°，所以C不正确；
因为，
所以|，|，
·＝()·()＝36，
所以cos＜，所以D不正确．故选AB．
6．答案　a
解析　设＝a，＝b，＝c，则{a，b，c}是空间的一个基底，∴|a|＝|b|＝|c|＝a，a·b＝a·c＝b·c＝a2．
∵c，
∴·a·b－a·c＝a2，|a，
∴cos＜．
7．答案　
解析　设该立方体的棱长为a，取{}为空间向量的一个基底，
其中＜≥90°，＜≥90°，＜≥90°．
∵，
设BF与B1E所成角为θ，
则cos
θ＝|cos＜
＝
＝，
∴BF与B1E所成角的余弦值为．