1.1.1空间向量及其线性运算 同步练习 2021-2022学年高二上学期人教A版（2019）选择性必修第一册（Word含答案解析）

第一章　空间向量与立体几何
1.1　空间向量及其运算
1.1.1　空间向量及其线性运算
刷新题
夯基础
题组一　空间向量的基本概念
1.下列关于空间向量的命题中,正确命题的个数是
(　　)
①在同一条直线上的单位向量都相等;②只有零向量的模等于0;③在正方体ABCD-A1B1C1D1中,与是相等向量;④在空间四边形ABCD中,与是相反向量;⑤在三棱柱ABC-A1B1C1中,与的模一定相等的向量一共有3个.
A.2
B.3
C.4
D.5
2.下列说法正确的是
(　　)
A.任一空间向量与它的相反向量都不相等
B.将空间中所有的单位向量平移到同一起点,则它们的终点构成一个圆
C.同平面向量一样,任意两个空间向量都不能比较大小
D.不相等的两个空间向量的模必不相等
3.如图所示,在四棱柱的上底面ABCD中,=,则下列向量相等的是
(　　)
A.与
B.与
C.与
D.与
题组二　空间向量的加法与减法运算
4.(2020北京第八中学高二上期中)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,下列各式的运算结果为向量的是
(　　)
①--;②+-;
③-+;④-+.
A.①②
B.②③
C.③④
D.①④
5.已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,AC1的中点为O,则选项中为正确命题的是
(　　)
A.+
与+
是一对相等向量
B.-
与-
是一对相反向量
C.-
与-
是一对相等向量
D.(+++(+++)是一对相反向量
6.已知四边形ABCD,O为空间任意一点,且+=+,则四边形ABCD是
(　　)
A.空间四边形
B.平行四边形
C.等腰梯形
D.矩形
7.(2020北京陈经纶中学高二上期中)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,设AD=AA1=1,AB=2,则|-|=　　　　.?
8.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,若=a,=b,=c,则=　　　　.(用a,b,c表示)?
题组三　空间向量的数乘运算
9.(2021山东泰安一中等六校阶段性联考)如图,在三棱锥O-ABC中,设=a,=b,=c,若=,=2,则=
(深度解析)
A.c
C.c
10.(2020山东德州高二上期末)如图,平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AC与BD的交点为M,设=a,=b,=c,则选项中与向量
相等的是
(　　)
A.-b+c
C.b-c
11.(原创)光岳楼,亦称“余木楼”“鼓楼”“东昌楼”,位于山东省聊城市,始建于公元1374年,在《中国名楼》站台票纪念册中,光岳楼与鹳雀楼、黄鹤楼、岳阳楼、太白楼、滕王阁、蓬莱阁、镇江楼、甲秀楼、大观楼共同组成中国十大名楼.其墩台为砖石砌成的正四棱台,直观图如图所示,其上缘边长与底边边长之比约为,则+=　　　　.?
12.如图,O是△ABC所在平面外一点,M为BC的中点,若=λ与同时成立,则实数λ的值为　　　　.?
题组四　空间向量共线、共面问题
13.已知向量a,b,且=a+2b,=-5a+6b,=7a-2b,则一定共线的三点是
(　　)
A.A,B,D
B.A,B,C
C.B,C,D
D.A,C,D
14.(2020广东广州二中高二月考)已知空间任一点O和不共线的三点A,B,C,下列能得到P,A,B,C四点共面的是
(　　)
A.=++
B.
C.=-
D.以上都不对
15.(2021人大附中高二上阶段性检测)在四面体ABCD中,P在面ABC内,Q在面BCD内,且满足=x+y,=s+t+u,则下面表述中,线段AQ与DP的关系是
(　　)
A.AQ与DP所在直线是异面直线
B.AQ与DP所在直线平行
C.线段AQ与DP必相交
D.线段AQ与DP延长后相交
16.已知i,j,k是不共面向量,a=2i-j+3k,b=-i+4j-2k,c=7i+5j+λk,若a,b,c三个向量共面,则实数λ等于　　　　.?
17.如图,四边形ABCD,四边形ADEF均是平行四边形,点M,N分别在对角线BD,AE上,且BM=AE.求证:向量,,共面.
18.如图所示,平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别在B1B和D1D上,且BE=B1B，DF=DD1.
(1)求证:A、E、C1、F四点共面;
(2)若=x+y+z,求x+y+z的值.
答案
刷新题
夯基础
1.A　①错误,在同一条直线上的单位向量,方向可能相同,也可能相反,故它们不一定相等;
②正确,零向量的模等于0,模等于0的向量只有零向量;
③正确,与的模相等,方向相同;
④错误,空间四边形ABCD中,与的模不一定相等,方向也一定不相反;
⑤错误,在三棱柱ABC-A1B1C1中,与的模一定相等的向量是,,,,,共5个.
故选A.
2.C　对于A,零向量与它的相反向量相等,故说法错误;对于B,将空间中所有的单位向量平移到同一起点,则它们的终点构成一个球面,故说法错误;对于C,空间向量与平面向量一样,既有模又有方向,不能比较大小,故说法正确;对于D,一个非零向量的空间向量与它的相反向量不相等,但它们的模相等,故说法错误.故选C.
3.D　因为=,所以四边形ABCD是平行四边形,结合平行四边形的性质及相等向量的定义知,=,=,=,故选D.
4.C　--=-=,①错;
+-=+-=+=,②错;
-+=+=,③对;
-+=-+=,④对.故选C.
5.D　对于A,取AD、B1C1的中点M、N,则+=2,+=2,两者是一对相反向量;
对于B,-=
,-=,两者是一对相等向量;
对于C,-=
,-=
,两者是一对相反向量;
对于D,设四边形ABCD、四边形A1B1C1D1的中心分别为P、Q,分别取AB、CD的中点E、F,A1B1、C1D1的中点G、H,则(+++)=+=2(+++)=+=2,
两者是一对相反向量.
故选D.
6.B　由已知可得=,由相等向量的定义可知,四边形ABCD的一组对边平行且相等,所以四边形ABCD是平行四边形,无法判断其是不是矩形.故选B.
7.答案　
解析　|-|=|-|=||=|.
8.答案　b-a-c
解析　如图,连接CA1,=-=--=b-a-c.
9.A　连接OM,ON,=-(+)-(+(+)-(+)-(-c.故选A.
小题巧解　本题还可应用如下结论:如图,在△ABC中,D为BC上一点,若,则,
解法为:=-(+c.
10.B　∵=+,
,=+,
∴(+)++b+c.
故选B.
11.答案　
解析　如图,
延长EA、FB、GC、HD相交于一点O,则,
∴+====+=.
12.答案　
解析　连接OM.∵×2,
∴G为AM的中点,∴.
又=λ,
∴λ=.
13.A　因为+==2a+4b=2(a+2b)=2,所以A,B,D三点共线.
14.B　若点P,A,B,C共面,设=x+y+z,则x+y+z=1,满足条件的只有B,故选B.
15.C　若x=s=0,则=y,=t+u,所以+u,所以A,P,D,Q四点共面;若x≠0,s≠0,则由=m,则=m+u,故A,P,D,Q四点共面,又AQ与DP不平行,所以AQ与DP必相交.故选C.
16.答案　
解析　若向量a,b,c共面,则存在x,y∈R,使得a=xb+yc,
∴2i-j+3k=x(-i+4j-2k)+y(7i+5j+λk),
∴
解得λ=.
17.证明　由题图知,=-(+,
所以向量,,共面.
18.解析　(1)证明:
=++=+=+
=(+)+(+)=+,
∴A、E、C1、F四点共面.
(2)∵=-=+-(+)
=-
=-+,
∴x=-1,y=1,z=.