第一章 导数及其应用单元测试卷-2020-2021学年高中数学人教A版选修2-2（含答案）

高中数学选修2-2《函数与导数》
第一单元测试卷A卷
一．单项选择题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
（1）已知函数，则（
）
A．
B．e
C．
D．1
（2）已知函数是奇函数，当时，，则曲线在处的切线方程为（
）
A．
B．
C．
D．
（3）已知函数在处取得极大值，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
（4）已知函数在内有极小值，则b的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
（5）在函数的图象上任意一点处的切线为，若总存在函数的图象上一点，使得在该点处的切线满足，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
（6）已知函数，若，都有恒成立，则实数的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
二．多项选择题：本大题共2小题，每小题4分，共8分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．
(7)函数，下列结论正确的是?
?
?
?
A．时，有两个零点
B．时，的极小值点为
C．时，恒成立
D．若只有一个零点，则
(8)已知，则下列说法正确的是(?
?
?
?
)
A．的零点个数为
B．的极值点个数为
C．轴为曲线的切线
D．若，则
填空题：本大题共4题，每小题4分，共16分．
（9）函数在点处的切线方程为，则______，______.
（10）已知a≥0，若函数f(x)＝在[－1,1]上的最大值为2，则实数a的值为______．
（11）已知函数的最小值为，则的值为：
.
（12）已知直线y＝a分别与直线，曲线交于点A，B，则线段AB长度的最小值为______．
四、解答题：本大题共3小题，共52分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
（13）（本小题满分16分）
已知函数，.
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）若对任意，都有成立，求实数的取值范围.
(14)（本小题满分18分）
设函数，其中e为自然对数的底数．
（Ⅰ）若曲线在y轴上的截距为，且在点处的切线垂直于，求实数a，b的值；
（Ⅱ）记的导函数为，求在区间上的最小值．
（15）（本小题满分18分）
已知函数，，且曲线与在处有相同的切线.
（Ⅰ）求实数的值；
（Ⅱ）求证：在上恒成立；
（Ⅲ）当时，求方程在区间内实根的个数.
高中数学选修2-2《函数与导数》单元过关
平行性测试卷A卷参考答案
一．单项选择题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
（1）已知函数，则（
）
A．
B．e
C．
D．1
【答案】C
【解析】由题得，
所以，故选C.
（2）已知函数是奇函数，当时，，则曲线在处的切线方程为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】∵函数是奇函数，且当时，，
令，则，∴，
又∵，∴当，
∴
，则，
而，∴切点为，
∴切线方程为，故选D.
（3）已知函数在处取得极大值，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】当时,
,
由,得,由,得，
∴在上递减,在上递增,
∴在处有极小值,即不合题意，排除;
当时,
得，
得,
∴有最大值，
∴,∴在上递减,在处无极值,排除,故选D.
（4）已知函数在内有极小值，则b的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】的导数为，
∵函数在内有极小值，
∴在内有零点，则，即，且，
，实数的取值范围是，故选B.
（5）在函数的图象上任意一点处的切线为，若总存在函数的图象上一点，使得在该点处的切线满足，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
，故选D.
（6）已知函数，若，都有恒成立，则实数的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】若，都有恒成立，则.
令
得
当时，，单调递减；当时，，单调递增.
.
又
故实数的取值范围为.
故选C
二．多项选择题：本大题共2小题，每小题4分，共8分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．
(7)
【答案】A,B,D
【解析】解：，当时，，其定义域为，
则.
令，得．
当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以.
又，，
所以在定义域内有两个零点，故正确；
，由上面的推导过程可知，
当时，的极小值点为，故正确；
，当时，，故错误；
，若只有一个零点，则方程只有一个根，
即方程只有一个根．
令，，
则函数的图象与直线只有一个交点．
?．
令，得．
当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
因为当时，；当时，，
所以函数的图象与直线只有一个交点时，
，即，故正确．
故选．
(8)【答案】B,C
【解析】解：由题意得：，
令，即，
解得：，，.
令，，
画出，图象如下：
由图象可得：
当或时，，
即函数在区间，上为增函数；
当或时，，
即函数在区间，上为减函数.
又，，，
所以函数有两个零点分别为，，故选项错误；
函数在，处取极大值，在处取极小值，
故函数有个极值点，故选项正确；
由于，且，
则函数在处的切线方程为：，
即轴为曲线的切线，故选项正确；
若时，易知存在成立，
显然，故选项错误.
故选.
填空题：本大题共4题，每小题4分，共16分．
（9）函数在点处的切线方程为，则______，______.
【答案】2
1
【解析】
在点处的切线方程为
,
即,
,
（10）已知a≥0，若函数f(x)＝在[－1,1]上的最大值为2，则实数a的值为______．
【答案】1
【解析】求导数可得，f′(x)＝，
令f′(x)＝0，可得x＝－1或x＝a，
∴f(－1)＝0，f(a)＝1＋，f(1)＝，
若1＋＝2，则有a＝1；若＝2，则也有a＝1，
综上a＝1.
（11）已知函数的最小值为，则的值为：
.
【答案】
1
【解析】的定义域为，且
若，则，于是在上单调递增，故无最小值，不合题意．
若，则
当时，
在上单调递减；
当时，
在上单调递增．
当时，取得最小值．
由已知得，解得.
综上，
（12）已知直线y＝a分别与直线，曲线交于点A，B，则线段AB长度的最小值为______．
【答案】
【解析】，设与平行的的切线的点为，
则切线斜率为，∴切线方程为，，
则与，
被直线与切线截得的线段长，就是被直线和曲线截得线段
的最小值，
因为取任何值时，被两平行线截得的线段长相等，所以令，可得，线段
的最小值，故答案为.
四、解答题：本大题共3小题，共52分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
（13）（本小题满分16分）
已知函数，.
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）若对任意，都有成立，求实数的取值范围.
【解析】（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），
又，
当a≤0时，在（0，+∞）上，f′（x）＜0，f（x）是减函数，
当a＞0时，由f′（x）=0得：或（舍），
∴当时，f′（x）＜0，f（x）是减函数，
当时，f′（x）＞0，f（x）是增函数.
（Ⅱ）对任意x＞0，都有f（x）＞0成立，即：在（0，+∞）上f（x）min＞0，
由（1）知：当a≤0时，在（0，+∞）上f（x）是减函数，
又f（1）=2a﹣2＜0，不合题意；
当a＞0时，当时，f（x）取得极小值也是最小值，
∴，
令（a＞0），则，
在（0，+∞）上，u′（a）＞0，∴u（a）要（0，+∞）上是增函数，又u（1）=0，
要使得f（x）min≥0，即u（a）≥0，即a≥1，
∴a的取值范围为[1，+∞）.
(14)（本小题满分18分）
设函数，其中e为自然对数的底数．
（Ⅰ）若曲线在y轴上的截距为，且在点处的切线垂直于，求实数a，b的值；
（Ⅱ）记的导函数为，求在区间上的最小值．
【解析】（Ⅰ）曲线在y轴上的截距为，则过点，
代入，
则，则，求导，
由，即，则，
实数a，b的值分别为1，；
Ⅱ，，，
当时，，，恒成立，
即，在上单调递增，
．
当时，，，恒成立，
即，在上单调递减，
.
当时，，得，
在上单调递减，在上单调递增，
所以，
.
（15）（本小题满分18分）
已知函数，，且曲线与在处有相同的切线.
（Ⅰ）求实数的值；
（Ⅱ）求证：在上恒成立；
（Ⅲ）当时，求方程在区间内实根的个数.
【解析】（Ⅰ）∵，，，∴.
∵，，∴，.
∵，即，∴.
（Ⅱ）证明：设，
.
令，则有.
当变化时，的变化情况如下表：
∴，即在上恒成立.
（Ⅲ）设，其中，
.
令，则有.
当变化时，的变化情况如下表：
∴
.
，
设，其中，则，
∴在内单调递减，，
∴，故，而.
结合函数的图象，可知在区间内有两个零点，
∴方程在区间内实根的个数为2.