第三章 二次函数单元测试题（含答案）
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《第三章
二次函数》单元测试题
（时间：60分钟
满分：100分）
一、选择题（每小题3分，共24分）
1.函数的自变量的取值范围是（
）
A.x≥-1
B.x≥-1且x≠0
C.x＞0
D.x＞-1且x≠0
2.给出下列函数：①y＝-3x＋2；②y＝，③y＝2x2；④y＝3x，上述函数中符合条件“当x＞1时，函数值y随自变量x增大而增大”的是（
）
A.①③
B.③④
C.②④
D.②③
3.抛物线y＝2（x＋3）2＋4的顶点坐标是（
）
A.（3，4）
B.（-3，4）
C.（3，-4）
D.（2，4）
4.在平面直角坐标系中，抛物线y＝（x＋5）（x-3）经变换后得到抛物线y＝（x＋3）（x-5），则这个变换可以是（
）
A.向左平移2个单位
B.向右平移2个单位
C.向左平移8个单位
D.向右平移8个单位
5.若函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图所示，则函数y＝ax＋b和y＝在同一平面直角坐标系中的图象大致是（
）
6.竖直上抛物体离地面的高度h（m）与运动时间t（s）之间的关系可以近似地用公式h＝-5t2＋v0t＋h0.表示，其中h0（m）是物体抛出时离地面的高度，v0（m/s）是物体抛出时的速度.某人将一个小球从距地面1.5
m的高处以20
m/s的速度竖直向上抛出，小球达到的离地面的最大高度为（
）
A.23.5
m
B.22.5
m
C.21.5
m
D.20.5
m
7.如图所示，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交于A（-1，0），B（3，0）两点，与y轴的正半轴交于点C，顶点为D，则下列结论：①2a＋b＝0；②2c＜3b；③当△ABC是等腰三角形时，a的值有2个；④当△BCD是直角三角形时，a＝.其中正确的有（
）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
8.边长都为4的正方形ABCD和正三角形EFG如图放置，AB与EF在一条直线上，点A与点F重合.现将△EFG沿AB方向以每秒1个单位的速度匀速运动，当点F与B重合时停止.在这个运动过程中，正方形ABCD和△EFG重叠部分的面积S与运动时间t的函数图象大致是（
）
二、填空题（每小题4分，共24分）
9.下列y关于x的函数：①y＝；②y＝-3x2＋5；③y＝（x-2）2-x2；④y＝x3-3x；⑤；⑥y＝（k2＋1）x2-5.其中是二次函数的有____________.（只填序号）
10.二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分对应值如下表：
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
y
12
5
0
-3
-4
-3
0
5
12
利用二次函数的图象可知，当函数值y＞0时，x的取值范围是____________.
11.如图所示，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2＋bx（a＞0）的顶点为C，与x轴的正半轴交于点A，它的对称轴与抛物线y＝ax2（a＞0）交于点B.若四边形ABOC是正方形，则b的值是__________.
12.若抛物线y＝-2（x-h）2＋k（h，k为常数）与直线y＝3交于A，B两点，A在B的左侧，AB＝4，则k的值为__________.
13.飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）关于滑行时间t（单位：s）的函数解析式是y＝60t-t2，在飞机着陆滑行中，最后2s滑行的距离是_________m.
14.如图所示，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴交于点A，B，顶点为C，对称轴为直线x＝1，给出下列结论：①abc＜0；②若点C的坐标为（1，2），则△ABC的面积可以等于2；③M（x1，y1），N（x2，y2）是抛物线上两点（x1＜x2），若x1＋x2＞2，则y1＜y2；④若抛物线经过点（3，-1），则方程ax2＋bx＋c＋1＝0的两根为-1，3.其中正确结论的序号为_____________.
三、解答题（共52分）
15.（6分）如图所示，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过点A（-1，0），B（3，0）和点C（4，5）.
（1）求该二次函数的表达式及最小值；
（2）点P（m，n）是该二次函数图象上一点.
①当m＝-4时，求n的值；
②已知点P到y轴的距离不大于4，请根据图象直接写出n的取值范围.
16.（8分）如图①，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A（0，3），B（3，0），C（4，3）.
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）求抛物线的顶点坐标和对称轴；
（3）把抛物线向上平移，使得顶点落在x轴上，直接写出两条抛物线、对称轴和y轴围成的图形的面积（图②中阴影部分）.
17.（8分）某商场以10元/件的价格购进某款智能玩具，销售单价为x（元），在销售过程中发现：当14≤x≤20时，该智能玩具的日销售量y（件）与销售单价x之间存在一次函数关系，x，y之间的部分数值对应关系如下表：
销售单价x（元）
14
20
日销售量y（件）
32
20
（1）请写出当14≤x≤20时，y与x之间的函数关系式；
（2）该智能玩具的销售单价x（元）定为多少时，日销售利润最大？最大利润是多少？
18.（8分）如图所示，已知二次函数y＝-x2＋（a＋1）x-a的图象与x轴交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C，已知△BAC的面积是6.
（1）求a的值；
（2）在抛物线上是否存在一点P？使S△ABP＝S△ABC.若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
19.（10分）如图①，游乐园要建造一个直径为20
m的圆形喷水池，计划在喷水池周边安装一圈喷水头.如图②，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立平面直角坐标系，根据下表记录的水柱的高度y（m）与水柱距离喷水池中心的水平距离x（m）之间的关系画出部分图象.
水柱距离喷水池中心的水平距离x（m）
…
0
2
5
8
10
…
水柱的高度y（m）
…
4
6.4
7
4
0
…
（1）位于第二象限的抛物线与第一象限的抛物线关于y轴对称，请你在所给的平面直角坐标系第二象限画出它的图象；
（2）该种喷水头喷水的最大高度是多少？
（3）为了形成不同高度的喷水景观，在地面上安装了另一种喷水头，它的位置在直角坐标系中可用（d，0）表示，喷水水柱形状与的形状相同，喷出的水柱最大高度为6.25
m，水柱下落时也过点（0，4）。求该种喷水头安装的位置（只在x轴正半轴上）.
20.（12分）如图所示，已知抛物线经过两点A（-3，0），B（0，3），且其对称轴为直线x＝-1.
（1）求此抛物线的解析式：
（2）若点P是抛物线上点A与点B之间的动点（不包括点A，点B），求△PAB的面积的最大值，并求出此时点P的坐标.
参考答案
一、选择题
1.B
2.B
3.B
4.B
5.B
6.C
7.B
8.C
二、填空题
9.②⑥
10.x＜-1或x＞3
11.-2
12.11
13.6
14.①④
三、解答题
15.解析
（1）将点A（-1，0），B（3，0）和点C（4，5）代入y＝ax2＋bx＋c，
得，解得，∴二次函数的表达式为y＝x2-2x-3.
化为顶点式得y＝（x-1）2-4，
∴当x＝1时，y取得最小值，此时y＝-4.
（2）①当m＝-4时，n＝16＋8-3＝21.
②∵y＝x2-2x-3＝（x-1）2-4，∴抛物线经过点（4，5），（-4，21），∴-4≤n≤21.
16.解析
（1）将点A（0，3），B（3，0），C（4，3）分别代入函数表达式，
得，解得.∴抛物线的函数表达式为y＝x2-4x＋3.
（2）∵y＝x2-4x＋3＝（x-2）2-1，
∴抛物线的顶点坐标为（2，-1），对称轴为直线x＝2.
（3）阴影部分的面积为2。
17.解析
（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b（k≠0），根据题意，
得，解得.∴y与x之间的函数关系式为y＝-2x＋60（14≤x≤20）.
（2）设该智能玩具的日销售利润为w元，根据题意，
得w＝（-2x＋60）（x-10）＝-2x2＋80x-600＝-2（x-20）2＋200（14≤x≤20）.
∴当x＝20时，w取得最大值，此时w＝200.
∴该智能玩具的销售单价定为20元时，日销售利润最大，最大利润是200元.
18.解析
（1）令y＝-x2＋（a＋1）x-a＝0，即-x2＋（a＋1）x-a＝0，
解得x1＝a，x2＝1.
由题图知a＜0，∴A的坐标为（a，0），B的坐标为（1，0）.
∵S△ABC＝6，∴（1-a）（-a）-6.解得a＝-3或a＝4（舍去）.
（2）∵a＝-3，∴点C的坐标为（0，3）.
∵S△ABP＝S△ABC，∴P点的纵坐标为±3.
把y＝3代入y＝-x2-2x＋3，得-x2-2x＋3＝3.解得x＝0（舍去）或x＝-2.
把y＝-3代入y＝-x2-2x＋3，得-x2-2x＋3＝-3.解得x＝-1＋或x＝-1-。
∴P点的坐标为（-2，3）或（-1＋，-3）或（-1-，-3）.
19.解析
（1）如图即为所求作的图象.
（2）由题意可知抛物线的对称轴为直线x＝4，与x轴的一个交点坐标为（10，0），则与x轴的另一个交点的坐标为（-2，0）.
设抛物线的表达式是y＝a（x＋2）（x-10），把（0，4）代人，得4＝a（0＋2）（0-10），解得a＝-.
∴y＝-（x＋2）（x-10）＝-（x-4）2＋7.2，∴该种喷水头喷水的最大高度是7.2m.
（3）喷水水柱形状与y＝-x2的形状相同，且下落时也过点（0，4），
∴设第一象限抛物线的表达式是y＝-x2＋bx＋4（b＞0）.
∵喷出的水柱最大高度为6.25m，
∴＝6.25，解得b1＝,b2＝-（舍去）.
∴y＝，令y＝0，得＝0，解得x1＝8，x2＝-2（舍去）.
∴该种喷水头安装的位置是（8，0）.
20.解析
（1）抛物线的对称轴是直线x＝-1，且经过点4（-3，0），
∴由抛物线的对称性可知抛物线经过点（1，0）.
设抛物线的解析式为y＝a（x-x1）（x-x2）（a≠0），即y＝a（x-1）（x＋3）.
把B（0，3）代入，得3＝-3a，∴a＝-1.∴抛物线的解析式为y＝-x2-2x＋3.
（2）设直线AB的解析式为y＝kx＋b（k≠0），将A（-3，0），B（0，3）分别代入，得，解得.∴直线AB的解析式为y＝x＋3.
作PQ⊥x轴于点Q，交直线AB于点M，设P（x，-x2-2x＋3），则M（x，x＋3），
∴PM＝-x2-2x＋3-（x＋3）＝-x2-3x，
∴S＝（-x2-3x）×3＝.
当x＝-时，S最大值＝，此时，
∴△PAB的面积的最大值为，此时点P的坐标为.
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《第三章
二次函数》单元测试题
（时间：60分钟
满分：100分）
一、选择题（每小题3分，共24分）
1.函数的自变量的取值范围是（
）
A.x≥-1
B.x≥-1且x≠0
C.x＞0
D.x＞-1且x≠0
2.给出下列函数：①y＝-3x＋2；②y＝，③y＝2x2；④y＝3x，上述函数中符合条件“当x＞1时，函数值y随自变量x增大而增大”的是（
）
A.①③
B.③④
C.②④
D.②③
3.抛物线y＝2（x＋3）2＋4的顶点坐标是（
）
A.（3，4）
B.（-3，4）
C.（3，-4）
D.（2，4）
4.在平面直角坐标系中，抛物线y＝（x＋5）（x-3）经变换后得到抛物线y＝（x＋3）（x-5），则这个变换可以是（
）
A.向左平移2个单位
B.向右平移2个单位
C.向左平移8个单位
D.向右平移8个单位
5.若函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图所示，则函数y＝ax＋b和y＝在同一平面直角坐标系中的图象大致是（
）
6.竖直上抛物体离地面的高度h（m）与运动时间t（s）之间的关系可以近似地用公式h＝-5t2＋v0t＋h0.表示，其中h0（m）是物体抛出时离地面的高度，v0（m/s）是物体抛出时的速度.某人将一个小球从距地面1.5
m的高处以20
m/s的速度竖直向上抛出，小球达到的离地面的最大高度为（
）
A.23.5
m
B.22.5
m
C.21.5
m
D.20.5
m
7.如图所示，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交于A（-1，0），B（3，0）两点，与y轴的正半轴交于点C，顶点为D，则下列结论：①2a＋b＝0；②2c＜3b；③当△ABC是等腰三角形时，a的值有2个；④当△BCD是直角三角形时，a＝.其中正确的有（
）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
8.边长都为4的正方形ABCD和正三角形EFG如图放置，AB与EF在一条直线上，点A与点F重合.现将△EFG沿AB方向以每秒1个单位的速度匀速运动，当点F与B重合时停止.在这个运动过程中，正方形ABCD和△EFG重叠部分的面积S与运动时间t的函数图象大致是（
）
二、填空题（每小题4分，共24分）
9.下列y关于x的函数：①y＝；②y＝-3x2＋5；③y＝（x-2）2-x2；④y＝x3-3x；⑤；⑥y＝（k2＋1）x2-5.其中是二次函数的有____________.（只填序号）
10.二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分对应值如下表：
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
y
12
5
0
-3
-4
-3
0
5
12
利用二次函数的图象可知，当函数值y＞0时，x的取值范围是____________.
11.如图所示，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2＋bx（a＞0）的顶点为C，与x轴的正半轴交于点A，它的对称轴与抛物线y＝ax2（a＞0）交于点B.若四边形ABOC是正方形，则b的值是__________.
12.若抛物线y＝-2（x-h）2＋k（h，k为常数）与直线y＝3交于A，B两点，A在B的左侧，AB＝4，则k的值为__________.
13.飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）关于滑行时间t（单位：s）的函数解析式是y＝60t-t2，在飞机着陆滑行中，最后2s滑行的距离是_________m.
14.如图所示，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴交于点A，B，顶点为C，对称轴为直线x＝1，给出下列结论：①abc＜0；②若点C的坐标为（1，2），则△ABC的面积可以等于2；③M（x1，y1），N（x2，y2）是抛物线上两点（x1＜x2），若x1＋x2＞2，则y1＜y2；④若抛物线经过点（3，-1），则方程ax2＋bx＋c＋1＝0的两根为-1，3.其中正确结论的序号为_____________.
三、解答题（共52分）
15.（6分）如图所示，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过点A（-1，0），B（3，0）和点C（4，5）.
（1）求该二次函数的表达式及最小值；
（2）点P（m，n）是该二次函数图象上一点.
①当m＝-4时，求n的值；
②已知点P到y轴的距离不大于4，请根据图象直接写出n的取值范围.
16.（8分）如图①，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A（0，3），B（3，0），C（4，3）.
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）求抛物线的顶点坐标和对称轴；
（3）把抛物线向上平移，使得顶点落在x轴上，直接写出两条抛物线、对称轴和y轴围成的图形的面积（图②中阴影部分）.
17.（8分）某商场以10元/件的价格购进某款智能玩具，销售单价为x（元），在销售过程中发现：当14≤x≤20时，该智能玩具的日销售量y（件）与销售单价x之间存在一次函数关系，x，y之间的部分数值对应关系如下表：
销售单价x（元）
14
20
日销售量y（件）
32
20
（1）请写出当14≤x≤20时，y与x之间的函数关系式；
（2）该智能玩具的销售单价x（元）定为多少时，日销售利润最大？最大利润是多少？
18.（8分）如图所示，已知二次函数y＝-x2＋（a＋1）x-a的图象与x轴交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C，已知△BAC的面积是6.
（1）求a的值；
（2）在抛物线上是否存在一点P？使S△ABP＝S△ABC.若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
19.（10分）如图①，游乐园要建造一个直径为20
m的圆形喷水池，计划在喷水池周边安装一圈喷水头.如图②，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立平面直角坐标系，根据下表记录的水柱的高度y（m）与水柱距离喷水池中心的水平距离x（m）之间的关系画出部分图象.
水柱距离喷水池中心的水平距离x（m）
…
0
2
5
8
10
…
水柱的高度y（m）
…
4
6.4
7
4
0
…
（1）位于第二象限的抛物线与第一象限的抛物线关于y轴对称，请你在所给的平面直角坐标系第二象限画出它的图象；
（2）该种喷水头喷水的最大高度是多少？
（3）为了形成不同高度的喷水景观，在地面上安装了另一种喷水头，它的位置在直角坐标系中可用（d，0）表示，喷水水柱形状与的形状相同，喷出的水柱最大高度为6.25
m，水柱下落时也过点（0，4）。求该种喷水头安装的位置（只在x轴正半轴上）.
20.（12分）如图所示，已知抛物线经过两点A（-3，0），B（0，3），且其对称轴为直线x＝-1.
（1）求此抛物线的解析式：
（2）若点P是抛物线上点A与点B之间的动点（不包括点A，点B），求△PAB的面积的最大值，并求出此时点P的坐标.
参考答案
一、选择题
1.B
2.B
3.B
4.B
5.B
6.C
7.B
8.C
二、填空题
9.②⑥
10.x＜-1或x＞3
11.-2
12.11
13.6
14.①④
三、解答题
15.解析
（1）将点A（-1，0），B（3，0）和点C（4，5）代入y＝ax2＋bx＋c，
得，解得，∴二次函数的表达式为y＝x2-2x-3.
化为顶点式得y＝（x-1）2-4，
∴当x＝1时，y取得最小值，此时y＝-4.
（2）①当m＝-4时，n＝16＋8-3＝21.
②∵y＝x2-2x-3＝（x-1）2-4，∴抛物线经过点（4，5），（-4，21），∴-4≤n≤21.
16.解析
（1）将点A（0，3），B（3，0），C（4，3）分别代入函数表达式，
得，解得.∴抛物线的函数表达式为y＝x2-4x＋3.
（2）∵y＝x2-4x＋3＝（x-2）2-1，
∴抛物线的顶点坐标为（2，-1），对称轴为直线x＝2.
（3）阴影部分的面积为2。
17.解析
（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b（k≠0），根据题意，
得，解得.∴y与x之间的函数关系式为y＝-2x＋60（14≤x≤20）.
（2）设该智能玩具的日销售利润为w元，根据题意，
得w＝（-2x＋60）（x-10）＝-2x2＋80x-600＝-2（x-20）2＋200（14≤x≤20）.
∴当x＝20时，w取得最大值，此时w＝200.
∴该智能玩具的销售单价定为20元时，日销售利润最大，最大利润是200元.
18.解析
（1）令y＝-x2＋（a＋1）x-a＝0，即-x2＋（a＋1）x-a＝0，
解得x1＝a，x2＝1.
由题图知a＜0，∴A的坐标为（a，0），B的坐标为（1，0）.
∵S△ABC＝6，∴（1-a）（-a）-6.解得a＝-3或a＝4（舍去）.
（2）∵a＝-3，∴点C的坐标为（0，3）.
∵S△ABP＝S△ABC，∴P点的纵坐标为±3.
把y＝3代入y＝-x2-2x＋3，得-x2-2x＋3＝3.解得x＝0（舍去）或x＝-2.
把y＝-3代入y＝-x2-2x＋3，得-x2-2x＋3＝-3.解得x＝-1＋或x＝-1-。
∴P点的坐标为（-2，3）或（-1＋，-3）或（-1-，-3）.
19.解析
（1）如图即为所求作的图象.
（2）由题意可知抛物线的对称轴为直线x＝4，与x轴的一个交点坐标为（10，0），则与x轴的另一个交点的坐标为（-2，0）.
设抛物线的表达式是y＝a（x＋2）（x-10），把（0，4）代人，得4＝a（0＋2）（0-10），解得a＝-.
∴y＝-（x＋2）（x-10）＝-（x-4）2＋7.2，∴该种喷水头喷水的最大高度是7.2m.
（3）喷水水柱形状与y＝-x2的形状相同，且下落时也过点（0，4），
∴设第一象限抛物线的表达式是y＝-x2＋bx＋4（b＞0）.
∵喷出的水柱最大高度为6.25m，
∴＝6.25，解得b1＝,b2＝-（舍去）.
∴y＝，令y＝0，得＝0，解得x1＝8，x2＝-2（舍去）.
∴该种喷水头安装的位置是（8，0）.
20.解析
（1）抛物线的对称轴是直线x＝-1，且经过点4（-3，0），
∴由抛物线的对称性可知抛物线经过点（1，0）.
设抛物线的解析式为y＝a（x-x1）（x-x2）（a≠0），即y＝a（x-1）（x＋3）.
把B（0，3）代入，得3＝-3a，∴a＝-1.∴抛物线的解析式为y＝-x2-2x＋3.
（2）设直线AB的解析式为y＝kx＋b（k≠0），将A（-3，0），B（0，3）分别代入，得，解得.∴直线AB的解析式为y＝x＋3.
作PQ⊥x轴于点Q，交直线AB于点M，设P（x，-x2-2x＋3），则M（x，x＋3），
∴PM＝-x2-2x＋3-（x＋3）＝-x2-3x，
∴S＝（-x2-3x）×3＝.
当x＝-时，S最大值＝，此时，
∴△PAB的面积的最大值为，此时点P的坐标为.
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