河北省张家口市部分高中2020-2021学年高二上学期期中考试数学试题（普实班）（Word版含答案）

张家口市部分高中2020-2021学年高二上学期期中考试（普实）
数
学
试
题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．下列各式正确的是(　　)
A．(sin
a)′＝cos
a(a为常数)
B．(cos
x)′＝sin
x
C．(sin
x)′＝cos
x
D．(x－5)′＝－x－6
2.
已知向量a，b是平面α内的两个不相等的非零向量，非零向量c在直线l上，则“c·a＝0，且c·b＝0”是l⊥α的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
3.
函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是(　　)
A．(－∞，2)
B．(0,3)
C．(1,4)
D．(2，＋∞)
4.
若函数f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋a在区间[－2，－1]上的最大值为2，则它在该区间上的最小值为(　　)
A．－5
B．7
C．10
D．－19
5.长方体ABCD?A1B1C1D1中，AB＝2，AD＝AA1＝1，则二面角C1?AB?C为(　　)
A.
B.
C.
D.
6．已知函数f(x)＝x2＋2x＋alnx，若函数f(x)在(0,1)上单调，则实数a的取值范围是(　　)
A．a≥0
B．a<－4
C．a≥0或a≤－4
D．a>0或a<－4
7.
如图所示，在长方体ABCD?A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则BC1与平面BB1D1D所成的角的正弦值为(　　)
A.
B.
C.
D.
8．曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离为(　　)
A.
B．2
C．3
D．2
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.
9.
已知m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，给出下列四个命题：其中真命题是(
)
A．若α⊥β，m
//
α，则m⊥β；
B.
若m⊥α，n⊥β，且m⊥n，则α⊥β；
C.
若m⊥β，m
//
α，则α⊥β；
D.
若m
//
α，n
//
β，且m
//
n，则α
//
β.
10.
若函数与图象恰有一个公共点，则实数a可能取值为???
A.
2
B.
0
C.
1
D.
11.
如图，在正方体中，点E是棱上的一个动点，给出以下结论，其中正确的有???
A.
AD与所成的角为
B.
平面
C.
平面平面
D.
对于任意的点E，四棱锥的体积均不变
12.
已知函数的定义域为，导函数为，若，且???????，则
A.
B.
在处取得极大值
C.
D.
在单调递增
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13．直线y＝a与函数f(x)＝x3－3x的图象有三个相异的公共点，则a的取值范围是__________．
14.△ABC的三个顶点坐标分别为A(0,0，)，B，C(－1,0,
)，则角A的大小为________.
15．若曲线y＝e－x上点P处的切线平行于直线2x＋y＋1＝0，则点P的坐标是________．
16.如图，在四棱锥S?ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，S到A，B，C，D的距离都等于2，给出以下结论：
①＋＋＋＝；
②＋－－＝；
③－＋－＝；
④·＝·；
⑤·＝0，
其中正确结论的序号是________.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17.
(本小题满分10分)如图所示，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝1，AA1＝，求异面直线BA1与AC所成角的余弦值.
18．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝aln(x＋1)＋x2－ax＋1(a>0)．
(1)求函数y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；
(2)当a>1时，求函数y＝f(x)的单调区间和极值．
19.
(本小题满分12分)如图所示，在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝2，AB＝1，BM⊥PD于点M.
(1)求证：AM⊥PD；
(2)求直线CD与平面ACM所成的角的余弦值.
20．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x2－mln
x，h(x)＝x2－x＋a，
(1)当a＝0时，f(x)≥h(x)在(1，＋∞)上恒成立，求实数m的取值范围；
(2)当m＝2时，若函数k(x)＝f(x)－h(x)在区间[1,3]上恰有两个不同零点，求实数a的取值范围．
21.
(本小题满分12分)如图7，四棱锥P?ABCD的底面ABCD为一直角梯形，其中BA⊥AD，CD⊥AD，CD＝AD＝2AB，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点.
(1)求证：BE∥平面PAD；
(2)若BE⊥平面PCD，
①求异面直线PD与BC所成角的余弦值；
②求二面角E?BD?C的余弦值.
22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝＋，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为
x＋2y－3＝0.
(1)求a，b的值；
(2)求证：当x>0，且x≠1时，f(x)>.
张家口市部分高中2020-2021学年高二上学期期中考试（普实）
数学试题参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.C
2.
B
3.D
4.A
5.
D
6.C
7.
D
8.A
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.
9.
BC
10.BCD
11.
BCD
12.
ACD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13．
(－2,2)
14.
30°
15．
(－ln
2,2)
16.
③④
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17.
(本小题满分10分)
【解】　因为＝＋＝＋，＝－，
且·＝·＝·＝0，
所以·＝(＋)·(－)
＝·－2＋·－·＝－1.
又||＝，||＝＝，所以cos〈，〉＝＝＝－，
则异面直线BA1与AC所成角的余弦值为.
18．(本小题满分12分)
【解】　(1)f(0)＝1，f′(x)＝＋x－a＝，
f′(0)＝0，
所以函数y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝1.
(2)函数的定义域为(－1，＋∞)，令f′(x)＝0，即＝0.
解得x＝0或x＝a－1.
当a>1时，f(x)，f′(x)随x变化的变化情况为
x
(－1,0)
0
(0，a－1)
a－1
(a－1，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
单调递增↗
极大值
单调递减↘
极小值
单调递增↗
可知f(x)的单调减区间是(0，a－1)，单调增区间是(－1,0)和(a－1，＋∞)，极大值为f(0)＝1，极小值为f(a－1)＝aln
a－a2＋.
19.
(本小题满分12分)
【解】　(1)证明：∵PA⊥平面ABCD，AB?平面ABCD，∴PA⊥AB.
∵AB⊥AD，AD∩PA＝A，∴AB⊥平面PAD.
∵PD?平面PAD，∴AB⊥PD.
又∵BM⊥PD，AB∩BM＝B，∴PD⊥平面ABM.
∵AM?平面ABM，∴AM⊥PD.
(2)如图所示，以点A为坐标原点，建立空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)，P(0,0,2)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，D(0,2,0)，M(0,1,1)，
于是＝(1,2,0)，＝(0,1,1)，＝(－1,0,0).
设平面ACM的一个法向量为n＝(x，y，z)，
由n⊥，n⊥可得令z＝1，得x＝2，y＝－1，于是n＝(2，－1,1).
设直线CD与平面ACM所成的角为α，则sin
α＝＝，cos
α＝.
故直线CD与平面ACM所成的角的余弦值为.
20．(本小题满分12分)
【解】　(1)由f(x)≥h(x)在(1，＋∞)上恒成立，得m≤在(1，＋∞)上恒成立，
令g(x)＝，则g′(x)＝，故g′(e)＝0，
当x∈(1，e)时，g′(x)<0；x∈(e，＋∞)时，g′(x)>0.
故g(x)在(1，e)上单调递减，在(e，＋∞)上单调递增，
故当x＝e时，g(x)的最小值为g(e)＝e.
所以m≤e.
(2)由已知可知k(x)＝x－2ln
x－a，函数k(x)在[1,3]上恰有两个不同零点，相当于函数φ(x)＝x－2ln
x与直线y＝a有两个不同的交点，
φ′(x)＝1－＝，故φ′(2)＝0，
所以当x∈[1,2)时，φ′(x)<0，所以φ(x)单调递减，当x∈(2,3]时，φ′(x)>0，所以φ(x)单调递增．
所以φ(1)＝1，φ(3)＝3－2ln
3，φ(2)＝2－2ln
2，且φ(1)>φ(3)>φ(2)>0，
所以2－2ln
23.
所以实数a的取值范围为(2－2ln
2,3－2ln
3]．
21.
(本小题满分12分)
【解】　设AB＝a，PA＝b，建立如图的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(a,0,0)，P(0,0，b)，C(2a,2a,0)，D(0,2a,0)，E.
(1)证明：＝，＝(0,2a,0)，＝(0,0，b)，
所以＝＋，因为BE?平面PAD，所以BE∥平面PAD.
(2)因为BE⊥平面PCD，所以BE⊥PC，即·＝0，＝(2a,2a，－b)，
所以·＝2a2－＝0，则b＝2a.
①＝(0,2a，－2a)，＝(a,2a,0)，cos〈，〉＝＝，所以异面直线PD与BC所成角的余弦值为.
②在平面BDE和平面BDC中，＝(0，a，a)，＝(－a，2a,0)，＝(a,2a,0)，所以平面BDE的一个法向量为n1＝(2,1，－1)；平面BDC的一个法向量为n2＝(0,0,1)；cos〈n1，n2〉＝，所以二面角E?BD?C的余弦值为.
22．(本小题满分12分)
【解】　(1)f′(x)＝－，由于直线x＋2y－3＝0的斜率为－，且过点(1,1)，
故即解得
(2)证明：由(1)知，f(x)＝＋，所以f(x)－＝.
设函数h(x)＝2ln
x－(x>0)，则h′(x)＝－＝－.
所以当x≠1时，h′(x)<0，而h(1)＝0，所以当x∈(0,1)时，h(x)>0，得f(x)>；
当x∈(1，＋∞)时，h(x)<0，得f(x)>.
故当x>0，且x≠1时，f(x)>.
5