河北省张家口市部分高中2020-2021学年高二上学期期中考试数学试题（衔接班）（Word版含答案）

张家口市部分高中2020-2021学年高二上学期期中考试
数学试卷（衔接）
单选题(每小题5分，共40分)
1．复数在复平面上对应的点位于（
）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
2．函数的图像在点处的切线方程为（
）
A．
B．
C．
D．
3．的展开式的常数项是（
）
A．
B．
C．
D．
4．某中学新学期的选修课即将开启选课，甲、乙、丙三人在足球、篮球、摄影、书法四门选修课中选择，学校规定每人限选一门课，若甲不选足球，乙不选篮球，则共有（
）种不同的结果．
A．36
B．27
C．24
D．18
5．函数的单调递减区间是（
）
A．
B．
C．
D．
6．周六晚上，小红和爸爸、妈妈、弟弟一起去看电影，订购的4张电影票恰好在同一排且连在一起，为安全起见，每个孩子至少有一侧有家长陪坐，则不同的坐法种数为（
）
A．8
B．12
C．16
D．20
7．设复数（i是虚数单位），则（
）
A．
B．
C．
D．0
8．已知定义在上函数的导函数为，，有，且.设，，，则（
）.
A．
B．
C．
D．
二、多选题（每小题5分，共20分）
9．已知复数，则（
）
A．
B．的虚部是
C．若，则，
D．
10．对于展开式的二项式系数下列结论正确的是（
）
A．
B．
C．当为偶数时，
D．
11．现有4个小球和4个小盒子，下面的结论正确的是（
）
A．若4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，则共有24种放法
B．若4个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有两个空盒的放法共有18种
C．若4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有一个空盒的放法共有144种
D．若编号为1，2，3，4的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，没有一个空盒但小球的编号和盒子的编号全不相同的放法共有9种
12．设函数，则下列说法正确的是（
）
A．定义域是
B．时，图象位于轴下方
C．存在单调递增区间
D．有且仅有一个极值点
三、填空题（每小题5分，共20分）
13．若复数满足，则复数的虚部为________
14．的展开式中，各项系数之和为1，则实数____________.（用数字填写答案）
15．2位女生3位男生排成一排，则2位女生不相邻的排法共有______种.
16．若是函数的极值点，则的极小值为
_________
．
三、解答题（17题10分，18-22每题12分）
17．在（）的展开式中所有二项式系数之和为256.
（1）求展开式中的常数项；
（2）求展开式中二项式系数最大的项.
18．用、、、、这五个数字组成无重复数字的自然数．
（1）在组成的三位数中，求所有偶数的个数；
（2）在组成的三位数中，如果十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小，则称这个数为“凹数”，如、等都是“凹数”，试求“凹数”的个数．
19．已知的一个极值点为2.
（1）求函数的单调区间；
（2）求函数在区间上的最值.
20．如图，，，均为正三角形，，中点为，将沿翻折，使得点折到点的位置．
（1）证明：平面；
（2）当时，求二面角的余弦值．
21．设椭圆的左焦点为，离心率为，为圆的圆心.
（1）求椭圆的方程；
（2）已知过椭圆右焦点的直线（斜率存在且不为0）交椭圆于，两点，过且与垂直的直线与圆交于，两点，求四边形面积的取值范围.
22．已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，判断函数零点的个数，并说明理由.
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共4页
◎
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共4页
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共2页
◎
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张家口市部分高中2020-2021学年高二上学期期中考试参考答案
C
2．A
3．D
4．A
5．D
6．C
7．D
8．D
9．CD
10．ABCD
11．BCD
12．BCD
13．1
14．-1
15．72
16．
17．（1）；（2）
解：（1）的展开式中所有二项式系数之和为，，
故展开式的通项公式为．
令，求得，故展开式中的常数项为．
（2）由于，故当时，二项式系数最大，
故二项式系数最大的项为．
18．（1）；（2）.
【详解】
（1）偶数分为二类：
若个位数，则共有个；
若个位数是或，则首位数不能为，则共有个；
所以，符合条件的三位偶数的个数为；
（2）“凹数”分三类：
若十位是，则有个；
若十位是，则有个；
若十位是，则有个；
所以，符合条件的“凹数”的个数为．
19．（1）函数的减区间为，增区间为，；（2）最小值是，最大值是13.
【详解】
（1），，
的一个极值点为2，
，解得.
，，
令，得或；
令，得；令，得或；
故函数的减区间为，增区间为，.
（2）由（1）知，，
当时，；当时，；
在上为增函数，在上为减函数，
是的极大值点，
又，，，
所以函数在上的最小值是，最大值是13.
20．（1）证明见解析；（2）.
【详解】
（1）证明：∵，，为正三角形，中点为，
∴，，，
∴平面，
∵，∴，∴平面．
（2）解：，
，∴．
∵，，∴，，两两垂直．
以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
则，，，．
设平面的法向量为，，，
，，令，得，．
设平面的法向量为，，，
，，令，得，
，
∵二面角为钝角，∴二面角的余弦值为，
21．（1）；（2）.
解：（1）由题意知，则，圆的标准方程为，
从而椭圆的左焦点为，即，
所以，又，得.
所以椭圆的方程为：.
（2）由已知可设的方程为，并设，.
由，得.
显然，且，.
所以.
过且与垂直的直线，则圆心到的距离为，
所以.
故四边形面积：.
因为，所以，所以，所以，所以
故四边形面积的取值范围为.
22．（1）答案见解析；（2）只有一个零点，理由见解析.
【详解】
（1）的定义域为，，
当时，，则在上是增函数；
当时，，
所以；
或；
，
所以在上是减函数，在和上是增函数.
（2）当时，，其定义域为，
则.
设()，则，从而在上是增函数，
又，，
所以存在，使得，即，.
列表如下：
1
0
0
增函数
极大值
减函数
极小值
增函数
由表格，可得的极小值为；
的极大值为
因为是关于的减函数，且，所以，
所以在内没有零点.又，，
所以在内有一个零点.
综上，只有一个零点.
答案第1页，总2页
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