2020-2021学年八年级数学青岛版下册《6.3特殊平行四边形—矩形》同步提升训练（word版、含解析）

青岛版2021年度八年级数学下册《6.3特殊平行四边形—矩形》同步提升训练（附答案）
一、选择题
1．如图，点P是Rt△ABC中斜边AC（不与A，C重合）上一动点，分别作PM⊥AB于点M，作PN⊥BC于点N，连接BP、MN，若AB＝6，BC＝8，当点P在斜边AC上运动时，则MN的最小值是（　　）
A．1.5
B．2
C．4.8
D．2.4
2．下列说法正确的是（　　）
A．矩形的对角线互相垂直且平分
B．矩形的邻边一定相等
C．对角线相等的四边形是矩形
D．有三个角为直角的四边形为矩形
3．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且OA＝OD，∠OAD＝55°，则∠OCD的度数为（　　）
A．35°
B．40°
C．45°
D．50°
4．如图，在矩形COED中，点D的坐标是（1，3），则CE的长是（　　）
A．3
B．
C．
D．4
5．如图，△ABC中，AC的中垂线交AC、AB于点D、F，BE⊥DF交DF延长线于点E，若∠A＝30°，BC＝2，AF＝BF，则四边形BCDE的面积是（　　）
A．2
B．2
C．3
D．3
6．如图，已知在四边形ABCD中，AB＝DC，AD＝BC，连接AC，BD，AC与BD交于点O，若AO＝BO，AD＝3，AB＝2，则四边形ABCD的面积为（　　）
A．4
B．5
C．6
D．7
二、填空题
7．如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，连接OE，设AC＝12，BD＝16，则OE的长为　
　．
8．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BA＝5，AC＝8，D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN长的最小值为　
　．
9．如图，在矩形ABCD中，AB＝4cm，AD＝12cm，点P从点A向点D以每秒1cm的速度运动，Q以每秒4cm的速度从点C出发，在B、C两点之间做往返运动，两点同时出发，点P到达点D为止（同时点Q也停止），这段时间内，当运动时间为　
　时，P、Q、C、D四点组成矩形．
10．如图，在矩形ABCD中，BC＝20cm，点P和点Q分别从点B和点D出发，按逆时针方向沿矩形ABCD的边运动，点P和点Q的速度分别为3cm/s和1cm/s，则最快　
　s后，四边ABPQ成为矩形．
11．下列命题：
①矩形的对角线互相平分且相等；②对角线相等的四边形是矩形；
③菱形的每一条对角线平分一组对角；④一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形．
其中正确的命题为　
　（注：把你认为正确的命题序号都填上）
12．如图，若将四根木条钉成的矩形木框变成?ABCD的形状，并使其面积变为矩形面积的一半，则?ABCD的最小内角的度数为　
　．
13．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，P为边BC上一动点（P不与B、C重合），PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的取值范围是　
　．
14．在平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝6，若AC＝BD，则平行四边形ABCD的面积为　
　．
15．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°．D是AC的中点，DE⊥AC，AE∥BD，若BC＝4，AE＝5，则四边形ACBE的周长是　
　．
16．如图，在矩形ABCD中，AE＝AF，过点E作EH⊥EF交DC于点H，过F作FG⊥EF交BC于G，当AD、AB满足　
　（关系）时，四边形EFGH为矩形．
三、解答题
17．如图，在平行四边形ABCD中，P是AB上一点（不与点A，B重合），CP＝CD，过点P作PQ⊥CP，交AD于点Q，连接CQ，∠BPC＝∠AQP．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）当AP＝3，AD＝9时，求AQ和CQ的长．
18．如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD交于点O，且AO＝BO，∠ADB的平分线DE交AB于点E．
（1）求证：四边形ABCD是矩形．
（2）若AB＝8，OC＝5，求AE的长．
19．已知菱形ABCD中，延长DC至点E，使CE＝CD，延长BC至点F，使CF＝CB，分别连接DB、BE、EF、FD．
（1）如图1，求证：四边形DBEF是矩形；
（2）如图2，∠DFB＝30°，连接AE交BF于点G，连接DG，在不添加辅助线的情况下，请你直接写出△ABG面积相等的三角形（不包括△ABG）．
20．如图，在菱形ABCD中，AC、BD交于点O，BD＝8，AC＝6．BP∥AC，CP∥BD．
（1）求线段OP的长．
（2）不添加任何辅助线的情况下，直接写出图中所有的平行四边形．
21．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O．
（1）若AO＝BD，求证：四边形ABCD为矩形；
（2）若AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，求证：AE＝CF．
22．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC和BD交于点O，过点A作AE⊥BC于E，延长BC到F，使CF＝BE，连接DF和OF．
（1）求证：四边形AEFD是矩形．
（2）若AD＝5，CE＝3，∠ABF＝60°，求OF的长．
23．如图所示，已知AB∥CD，AB＝CD，∠A＝∠D．
（1）求证：四边形ABCD为矩形；
（2）若点E是AB边上的中点，点F为AD边上一点，∠1＝2∠2，CF＝5，求AF+BC的值．
24．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC到点F，使CF＝BE，连接DF．
（1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）连接OE，若AD＝10，EC＝4，求OE的长度．
参考答案
1．解：∵∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，
∴AC＝＝＝10，
∵PM⊥AB，PN⊥BC，∠C＝90°，
∴四边形BNPM是矩形，
∴MN＝BP，
由垂线段最短可得BP⊥AC时，线段MN的值最小，
此时，S△ABC＝BC?AB＝AC?BP，
即×8×6＝×10?BP，
解得：BP＝4.8，
即MN的最小值是4.8，
故选：C．
2．解：A、∵矩形的对角线互相平分且相等，
∴选项A不符合题意；
B、∵矩形的邻边一定垂直，不一定相等，
∴选项B不符合题意；
C、∵对角线相等的平行四边形是矩形，
∴选项C不符合题意；
D、∵有三个角为直角的四边形为矩形，
∴选项D符合题意；
故选：D．
3．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵OA＝OD，
∴AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB＝90°，AB∥CD，
∴∠OAB＝∠DAB﹣∠OAD＝90°﹣55°＝35°，∠OCD＝∠OAB＝35°，
故选：A．
4．解：∵四边形COED是矩形，
∴CE＝OD，
∵点D的坐标是（1，3），
∴OD＝＝，
∴CE＝，
故选：C．
5．解：连接CF，如图所示：
∵DE是AC的中垂线，
∴AF＝CF，∠CDE＝90°，
∴∠ACF＝∠A＝30°，
∴∠CFB＝∠A+∠ACF＝60°，
∵AF＝BF，
∴CF＝BF，
∴△BCF是等边三角形，
∴CF＝BC＝2，∠BCF＝60°，
∴CD＝CF?cos30°＝，∠BCD＝60°+30°＝90°，
∵BE⊥DF，
∴∠E＝90°，
∴四边形BCDE是矩形，
∴四边形BCDE的面积＝BC?CD＝2×＝2；
故选：A．
6．解：∵AB＝DC，AD＝BC，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∴AO＝OC，BO＝DO，
∵AO＝BO，
∴AC＝BD，
∴四边形ABCD为矩形，
∵AD＝3，AB＝2，
∴四边形ABCD的面积为：AD?AB＝2×3＝6，
故选：C．
7．解：∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OCED为平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝6，OB＝OD＝BD＝8，
∴∠DOC＝90°，CD＝＝＝10，
∴平行四边形OCED为矩形，
∴OE＝CD＝10，
故答案为：10．
8．解：∵∠BAC＝90°，且BA＝5，AC＝8，
∴BC＝＝＝，
∵DM⊥AB，DN⊥AC，
∴∠DMA＝∠DNA＝∠BAC＝90°，
∴四边形DMAN是矩形，
∴MN＝AD，
∴当AD⊥BC时，AD的值最小，
此时，△ABC的面积＝AB×AC＝BC×AD，
∴AD＝＝＝，
∴MN的最小值为，
故答案为：．
9．解：根据已知可知：当点P到达点D时，点Q将由C﹣B﹣C﹣B﹣C运动，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠D＝90°，
∴PD∥CQ，
若PD＝CQ，则四边形APQB是矩形，
由题意得DP＝12﹣t，
当0≤t≤3时，CQ＝4t，12﹣t＝4t，
∴t＝2.4（s），
当3＜t≤6时，CQ＝24﹣4t，12﹣t＝24﹣4t，
∴t＝4（s），
当6＜t≤9时，CQ＝4t﹣24，12﹣t＝4t﹣24，
∴t＝7.3（s）；
当9＜t≤12时，CQ＝48﹣4t，12﹣t＝48﹣4t，
∴t＝12（s），此时PQ与DC重合，无法构成矩形，故舍去，
故答案为：2.4s或4s或7.2s．
10．解：∵四边形ABCD是矩形
∴∠A＝∠B＝90°，AD＝BC＝20cm，
设最快x秒，四边形ABPQ成为矩形，
∵四边形ABPQ是矩形
∴AQ＝BP
∴3x＝20﹣x
∴x＝5
故答案为：5
11．解：①矩形的对角线互相平分且相等；故正确；
②对角线相等的四边形是矩形，不能正确判定，故错误；
③菱形的每一条对角线平分一组对角，这是菱形的一条重要性质，故正确；
④一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形，故正确．
故答案为：①③④．
12．解：如图，过点A作AE⊥BC于点E，
∵平行四边形的面积为矩形的一半且同底BC，
∴平行四边形ABCD的高AE是矩形宽AB的一半．
在直角三角形ABE中，AE＝AB，
∴∠ADC＝30°．
故答案为：30°．
13．解：连接AP，
∵PE⊥AB，PF⊥AC，
∴∠AEP＝∠AFP＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴四边形AEPF是矩形，
∴AP＝EF，
∵∠BAC＝90°，M为EF中点，
∴AM＝EF＝AP，
∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，
∴BC＝＝5，
当AP⊥BC时，AP值最小，
此时S△BAC＝×3×4＝×5×AP，
∴AP＝，即AP的范围是AP≥，
∴2AM≥，
∴AM的范围是AM≥，
∵AP＜AC，
∴AP＜4，
∴AM＜2，
∴≤AM＜2．
故答案为：≤AM＜2．
14．解：∵平行四边形ABCD中，AC＝BD
∴四边形ABCD是矩形．
∴矩形ABCD的面积是：5×6＝30．
故答案为：30．
15．解：∵AE∥BD，
∴∠CDB＝∠DAE，
∵∠ACB＝90°，DE⊥AC，
∴∠C＝∠ADE＝90°，
∴DE∥BC，
∵D为AC中点，
∴AD＝CD，
在△ADE和△DCB中
∵，
∴△ADE≌△DCB（ASA），
∴DE＝BC＝4，
在Rt△DCB中，BC＝4，BD＝5，由勾股定理得：DC＝3，
∴AD＝DC＝3，
∵ED＝BC，DE∥BC，
∴四边形DEBC是平行四边形，
∴CD＝BE＝3，
∴四边形ACBE的周长是AC+BC+BE+AE＝3+3+4+3+5＝18，
故答案为：18．
16．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°．
∵AE＝AF，
∴∠AFE＝∠AEF＝45°．
又∵EH⊥EF，FG⊥EF
∴∠GFB＝∠HED＝45°，
∴△DHE和△BGF都是等腰直角三角形．
如果四边形EFGH是矩形，则EH＝FG，
∴ED＝FB
又∵AE＝AF，
∴AD＝AB．
故答案是：AD＝AB．
17．（1）证明：∵∠BPQ＝∠BPC+∠CPQ＝∠A+∠AQP，∠BPC＝∠AQP，
∴∠CPQ＝∠A，
∵PQ⊥CP，
∴∠A＝∠CPQ＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝∠CPQ＝90°，
在Rt△CDQ和Rt△CPQ中，
，
∴Rt△CDQ≌Rt△CPQ（HL），
∴DQ＝PQ，
设AQ＝x，则DQ＝PQ＝12﹣x，
在Rt△APQ中，AQ2+AP2＝PQ2，
∴x2+32＝（9﹣x）2，
解得：x＝4，
∴AQ的长是4．
设CD＝AB＝CP＝y，则PB＝y﹣3，在Rt△PCB中，根据勾股定理列方程，求出y＝15．
在Rt△CDQ中，CQ＝＝5．
18．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AC＝2AO，BD＝2BO，
∵AO＝BO，
∴AC＝BD，
∴平行四边形ABCD为矩形；
（2）解：过点E作EG⊥BD于点G，如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，OC＝5，
∴∠BAD＝90°，BD＝AC＝2OC＝10．
在Rt△ABD中，AB＝8，BD＝10，
∴AD＝＝＝6，
∵∠DAB＝90°，
∴EA⊥AD，
∵DE为∠ADB的平分线，EG⊥BD，
∴EG＝EA，∠EGB＝90°．
在Rt△ADE和Rt△GDE中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△GDE（HL），
∴AD＝GD＝6，
∴BG＝BD﹣GD＝10﹣6＝4，
在Rt△BEG中，由勾股定理得：BE2＝EG2+BG2，
即（8﹣AE）2＝AE2+42，
解得：AE＝3．
19．（1）证明：∵CE＝CD，CF＝CB，
∴四边形DBEF是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴CD＝CB，
∴CE＝CF，
∴BF＝DE，
∴四边形DBEF是矩形；
（2）解：∵四边形DBEF是矩形，
∴∠BDF＝90°，CD＝CE，
∵∠DFB＝30°，
∴∠DBF＝60°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝CD＝CE，AD∥BG，AB∥CE，
∴∠ABG＝∠ECG，∠BAG＝∠CEG，
在△ABG和△ECG中，
，
∴△ABG≌△ECG（ASA），
∴S△ABG＝S△ECG，BG＝CG，AG＝EG，
∴S△BDG＝S△CDG，S△ABG＝S△BEG，
∵AD∥BG，
∴S△ABG＝S△BDG，
∴S△ABG＝S△BDG＝S△ECG＝S△CDG＝S△BEG，
∴△ABG面积相等的三角形是△BDG、△ECG、△CDG、△BEG．
20．解：（1）∵DP∥AC，CP∥BD，
∴四边形OCPD是平行时四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，AO＝OC＝3，OB＝OD＝4，
∴∠COD＝90°，
∴四边形OCPD是矩形，
∴CD＝OP．
在Rt△COD中，CD＝，
∴OP＝CD＝5．
（2）四边形ABCD、四边形BOPC、四边形OCPD、四边形AOPD都是平行四边形．
21．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵OA＝BD，
∴OA＝OC＝OB＝OD，
∴AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠ABD＝∠CDB，
∵AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，
∴∠AEB＝∠CFD＝90°，
在△ABE与△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴AE＝CF．
22．（1）证明：∵在平行四边形ABCD中，
∴AB∥DC且AB＝DC，
∴∠ABE＝∠DCF，
在△ABE和△DCF中，
，
∴△ABE≌△DCF（SAS），
∴AE＝DF，∠AEB＝∠DFC＝90°，
∴AE∥DF，
∴四边形AEFD是矩形；
（2）解：由（1）知：四边形AEFD是矩形，
∴EF＝AD＝5，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD＝5，OB＝OD，
∵EC＝3，
∴BE＝CF＝2，
∴BF＝BC+CF＝7，
Rt△ABE中，∠ABE＝60°，
∴∠BAE＝30°，
∴AB＝2BE＝4，
∴DF＝AE＝＝＝2，
∴BD＝＝＝，
∵OB＝OD，∠DFC＝90°，
∴OF＝BD＝．
23．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠A+∠D＝180°，
又∠A＝∠D，
∴∠A＝∠D＝90°，
∴平行四边形ABCD为矩形；
（2）解：延长DA，CE交于点G，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB＝∠B＝90°，AD∥BC，
∴∠GAE＝90°，∠G＝∠ECB，
∵E是AB边的中点，
∴AE＝BE，
在△AGE和△BCE中，，
∴△AGE≌△BCE（AAS），
∴AG＝BC，∠G＝∠2，
∴AF+BC＝AF+AG＝FG，
∵∠1＝∠2+∠G＝2∠2，
∴∠2＝∠G，
∴FG＝CF＝5，
∴AF+BC＝5．
24．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC且AD＝BC，
∵BE＝CF，
∴BC＝EF，
∴AD＝EF，
∵AD∥EF，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∵AE⊥BC，
∴∠AEF＝90°，
∴四边形AEFD是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，AD＝10，
∴AD＝AB＝BC＝10，
∵EC＝4，
∴BE＝10﹣4＝6，
在Rt△ABE中，AE＝，
在Rt△AEC中，AC＝，
∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，
∴OE＝AC＝