2020-2021学年八年级数学青岛版下册《6.3特殊平行四边形—菱形》同步提升训练（word版、含解析）

青岛版2021年度八年级数学下册《6.3特殊平行四边形—菱形》同步提升训练（附答案）
一、选择题
1．如图，在?ABCD中，AB＝BC＝5．对角线BD＝8，则?ABCD的面积为（　　）
A．20
B．24
C．40
D．48
2．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，若AF＝8，则四边形AEDF的周长是（　　）
A．24
B．28
C．32
D．36
3．下列对菱形的描述错误的是（　　）
A．菱形的四条边都相等
B．对角线相等的平行四边形是菱形
C．菱形的对角线互相垂直
D．邻边相等的平行四边形是菱形
4．如图平行四边形ABCD中，∠A＝110°，AD＝DC．E，F分别是边AB和BC的中点，EP⊥CD于点P，则∠PEF＝（　　）
A．35°
B．45°
C．50°
D．55°
5．如图，在△ABC中，点D是边BC上的点（与B，C两点不重合），过点D作DE∥AC，DF∥AB，分别交AB，AC于E，F两点，下列条件能判定四边形AEDF是菱形的是（　　）
A．AD⊥BC
B．AD为BC边上的中线
C．AD＝BD
D．AD平分∠BAC
6．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，∠ABC的平分线交AD于点F．若BF＝12，AB＝10，则AE的长为（　　）
A．10
B．12
C．16
D．18
7．将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，恰好得到菱形AECF．若AB＝3，则菱形AECF的面积为（　　）
A．1
B．2
C．2
D．4
8．如图，已知四边形ABCD的四边相等，等边△AMN的顶点M、N分别在BC、CD上，且AM＝AB，则∠C为（　　）
A．100°
B．105°
C．110°
D．120°
9．两张全等的矩形纸片ABCD，AECF按如图方式交叉叠放在一起，AB＝AF，AE＝BC．若AB＝2，BC＝6，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．4
B．
C．
D．6
二、填空题
10．有两个全等矩形纸条，长与宽分别为8和6，按图所示交叉叠放在一起，则重合部分构成的四边形周长为　
　．
11．如图，①以点A为圆心2cm长为半径画弧分别交∠MAN的两边AM、AN于点B、D；②以点B为圆心，AD长为半径画弧，再以点D为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点C；
③分别连结BC、CD、AC．若∠MAN＝60°，则∠ACB的大小为　
　．
12．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC的平分线交AC于D．过点A作AE⊥BC于E，交BD于G，过点D作DF⊥BC于F，过点G作GH∥BC，交AC于点H，则下列结论：①∠BAE＝∠C；②S△ABG：S△EBG＝AB：BE；
③∠ADF＝2∠CDF；④四边形AGFD是菱形；⑤CH＝DF．
其中正确的结论是　
　．
13．如图，已知平行四边形ABCD中，AB＝BC，BC＝10，∠BCD＝60°，两顶点B、D分别在平面直角坐标系的y轴、x轴的正半轴上滑动，连接OA，则OA的长的最小值是　
　．
14．如图所示，四边形ABCD中，AC⊥BD于点O，AO＝CO＝8，BO＝DO＝6，点P为线段AC上的一个动点．
（1）填空：AD＝CD＝　
　．
（2）过点P分别作PM⊥AD于M点，作PH⊥DC于H点．连结PB，在点P运动过程中，PM+PH+PB的最小值为　
　．
15．如图，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F．且AD交EF于O，则∠AOF＝　
　度．
16．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．若AB＝，BD＝2，则OE的长为　
　．
17．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的中线，过点A作AE⊥CD于点E，过点B作CD平行线，交AE的延长线于点F，在延长线上截得FG＝CD，连结CG、DF．若BG＝11，AF＝8，则四边形CGFD的面积等于　
　．
18．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AC与BD互相垂直且平分，BD＝6，AC＝8，则四边形周长为　
　，面积为　
　．
三、解答题
19．如图，BD是△ABC的角平分线，过点作DE∥BC交AB于点E，DF∥AB交BC于点F．
（1）求证：四边形BEDF是菱形；
（2）若∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，CD＝6，求菱形BEDF的边长．
20．在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AC垂直平分BD，BD平分∠ADC．
（1）如图1，求证：四边形ABCD是菱形；
（2）如图2，过点B作BE∥AC，交DC延长线于点E，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中所有与△CBE面积相等的三角形（△CBE除外）．
21．如图，BD是△ABC的角平分线，过点D作DE∥BC交AB于点E，DF∥AB交BC于点F．
（1）求证：四边形BEDF是菱形；
（2）如果∠A＝80°，∠C＝30°，求∠BDE的度数．
22．如图，在?ABCD中，EF是对角线AC的垂直平分线，分别与AD，BC交于点E，F．
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）若AC＝6，AE＝5，求菱形AECF的面积．
23．如图，在?ABCD中，∠ABC＝60°，BC＝2AB，点E、F分别是BC、DA的中点．
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）若AB＝2，求BD的长．
24．已知，在平行四边形ABCD中，点F是AB上一点，连接DF交对角线AC于E，连接BE．
（1）如图1，若∠EBC＝∠EFA，EC平分∠DEB，求证：平行四边形ABCD是菱形；
（2）如图2，对角线AC与BD相交于点O，当点F是AB的中点时，直接写出与△ADF面积相等的三角形（不包括以AD为边的三角形）．
25．如图，AM∥BN，C是BN上一点，AB＝BC，BD平分∠ABN，分别交AC，AM于点O，D，DE⊥BD，交BN于点E．
（1）求证：△ADO≌△CBO；
（2）求证：四边形ABCD是菱形；
（3）若DE＝AB＝2，求菱形ABCD的面积．
26．如图1，?ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AE∥BD，BE∥AC，OE＝CD．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若∠ADC＝60°，BE＝2，求BD的长．
参考答案
1．解：如图所示，连接AC交BD于O，
在?ABCD中，AB＝BC＝5，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
又∵对角线BD＝8，
∴BO＝4，
在Rt△AOB中，AO＝＝＝3，
∴AC＝2AO＝6，
∴菱形ABCD的面积为＝＝24．
故选：B．
2．解：∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF为平行四边形，∠EAD＝∠FDA，
∵AD平分∠BAC，
∴∠EAD＝∠FAD＝∠FDA，
∴FA＝FD，
∴平行四边形AEDF为菱形．
∵AF＝8，
∴C菱形AEDF＝4AF＝4×8＝32．
故选：C．
3．解：A、∵菱形的四条边都相等，
∴选项A不符合题意；
B、∵对角线相等的平行四边形是矩形，
∴选项B符合题意；
C、∵菱形的对角线互相垂直平分，
∴选项C不符合题意；
D、∵邻边相等的平行四边形形是菱形，
∴选项D不符合题意；
故选：B．
4．解：∵平行四边形ABCD中，AD＝DC，
∴四边形ABCD为菱形，
∴AB＝BC，∠ABC＝180°﹣∠A＝70°，
∵E，F分别为AB，BC的中点，
∴BE＝BF，∠BEF＝∠BFE＝55°，
∵PE⊥AB，
∴∠PEB＝90°
∴∠PEF＝90°﹣55°＝35°，
故选：A．
5．解：添加AD平分∠BAC可判定四边形AEDF是菱形，
理由如下：
∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF是平行四边形．
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵DE∥AC，
∴∠DAC＝∠ADE，
∴∠DAB＝∠ADE，
∴AE＝DE，
∴平行四边形AEDF是菱形，
故选：D．
6．解：如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB，
∵∠BAD的平分线交BC于点E，
∴∠DAE＝∠BEA，
∴∠BAE＝∠BEA，
∴AB＝BE，同理可得AB＝AF，
∴AF＝BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AB＝AF，
∴四边形ABEF是菱形，
∴AE⊥BF，OA＝OE，OB＝OF＝BF＝6，
∴OA＝＝＝8，
∴AE＝2OA＝16；
故选：C．
7．解：∵四边形AECF是菱形，AB＝3，
∴假设BE＝x，则AE＝3﹣x，CE＝3﹣x，
∵四边形AECF是菱形，
∴∠FCO＝∠ECO，
∵∠ECO＝∠ECB，
∴∠ECO＝∠ECB＝∠FCO＝30°，
2BE＝CE，
∴CE＝2x，
∴2x＝3﹣x，
解得：x＝1，
∴CE＝2，利用勾股定理得出：
BC2+BE2＝EC2，
BC＝＝＝，
又∵AE＝AB﹣BE＝3﹣1＝2，
则菱形的面积是：AE?BC＝2．
故选：C．
8．解：∵四边形ABCD的四边都相等，
∴四边形ABCD是菱形，
∴∠B＝∠D，∠DAB＝∠C，AD∥BC，
∴∠DAB+∠B＝180°，
∵△AMN是等边三角形，AM＝AB，
∴∠AMN＝∠ANM＝60°，AM＝AD，
∴∠B＝∠AMB，∠D＝∠AND，
由三角形的内角和定理得：∠BAM＝∠NAD，
设∠BAM＝∠NAD＝x，
则∠D＝∠AND＝180°﹣60°﹣2x，
∵∠NAD+∠D+∠AND＝180°，
∴x+2（180°﹣60°﹣2x）＝180°，
解得：x＝20°，
∴∠C＝∠BAD＝2×20°+60°＝100°．
故选：A．
9．解：如图所示：
∵两张全等的矩形纸片ABCD，AECF按如图方式交叉叠放在一起，
∴AD∥BC，AE∥CF，∠B＝∠BAD＝∠EAF＝∠F＝90°，AD＝BC＝6，
∴四边形AHCG是平行四边形，∠BAH＝∠FAG，
在△AFG和△ABH中，
，
∴△AFG≌△ABH（ASA），
∴AG＝AH，
∴平行四边形AHCG是菱形，
∴AH＝CH，
设AH＝CH＝x，则BH＝6﹣x，
在Rt△ABH中，由勾股定理得：22+（6﹣x）2＝x2，
解得：x＝，
∴BH＝6﹣＝，
∴图中阴影部分的面积＝BH×AB＝××2＝，
故选：B．
10．解：如图所示：
由题意得：矩形ABCD≌矩形BEDF，
∴∠A＝90°，AB＝BE＝6，AD∥BC，BF∥DE，AD＝8，
∴四边形BGDH是平行四边形，
∴平行四边形BGDH的面积＝BG×AB＝BH×BE，
∴BG＝BH，
∴四边形BGDH是菱形，
∴BH＝DH＝DG＝BG，
设BH＝DH＝x，则AH＝8﹣x，
在Rt△ABH中，由勾股定理得：62+（8﹣x）2＝x2，
解得：x＝，
∴BG＝，
∴四边形BGDH的周长＝4BG＝25；
故答案为：25．
11．解：由题意可得：AB＝BC＝CD＝AD＝2cm，
∴四边形ABCD是菱形，
∴BC∥DA，∠CAB＝∠CAD＝∠MAN＝30°，
∴∠ACB＝∠CAD＝30°，
故答案为：30°．
12．解：①∵∠BAC＝90°，
∴∠BAE+∠CAE＝90°，
∵AE⊥BC，
∴∠C+∠CAE＝90°，
∴∠BAE＝∠C，①正确；
②作AM∥BD交CB的延长线于M，如图所示：
则∠M＝∠CBD，∠BAM＝∠ABD，
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD＝∠ABD，
∴∠M＝∠BAM，
∴AB＝BM，
∵AM∥BD，
∴AG：GE＝BM：BE，
∴AG：GE＝AB：BE，
∵S△ABG：S△EBG＝AG：GE，
∴S△ABG：S△EBG＝AB：BE；②正确；
④∵∠AGD＝∠ABD+∠BAE，∠ADG＝∠CBD+∠C，∠BAE＝∠C，∠CBD＝∠ABD，
∴∠AGD＝∠ADG，
∴AG＝AD，
∵∠BAC＝90°，BD平分∠ABC．DF⊥BC，
∴AD＝DF，
∴AG＝DF，
∵AE⊥BC，
∴AG∥DF，
∴四边形AGFD是平行四边形，
又∵AG＝AD，
∴四边形AGFD是菱形；④正确；
⑤∵四边形AGFD是菱形；
∴∠AGD＝∠FGD，GF＝DF，∠ADB＝∠FDB，
∴∠AGB＝∠FGB，
在△ABG和△FBG中，，
∴△ABG≌△FBG（AAS），
∴∠BAE＝∠BFG，
∵∠BAE＝∠C，
∴∠BFG＝∠C，
∴GF∥CH，
∵GH∥BC，
∴四边形GFCH是平行四边形，
∴GF＝CH，
∴CH＝DF，⑤正确；
③∵∠ADF＝2∠ADB，
当∠C＝30°，∠CDF＝60°，
则∠ADF＝120°，
∴∠ADF＝2∠CDF；③不正确；
故答案为：①②④⑤．
13．解：如图所示：过点A作AE⊥BD于点E，
当点A，O，E在一条直线上，此时AO最短，
∵平行四边形ABCD中，AB＝BC，BC＝10，∠BCD＝60°，
∴AB＝AD＝CD＝BC＝10，∠BAD＝∠BCD＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴AE过点O，E为BD中点，
∵∠BOD＝90°，BD＝10，
∴EO＝5，
故AO的最小值为：AO＝AE﹣EO＝ABsin60°﹣×BD＝5﹣5．
故答案为：5﹣5．
14．解：（1）∵AC⊥BD于点O，
∴△AOD为直角三角形．
∴AD＝＝＝10．
∵AC⊥BD于点O，AO＝CO，
∴CD＝AD＝10．
故答案为：10；
（2）如图1所示：连接PD．
∵S△ADP+S△CDP＝S△ADC，
∴AD?PM+DC?PH＝AC?OD，即×10×PM+×10×PH＝×16×6．
∴10×（PM+PH）＝16×6．
∴PM+PH＝＝，
∴当PB最短时，PM+PH+PB有最小值，
∵由垂线段最短可知：当BP⊥AC时，PB最短．
∴当点P与点O重合时，PM+PH+PB有最小，最小值＝+6＝．
故答案为：10，．
15．解：∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF为平行四边形，
∴OA＝OD，OE＝OF，∠2＝∠3，
∵AD是△ABC的角平分线，
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠3，
∴AE＝DE．
∴?AEDF为菱形．
∴AD⊥EF，即∠AOF＝90°．
故答案为：90．
16．解：∵AB∥CD，
∴∠OAB＝∠DCA，
∵AC为∠DAB的平分线，
∴∠OAB＝∠DAC，
∴∠DCA＝∠DAC，
∴CD＝AD＝AB，
∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AD＝AB，
∴?ABCD是菱形；
∴OA＝OC，BD⊥AC，
∵CE⊥AB，
∴OE＝OA＝OC，
∵BD＝2，
∴OB＝BD＝1，
在Rt△AOB中，AB＝，OB＝1，
∴OA＝＝＝2，
∴OE＝OA＝2，
故答案为：2．
17．解：∵∠ACB＝90°，CD为AB边上的中线，
∴AD＝BD＝CD，
∵BG∥CD，
∴AF⊥BG，
∴AD＝BD＝DF，
∴DF＝CD，
∵FG＝CD，
∴四边形CGFD为菱形，
∵CD∥BF，D为AB中点，
∴E为AF的中点，
∴EF＝AF＝4，
设GF＝x，则BF＝11﹣x，AB＝2x，
∵在Rt△ABF中，∠BFA＝90°，
∴AF2+BF2＝AB2，即（11﹣x）2+82＝（2x）2，
解得：x＝5或x＝﹣（舍去），
∴菱形CGFD的面积为：5×4＝20，
故答案为：20．
18．解：∵AC与BD互相垂直且平分，
∴AD＝AB＝BC＝CD，
∴四边形ABCD是菱形，
∵BD＝6，AC＝8，
∴OA＝AC＝4，OB＝BD＝3，
∴AB＝＝5，
∴四边形周长为：20，面积为：×6×8＝24．
故答案为：20，24．
19．证明：（1）∵DE∥BC，DF∥AB，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∵DE∥BC，
∴∠EDB＝∠DBF，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBF＝∠ABC，
∴∠ABD＝∠EDB，
∴DE＝BE，
又∵四边形BEDF为平行四边形，
∴四边形BEDF是菱形；
（2）如图，过点D作DH⊥BC于H，
∵DF∥AB，
∴∠ABC＝∠DFC＝60°，
∵DH⊥BC，
∴∠FDH＝30°，
∴FH＝DF，DH＝FH＝DF，
∵∠C＝45°，DH⊥BC，
∴∠C＝∠HDC＝45°，
∴DC＝DH＝DF＝6，
∴DF＝2，
∴菱形BEDF的边长为2．
20．（1）证明：∵AC垂直平分BD，
∴AB＝AD，BC＝CD，
∵BD平分∠ADC，
∴∠ADO＝∠CDO，
又OD＝OD，∠AOD＝∠COD，
∴△AOD≌△COD（ASA），
∴AD＝CD，
∴AB＝AD＝CD＝BC，
∴四边形ABCD是菱形．
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，
∵BE∥CE，
∴四边形ACEB是平行四边形，
∴DC＝AB＝CE，
∴图中所有与△CBE面积相等的三角形有△BCD，△ABD，△ACD，△ABC．
21．（1）证明：∵DE∥BC，DF∥AB
∴四边形DEBF是平行四边形
∵DE∥BC
∴∠EDB＝∠DBF
∵BD平分∠ABC
∴∠ABD＝∠DBF＝∠ABC
∴∠ABD＝∠EDB
∴DE＝BE且四边形BEDF为平行四边形
∴四边形BEDF为菱形；
（2）解：∵∠A＝80°，∠C＝30°，
∴∠ABC＝180°﹣80°﹣30°＝70°，
∵四边形BEDF为菱形，
∴∠EDF＝∠ABC＝70°，
∴∠BDE＝∠EDF＝35°．
22．证明：（1）∵对角线AC的垂直平分线EF分别与AC、BC、AD交于点O、E、F，
∴AF＝CF，AE＝CE，OA＝OC，
∴∠EAC＝∠ECA，∠FAC＝∠FCA，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠EAC＝∠FCA，
∴∠FAO＝∠ECO，
在△AOF和△COE中，
，
∴△AOF≌△COE（ASA），
∴AF＝CE，
∵AF＝CF，AE＝CE，
∴AE＝EC＝CF＝AF，
∴四边形AECF为菱形；
（2）∵四边形AECF是菱形，
∴AC⊥EF，OA＝OC，OE＝OF，
∵AC＝6，AE＝5，
∴OE＝3，
由勾股定理可得：OE＝，
∴EF＝2OE＝8，
∴菱形AECF的面积＝．
23．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC∥AD，BC＝AD．
∵E，F分别是BC，AD的中点
∴BE＝CE＝BC，AF＝AD，
∴CE＝AF，CE∥AF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵BC＝2AB，
∴AB＝BE，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴AE＝BE＝CE，
∴平行四边形AECF是菱形；
（2）解：作BG⊥AD于G，如图所示：
则∠ABG＝90°﹣∠ABC＝30°，
∴AG＝AB＝1，BG＝AG＝，
∵AD＝BC＝2AB＝4，
∴DG＝AG+AD＝5，
∴BD＝＝＝2．
24．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠EDC＝∠EFA，
∵∠EBC＝∠EFA，
∴∠EBC＝∠EDC，
∵EC平分∠DEB，
∴∠DCE＝∠BCE，
在△CED和△CEB中，，
∴△CED≌△CEB（AAS），
∴CD＝CB，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴平行四边形ABCD为菱形；
（2）解：与△ADF面积相等的三角形（不包括以AD为边的三角形）为△AOB、△BOC、△COD、△DFB；理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OB，OC＝OD，
∴△AOB的面积＝△BOC的面积＝△COD的面积＝△ABD的面积，
∵点F是AB的中点，
∴△ADF的面积＝△DFB的面积＝△ABD的面积，
∴△AOB的面积＝△BOC的面积＝△COD的面积＝△DFB的面积＝△ADF的面积．
25．（1）证明：∵AB＝BC，BD平分∠ABN，
∴AO＝CO．
∵AM∥BN，
∴∠DAC＝∠ACB．
在△ADO和△CBD中，，
∴△ADO≌△CBO（ASA）；
（2）证明：由（1）得△ADO≌△CBD．
∴AD＝CB．
又∵AM∥BN，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵AB＝BC，
∴四边形ABCD是菱形；
（3）解：由（2）得四边形ABCD是菱形．
∴AC⊥BD，OB＝OD．
又∵DE⊥BD，
∴AC∥DE．
又∵AM∥BN，
∴四边形ACED平行四边形．
∴AC＝DE＝2．
∴AO＝1．
在Rt△AOB中，由勾股定理得：BO＝＝＝，
∴BD＝2BO＝2．
∴S菱形ABCD＝AC?BD＝×2×2＝2．
26．（1）证明：∵AE∥BD，BE∥AC，
∴四边形AEBO是平行四边形，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC＝AB．
∵OE＝CD，
∴OE＝AB．
∴平行四边形AEBO是矩形，
∴∠BOA＝90°．
∴AC⊥BD．
∴平行四边形ABCD是菱形；
（2）解：由（1）得：四边形AEBO是矩形，四边形ABCD是菱形，
∴OA＝BE＝2，AC⊥BD，BO＝DO，∠ADO＝30°，
∴OD＝OA＝2，
∴BD＝2OD＝4．