2020-2021学年八年级数学青岛版下册《6.3特殊平行四边形—正方形》同步提升训练（word版、含解析）

青岛版2021年度八年级数学下册《6.3特殊平行四边形—正方形》同步提升训练（附答案）
一、选择题
1．如图，在正方形ABCD中，AB＝2，P是AD边上的动点，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，则PE+PF的值为（　　）
A．4
B．2
C．
D．2
2．如图，正方形ABCD中，点E是对角线AC上的一点，且AE＝AB，连接BE，DE，则∠CDE的度数为（　　）
A．20°
B．22.5°
C．25°
D．30°
3．如图，在正方形ABCD所在平面内求一点P，使点P与正方形ABCD的任意两个顶点构成△PAB，△PBC，△PAD，△PCD均是等腰三角形，则满足上述条件的所有点P的个数为（　　）
A．8个
B．9个
C．10个
D．11个
4．将三个大小不同的正方形如图放置，顶点处两两相接，若正方形A的边长为4，正方形C的边长为3，则正方形B的面积为（　　）
A．25
B．5
C．16
D．12
5．正方形ABCD的一条对角线长为2，则正方形ABCD的周长为（　　）
A．4
B．8
C．2
D．4
6．如图，在平面直角坐标系xOy，四边形OABC为正方形，若点B（1，3），则点C的坐标为（　　）
A．（﹣1，2）
B．（﹣1，）
C．（﹣，2）
D．（﹣1，）
7．如图，正方形ABCD中，在BA延长线上取一点，使BE＝BD，连接DE，则∠EDA的度数为（　　）
A．10°
B．15°
C．30°
D．22.5°
8．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，P为边BC上一点，且BP＝OB，则∠COP的度数为（　　）
A．15°
B．22.5°
C．25°
D．17.5°
9．如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接EF给出下列四个结论：①AP＝EF；②AP⊥EF；③△APD一定是等腰三角形；④∠PFE＝∠BAP．其中正确结论个数是（　　）
A．1
B．2
C．3
D．4
10．如图，在正方形OABC中，点B的坐标是（6，6），点E、F分别在边BC、BA上，OE＝3．若∠EOF＝45°，则F点的纵坐标是（　　）
A．2
B．
C．
D．﹣1
二、填空题
11．如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠ABC＝90°，AD＝CD，DP⊥AB于P．若四边形ABCD的面积是18，则DP的长是　
　．
12．如图，四边形ABCD是正方形，AE⊥BE于点E，且AE＝5，BE＝12，则阴影部分的面积是　
　．
13．如图，在平面直角坐标系中，点A从点M（0，5）出发向原点O匀速运动，与此同时点B从点N（3，0）出发，在x轴正半轴上以相同的速度向右运动，当点A到达终点O时，两点同时停止运动．连接AB，以线段AB为一边在第一象限内作正方形ABCD，则正方形ABCD面积的最小值为　
　．
14．如图，四边形ABCD是正方形，按如下步骤操作：①分别以点A，D为圆心，以AD长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP，DP；②连接BP，CP，则∠BPC＝　
　．
15．如图，在边长为6的正方形ABCD中，点M为对角线BD上一动点，ME⊥BC于E，MF⊥CD于F，则EF的最小值为　
　．
16．如图，平面内直线l1∥l2∥l3∥l4，且相邻两条平行线间隔均为1，正方形ABCD四个顶点分别在四条平行线上，则正方形的面积为　
　．
17．如图，两个正方形边长分别为2、a（a＞2），图中阴影部分的面积为　
　．
18．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（0，3），点B的坐标是（﹣4，0），以AB为边作正方形ABCD，连接OD，DB．则△DOB的面积是　
　．
19．如图，四边形ABCD是一个正方形，E是BC延长线上的一点，且AC＝EC，则∠DAE＝　
　．
20．已知正方形ABCD的边长为2，EF分别是边BC，CD上的两个动点，且满足BE＝CF，连接AE，AF，则AE+AF的最小值为　
　．
三、解答题
21．如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，EF⊥AD于点F，DG⊥AE于点G，DG与EF交于点O．
（1）求证：四边形ABEF是正方形；
（2）若AD＝AE，求证：AB＝AG；
（3）在（2）的条件下，已知AB＝1，求OD的长．
22．如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝3，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
（1）求证：矩形DEFG是正方形；
（2）探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
23．如图，正方形ABCD中，AB＝4，点E是对角线AC上的一点，连接DE．过点E作EF⊥ED，交AB于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接AG．
（1）求证：矩形DEFG是正方形；
（2）求AG+AE的值；
（3）若F恰为AB中点，连接DF交AC于点M，请直接写出ME的长．
24．如图，点E是正方形ABCD对角线AC上一点，EF⊥AB，EG⊥BC，垂足分别为F，G，若正方形ABCD的周长是40cm．
（1）求证：四边形BFEG是矩形；
（2）求四边形EFBG的周长；
（3）当AF的长为多少时，四边形BFEG是正方形？
25．如图①，在正方形ABCD中，点E，F分别在AB、BC上，且AE＝BF．
（1）试探索线段AF、DE的数量关系，写出你的结论并说明理由；
（2）连接EF、DF，分别取AE、EF、FD、DA的中点H、I、J、K，则四边形HIJK是什么特殊平行四边形？请在图②中补全图形，并说明理由．
26．如图，Rt△CEF中，∠C＝90°，∠CEF，∠CFE外角平分线交于点A，过点A分别作直线CE，CF的垂线，B，D为垂足．
（1）求证：四边形ABCD是正方形．
（2）已知AB的长为6，求（BE+6）（DF+6）的值．
（3）借助于上面问题的解题思路，解决下列问题：若三角形PQR中，∠QPR＝45°，一条高是PH，长度为6，QH＝2，则HR＝　
　．
27．已知：如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，若∠CAD＝∠DBC．
（1）求证：四边形ABCD是正方形．
（2）E是OB上一点，DH⊥CE，垂足为H，DH与OC相交于点F，求证：OE＝OF．
28．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点C、A分别在x、y轴上，A（0，6），E（0，2），点H、F分别在边AB、OC上，以H、E、F为顶点作菱形EFGH．
（1）当H（﹣2，6）时，求证：四边形EFGH是正方形；
（2）若F（﹣5，0），求点G的坐标．
参考答案
1．解：在正方形ABCD中，OA⊥OB，∠OAD＝45°，
∵PE⊥AC，PF⊥BD，
∴四边形OEPF为矩形，△AEP是等腰直角三角形，
∴PF＝OE，PE＝AE，
∴PE+PF＝AE+OE＝OA，
∵正方形ABCD的边长为2，
∴OA＝AC＝＝．
故选：C．
2．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠ADC＝90°，∠DAC＝45°，
∵AE＝AB，
∴AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED＝67.5°，
∴∠CDE＝90°﹣67.5°＝22.5°，
故选：B．
3．解：分为三种情况：①正方形对角线的交点P1；
②作AD边的垂直平分线MN，以点D为圆心，以DC为半径画弧，交MN于点P2和P3；
以点C为圆心，以DC为半径画弧，交MN于点P4和P5，如图：
③同理，作AB边的垂直平分线，分别以点A和点B为圆心，AD为半径画弧，与该垂直平分线也有4个交点．
综上，符合题意的所有点P的个数为：1+4+4＝9（个）．
故选：B．
4．解：如图，
∵根据正方形的性质得：DF＝FG，∠DEF＝∠GHF＝∠DFG＝90°，
∴∠EDF+∠DFE＝90°，∠DFE+∠GFH＝90°，
∴∠EDF＝∠GFH，
在△DEF和△FHG中，
，
∴△DEF≌△FHG（AAS），
∴DE＝FH＝4，
∵GH＝3，
在Rt△GHF中，由勾股定理得：FG2＝32+42＝25，
则正方形B的面积为25．故选：A．
5．解：因为正方形ABCD的一条对角线长为2，
设正方形的边长为a，
根据勾股定理，得a2+a2＝22，
解得a＝，
所以正方形的边长为，
则正方形ABCD的周长为4．
故选：D．
6．解：作CD⊥x轴于D，作BE⊥CD于E，交y轴于F，如图，
∵B（1，3），
∴DE＝3，BF＝1，
设C（m，n），则OD＝EF＝﹣m，CD＝n，
∵四边形ABCO为正方形，
∴∠BCO＝90°，CB＝CO，
∵∠BCE+∠OCD＝90°，∠BCE+∠CBE＝90°，
∴∠OCD＝∠CBE，
在△OCD和△CBE中
，
∴△OCD≌△CBE（AAS），
∴CD＝BE，OD＝CE，
即n＝1﹣m，﹣m＝3﹣n，
∴m＝﹣1，n＝2，
∴C点坐标为（﹣1，2）．故选：A．
7．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABD＝45°＝∠ADB，
∵BE＝BD，
∴∠BDE＝67.5°，
∴∠EDA＝∠BDE﹣∠ADB＝22.5°，
故选：D．
8．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BOC＝90°，∠OBC＝45°，
∵BP＝OB，
∴∠BOP＝∠BPO＝（180°﹣45°）＝67.5°，
∴∠COP＝90°﹣67.5°＝22.5°．
故选：B．
9．解：如图，连接PC，延长AP交EF于H，延长FP交AB于G，
在正方形ABCD中，∠ABP＝∠CBP＝45°，AB＝CB，
∵在△ABP和△CBP中，
，
∴△ABP≌△CBP（SAS），
∴AP＝PC，∠BAP＝∠BCP，
又∵PE⊥BC，PF⊥CD，
∴四边形PECF是矩形，
∴PC＝EF，∠BCP＝∠PFE，
∴AP＝EF，∠PFE＝∠BAP，故①④正确；
只有点P为BD的中点或PD＝AD时，△APD是等腰三角形，故③错误；
∵PF∥BC，
∴∠AGF＝∠ABC＝90°，
∵∠BAP＝∠PFE，∠APG＝∠FPH，
∴∠AGP＝∠AHF＝90°，
∴AP⊥EF，故②正确，故选：C．
10．解：如图，连接EF，延长BA，使得AM＝CE，
在△OCE和△OAM中，
，
∴△OCE≌△OAM（SAS）．
∴OE＝OM，∠COE＝∠MOA，
∵∠EOF＝45°，
∴∠COE+∠AOF＝45°，
∴∠MOA+∠AOF＝45°，
∴∠EOF＝∠MOF，
在△OFE和△OFM中，
，
∴△OFE≌△FOM（SAS），
∴EF＝FM＝AF+AM＝AF+CE，
设AF＝x，
∵CE＝＝＝3，
∴EF＝3+x，EB＝3，FB＝6﹣x，
∴（3+x）2＝32+（6﹣x）2，
∴x＝2，
∴点F的纵坐标为2，故选：A．
11．解：如图，过点D作DE⊥DP交BC的延长线于E，
∵∠ADC＝∠ABC＝90°，
∴四边形DPBE是矩形，
∵∠CDE+∠CDP＝90°，∠ADC＝90°，
∴∠ADP+∠CDP＝90°，
∴∠ADP＝∠CDE，
∵DP⊥AB，
∴∠APD＝90°，
∴∠APD＝∠E＝90°，
在△ADP和△CDE中，
，
∴△ADP≌△CDE（AAS），
∴DE＝DP，四边形ABCD的面积＝四边形DPBE的面积＝18，
∴矩形DPBE是正方形，
∴DP＝＝3．
故答案为：3．
12．解：在Rt△AEB中，∠AEB＝90°，AE＝5，BE＝12，
由勾股定理得：AB＝＝13，
∴正方形的面积是13×13＝169，
∵△AEB的面积是AE×BE＝×5×12＝30，
∴阴影部分的面积是169﹣30＝139，
故答案为：139．
13．解：由题意可得，NB＝MA，则AO+OB＝8，
设AO＝x，则OB＝8﹣x，
∵S正方形ABCD＝AB2＝AO2+OB2＝x2+（8﹣x）2＝2（x﹣4）2+32，
∴当x＝4时，正方形ABCD的面积取得最小值32，
故答案为：32．
14．解：根据作图过程可知：
AD＝AP＝PD，
∴△ADP是等边三角形，
∴∠DAP＝∠ADP＝∠APD＝60°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝DC，∠BAD＝∠ADC＝∠ABC＝∠BCD＝90°，
∴AB＝AP，DP＝DC，
∴∠ABP＝∠APB＝∠DPC＝∠DCP＝75°，
∴∠BPC＝360°﹣60°﹣75°﹣75°＝150°．
故答案为：150°．
15．解：连接MC，如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠C＝90°，∠DBC＝45°，
∵ME⊥BC于E，MF⊥CD于F，
∴四边形MECF为矩形，
∴EF＝MC，
当MC⊥BD时，MC取得最小值，
此时△BCM是等腰直角三角形，
∴MC＝BC＝×6＝3，
∴EF的最小值为3；
故答案为：3．
16．解：过C点作EF⊥l2，交l1于E点，交l4于F点．
∵l1∥l2∥l3∥l4，EF⊥l2，
∴EF⊥l1，EF⊥l4，
即∠CED＝∠BFC＝90°．
∵ABCD为正方形，
∴∠BCD＝90°．
∴∠DCE+∠BCF＝90°．
又∵∠DCE+∠CDE＝90°，
∴∠CDE＝∠BCF．
在△CDE和△BCF中，
∴△CDE≌△BCF（AAS），
∴BF＝CE＝2．
∵CF＝1，
∴BC2＝12+22＝5，
即正方形ABCD的面积为5．
故答案为：5．
17．解：阴影部分的面积＝
18．解：过点D作DE⊥y轴，垂足为E．
∵A的坐标是（0，3），点B的坐标是（﹣4，0），
∴OA＝3，OB＝4．
∵ABCD为正方形，
∴AB＝AD，∠DAB＝90°．
∴∠DAE＝∠AB0．
在△ABO和△DAE中，
∴△ABO≌△DAE．
∴AE＝OB＝4．
∴OE＝AE+AO＝4+3＝7．
∴△OBD的面积＝OB?OE＝×4×7＝14．
故答案为：14．
19．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACB＝45°，AD∥BC，
∵AC＝EC，
∴∠E＝∠CAE，
∵∠ACB＝∠E+∠CAE＝2∠E，
∴∠E＝∠ACB＝22.5°，
∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠E＝22.5°．
故答案为：22.5°．
20．解：连接DE，作点A关于BC的对称点A′，连接BA′、EA′，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD＝CD＝BC，∠ADC＝∠BCD＝90°，
∵BE＝CF，
∴DF＝CE，
在△DCE与△ADF中，
，
∴△DCE≌△ADF（SAS），
∴DE＝AF，
∴AE+AF＝AE+DE，
作点A关于BC的对称点A′，连接BA′、EA′，
则AE＝A′E，
即AE+AF＝AE+DE＝A'E+DE，
当D、E、A′在同一直线时，AE+AF最小，
AA′＝2AB＝4，
此时，在Rt△ADA′中，DA′＝＝2，
故AE+AF的最小值为2．
故答案为：2．
21．（1）证明：∵矩形ABCD，
∴∠BAF＝∠ABE＝90°，
∵EF⊥AD，
∴四边形ABEF是矩形，
∵AE平分∠BAD，
∴EF＝EB，
∴四边形ABEF是正方形；
（2）∵AE平分∠BAD，
∴∠DAG＝∠BAE，
在△AGD和△ABE中，，
∴△AGD≌△ABE（AAS），
∴AB＝AG；
（3）∵四边形ABEF是正方形，
∴AB＝AF＝1，
∵△AGD≌△ABE，
∴DG＝AB＝AF＝AG＝1，
∵AD＝AE，
∴AD﹣AF＝AE﹣AG，
即DF＝EG，
在△DFO和△EGO中，，
∴△DFO≌△EGO（AAS），
∴FO＝GO，FD＝EG
∵∠DAE＝∠AEF＝45°，∠AFE＝∠AGD＝90°，
∴DF＝FO＝OG＝EG，
∴DO＝OF＝OG，
∴DG＝DO+OG＝OG+OG＝1，
∴OG＝＝﹣1，
∴OD＝（﹣1）＝2﹣．
22．解：（1）如图，作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N，
∴∠MEN＝90°，
∵点E是正方形ABCD对角线上的点，
∴EM＝EN，
∵∠DEF＝90°，
∴∠DEN＝∠MEF，
∵∠DNE＝∠FME＝90°，
在△DEN和△FEM中，
，
∴△DEN≌△FEM（ASA），
∴EF＝DE，
∵四边形DEFG是矩形，
∴矩形DEFG是正方形；
（2）CE+CG的值是定值，定值为6，理由如下：
∵正方形DEFG和正方形ABCD，
∴DE＝DG，AD＝DC，
∵∠CDG+∠CDE＝∠ADE+∠CDE＝90°，
∴∠CDG＝∠ADE，
在∴△ADE和△CDG中，，
∴△ADE≌△CDG（SAS），
∴AE＝CG，
∴CE+CG＝CE+AE＝AC＝AB＝×3＝6是定值．
23．解：（1）如图，作EM⊥AD于M，EN⊥AB于N．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠EAD＝∠EAB，
∵EM⊥AD于M，EN⊥AB于N，
∴EM＝EN，
∵∠EMA＝∠ENA＝∠DAB＝90°，
∴四边形ANEM是矩形，
∵EF⊥DE，
∴∠MEN＝∠DEF＝90°，
∴∠DEM＝∠FEN，
∵∠EMD＝∠ENF＝90°，
∴△EMD≌△ENF，
∴ED＝EF，
∵四边形DEFG是矩形，
∴四边形DEFG是正方形．
（2）∵四边形DEFG是正方形，四边形ABCD是正方形，
∴DG＝DE，DC＝DA＝AB＝4，∠GDE＝∠ADC＝90°，
∴∠ADG＝∠CDE，
∴△ADG≌△CDE（SAS），
∴AG＝CE，
∴AE+AG＝AE+EC＝AC＝AD＝4．
（3）如图，作EH⊥DF于H．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝4，AB∥CD，
∵F是AB中点，
∴AF＝FB
∴DF＝＝2，
∵△DEF是等腰直角三角形，EH⊥AD，
∴DH＝HF，
∴EH＝DF＝，
∵AF∥CD，
∴AF：CD＝FM：MD＝1：2，
∴FM＝，
∴HM＝HF﹣FM＝，
在Rt△EHM中，EM＝＝．
24．解：（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB⊥BC，∠B＝90°．
∵EF⊥AB，EG⊥BC，
∴EF∥GB，EG∥BF．
∵∠B＝90°，
∴四边形BFEG是矩形；
（2）∵正方形ABCD的周长是40cm，
∴AB＝40÷4＝10cm．
∵四边形ABCD为正方形，
∴△AEF为等腰直角三角形，
∴AF＝EF，
∴四边形EFBG的周长C＝2（EF+BF）＝2（AF+BF）＝20cm．
（3）若要四边形BFEG是正方形，只需EF＝BF，
∵AF＝EF，AB＝10cm，
∴当AF＝5cm时，四边形BFEG是正方形．
25．解：（1）AF＝DE．
∵ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠DAB＝∠ABC＝90°，
∵AE＝BF，
∴△DAE≌△ABF，
∴AF＝DE．
（2）四边形HIJK是正方形．
如下图，H、I、J、K分别是AE、EF、FD、DA的中点，
∴HI＝KJ＝AF，HK＝IJ＝ED，
∵AF＝DE，
∴HI＝KJ＝HK＝IJ，
∴四边形HIJK是菱形，
∵△DAE≌△ABF，
∴∠ADE＝∠BAF，
∵∠ADE+∠AED＝90°，
∴∠BAF+∠AED＝90°，
∴∠AOE＝90°
∴∠KHI＝90°，
∴四边形HIJK是正方形．
26．（1）证明：作AG⊥EF于G，如图1所示：
则∠AGE＝∠AGF＝90°，
∵AB⊥CE，AD⊥CF，
∴∠B＝∠D＝90°＝∠C，
∴四边形ABCD是矩形，
∵∠CEF，∠CFE外角平分线交于点A，
∴AB＝AG，AD＝AG，
∴AB＝AD，
∴四边形ABCD是正方形；
（2）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD＝6，
在Rt△ABE和Rt△AGE中，，
∴Rt△ABE≌Rt△AGE（HL），
∴BE＝BG，
同理：Rt△ADF≌Rt△AGF（HL），
∴DF＝GF，∴BE+DF＝GE+GF＝EF，
设BE＝x，DF＝y，则CE＝BC﹣BE＝6﹣x，CF＝CD﹣DF＝6﹣y，EF＝x+y，
在Rt△CEF中，由勾股定理得：（6﹣x）2+（6﹣y）2＝（x+y）2，
整理得：xy+6（x+y）＝36，
∴（BE+6）（DF+6）＝（x+6）（y+6）＝xy+6（x+y）+36＝36+36＝72；
（3）解：如图2所示：
把△PQH沿PQ翻折得△PQD，把△PRH沿PR翻折得△PRM，延长DQ、MR交于点G，
由（1）（2）得：四边形PMGD是正方形，MR+DQ＝QR，MR＝HR，DQ＝HQ＝2，
∴MG＝DG＝MP＝PH＝6，
∴GQ＝4，
设MR＝HR＝a，则GR＝6﹣a，QR＝a+2，
在Rt△GQR中，由勾股定理得：（6﹣a）2+42＝（2+a）2，
解得：a＝3，即HR＝3；
故答案为：3．
27．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，∠BAD＝2∠DAC，∠ABC＝2∠DBC，
∴∠BAD+∠ABC＝180°，
∵∠CAD＝∠DBC，
∴∠BAD＝∠ABC，
∴2∠BAD＝180°，∴∠BAD＝90°，
∴四边形ABCD是正方形；
（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，AC＝BD，CO＝AC，DO＝BD，
∴∠COB＝∠DOC＝90°，CO＝DO，
∵DH⊥CE，垂足为H，
∴∠DHE＝90°，∠EDH+∠DEH＝90°，
∵∠ECO+∠DEH＝90°，
∴∠ECO＝∠EDH，
在△ECO和△FDO中，，
∴△ECO≌△FDO（ASA），
∴OE＝OF．
28．解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAO＝∠AOC＝90°，
∵E（0，2），H（﹣2，6），
∴AH＝OE＝2，
∵四边形EFGH是菱形，
∴EH＝EF，
在Rt△AHE和Rt△OEF中，
，
∴Rt△AHE≌Rt△OEF，
∴∠AEH＝∠EFO，
∵∠EFO+∠FEO＝90°，
∴∠AEH+∠FEO＝90°，
∴∠HEF＝90°，∵四边形EFGH是菱形，
∴四边形EFGH是正方形．
（2）连接EG交FH于K．
∵HE＝EF，
∴AH2+AE2＝EO2+OF2，
∴AH2+16＝4+25，
∴AH＝，
∴H（﹣，6），
∵KH＝KF，
∴K（﹣，3），
∵GK＝KE，
∴G（﹣5﹣，4）．