1.1 集合的概念课件-2021-2022学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册(共46张PPT)

(共46张PPT)
1.1　集合的概念
【目标认知】
课程标准
学习目标
1.通过实例,了解集合的含义,理解元素与集合的属于关系.
1.理解集合的含义:
(1)通过实例,
知道什么是集合,
并能判断一组对象能否构成集合;(2)知道集合中的元素具有确定性、无序性和互异性.
2.理解集合的表示:
(1)能举例说明集合的列举法与描述法,并能通过比较说明它们各自的特点;(2)能根据元素的特征选择恰当的方法表示集合,体会用集合语言表述数学内容的作用;
课程标准
学习目标
2.针对具体问题,能在自然语言和图形语言的基础上,用符号语言刻画集合
(3)知道常用数集的记法;(4)能根据具体问题,在自然语言和图形语言的基础上,用符号语言刻画集合;(5)能正确进行自然语言、图形语言、符号语言三者之间的相互转化,并能准确运用它们描述不同的具体问题.
3.理解元素与集合的关系:
(1)会用符号表示元素与集合的关系;(2)能说明元素A与由元素A组成的集合{A}的差异,即A∈{A},A与{A}不同
1.元素与集合的概念:
一般地,我们把研究对象统称为　　　　,把一些元素　　　　　　　叫作集合,简称为集.?
2.集合相等:
只要构成两个集合的　　　　是一样的,我们就称这两个集合是相等的.?
知识点一　元素与集合的概念
元素
元素
组成的总体
课
前
预
习
3.符号表示:
常用大写拉丁字母A,B,C,…表示集合,用小写拉丁字母a,b,c,…表示集合中的元素.
4.元素与集合的关系:
如果a是集合A的元素,就说a　　　　集合A,记作　　　　;
如果　　　　　　　　　　　,就说a不属于集合A,记作　　　　.?
属于
a∈A
课
前
预
习
a不是集合A的元素
a?A
6.集合中元素的三个特性为:　　　　　、　　　　　、无序性.?
常见的数集
符号表示
自然数集
　　　?
正整数集
　　　或　　　?
整数集
　　　?
有理数集
　　　?
实数集
　　　?
5.常用数集及其记法:
N
N
课
前
预
习
N+
Z
Q
R
确定性
互异性
【诊断分析】
1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)中国著名的科学家可以组成一个集合.
(　　)
(2)
2022年参加北京冬奥会短道速滑的运动员可以组成一个集合.(　　)
×
课
前
预
习
[解析]
“中国著名的科学家”是不确定的,不能组成集合.
√
[解析]
“2022年参加北京冬奥会短道速滑的运动员”是确定的,有一个明确的标准,可以组成集合.
(3)不超过2019的非负数可以组成一个集合.
(　　)
课
前
预
习
√
[解析]任给一个实数x,可以明确地判断x是不是“不超过2019的非负数”,即“0≤x≤2019”与“x<0或x>2019”,两者必居其一,且仅居其一,故“不超过2019的非负数”能组成一个集合.
2.某中学2021级高一年级8个班组成一个集合A.
(1)高一(2)班、高二(8)班是集合A中的元素吗?
(2)若a∈A,b∈A,则元素a,b有什么关系?为什么?
课
前
预
习
解:(1)
因为集合A是由2021级高一年级8个班组成的,所以高一(2)班是集合A中的元素,高二(8)班不是集合A中的元素.
(2)
a,b是高一年级8个班中两个不同的班.因为集合A中的元素具有互异性,所以a与b是不同的班.
知识点二　集合的表示法
课
前
预
习
1.列举法:
把集合的所有元素一一列举出来,并用　　　　　　　括起来表示集合的方法叫作列举法(注意元素间要用“,”隔开,如{-1,0,1,2}).?
2.描述法:
设A是一个集合,把集合A中所有具有　　　　特征P(x)的元素x所组成的集合表示为　　　　　　,这种表示集合的方法称为描述法.描述法也可以写成
　　　　　　　或　　　　　　　.?
花括号“{　}”
共同
{x∈A|P(x)}
{x∈A:P(x)}
{x∈A;P(x)}
【诊断分析】
1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)方程(x-1)(x+2)=0的实数根组成的集合只能用列举法表示为{1,-2}.
(　　)
(2)由抛物线y=x2+4上的横坐标和纵坐标都是自然数的点组成的集合用描述法表示为{(x,y)|y=x2+4,x∈N}.
(　　)
×
课
前
预
习
[解析]方程(x-1)(x+2)=0的实数根为-2,1,可以用列举法表示为{-2,1},还可以用描述法表示为{x|(x-1)(x+2)=0},所以(1)错误.
√
[解析]由抛物线y=x2+4上的横坐标和纵坐标都是自然数的点组成的集合用描述法表示为{(x,y)|y=x2+4,x∈N},(2)正确.
2.(1)集合{x∈R|-1(2)集合{y|y=x-1}与集合{(x,y)|y=x-1}表示同一个集合吗?为什么?
课
前
预
习
解:(1)
表示同一个集合.虽然两个集合的代表元素的符号(字母)不同,但实质上它们均表示-1到2之间的实数,所以它们表示同一个集合.
(2)
不表示同一个集合.因为集合{y|y=x-1}是数集,集合{(x,y)|y=x-1}是点集,所以它们不表示同一个集合.
1.集合概念的疑难点
(1)对于集合我们一定要从整体的角度来看待它;
(2)构成集合的对象必须是确定的且不同的;
(3)元素与集合的关系是“属于”或“不属于”关系.
梳理
2.集合的表示法中的问题
(1){　}表示“所有的”“全体的”,不能省略,表示集合时,在花括号内不能再写上“全体、所有的”等词语.如实数集可以写成{实数},而不能写成{实数集}或{全体实数};另外,集合中的元素之间用“,”隔开,而不能用“、”,{1,2,3}不能写成{1、2、3}.
(2)用列举法表示集合时,不考虑元素的顺序;某些集合用描述法表示时,形式不是唯一的.
(3)一个集合用什么方法表示,由集合元素的特点而定.
重难点梳理
例1
(1)下列各项中,不可以组成集合的是(　　)
A.所有的正数
B.方程x2=1的实数根
C.接近于0的数
D.不等于0的偶数
探究点一　集合的意义
课堂探究
C
[解析]集合中的元素需满足三个要素:确定性、互异性、无序性.“接近于0的数”是不确定的,故接近于0的数不能组成集合,故选C.
(2)下列对象能组成集合的是(　　)
A.的所有近似值
B.红星中学高三(2)班中学习好的所有
同学
C.2020年全国高考数学试卷中所有难题
D.2020年获得共和国勋章的人
D
[解析]D中的对象都是确定的,而且是不同的,因此D中对象可以组成集合.A中的“近似值”,B中的“学习好”,C中的“难题”标准不明确,不满足确定性,因此A,B,C中的对象都不能组成集合.
课堂探究
例2
(1)
给出下列关系:①∈R;②?Q;③|-3|?N;④|-|∈Q;⑤0?N;⑥3∈N
.其中正确的个数为
(　　)
A.1
B.2
C.3
D.4
C
[解析]是实数,是无理数,|-3|
=3是自然数,|-|是无理数,0是自然数,3是正整数,故①②⑥正确,③④⑤不正确,故选C.
课堂探究
(2)已知集合A是由形如m+n(其中m,n∈Z)的数组成的,则下列属于集合A的数是　　　　.(填序号)?
①2-;②5;③;④+1.
①②
[解析]2-中,m=2,n=-1,符合条件;5=5+×0中,m=5,n=0,符合条件;
==-中,m=,n=-,不符合条件;
+1中,m=1,n=,不符合条件.故属于集合A的数的序号是①②.
课堂探究
变式
(1)由所有能被3整除的数组成的集合为M,则下列数中一定是集合M的元素的是　　　　
.(填序号)?
①能被2整除的数;②能被6整除的数;③能被-3整除的数;④能被5整除的数.
②③
[解析]
能被2整除的数不一定能被3整除,能被6整除的数一定能被3整除,能被-3整除的数一定能被3整除,能被5整除的数不一定能被3整除,所以一定是集合M的元素的是②③.
课堂探究
(2)已知不等式3x+2>0的解集为M.
①试判断元素-1,0与集合M的关系;
②若a-1是集合M中的元素,求a的取值范围.
解:①∵3×(-1)+2=-1<0,∴-1不是集合M中的元素,即-1?M.
又3×0+2=2>0,∴0是集合M中的元素,即0∈M.
②∵a-1∈M,∴3(a-1)+2>0,∴3a>1,∴a>.
课堂探究
[小结]
(1)判断元素能否构成集合,关键是集合中元素的确定性,即能否找到一个明确的评判标准来衡量元素是否为集合中的元素,若标准明确则可以构成集合,否则不可以.
(2)判断一个元素是否属于某一集合,就是判断这个元素是否满足该集合元素的条件.若满足,就是“属于”关系;若不满足,就是“不属于”关系.特别注意,符号“∈”与“?”只表示元素与集合的关系.
课堂探究
拓展
设集合M满足:①2?M;②若x∈M,则∈M.已知3∈M,则M中必含有的元素是　　　　.?
-2,,,3
[解析]
由3∈M,得=-2∈M;由-2∈M,得=∈M;由∈M,得=∈M;由∈M,得=3∈M.所以M中必含有的元素是-2,,,3.
课堂探究
例3
已知集合A中含有三个元素x,x+1,1,集合B中含有三个元素x,x2+x,x2,且A与B中的元素相同,求实数x的值.
探究点二　集合中元素的特性
解:∵A与B中的元素相同,∴或解得x=±1.
x=1时,不符合集合元素的互异性,∴x=-1.
课堂探究
变式
(多选题)[2021·河北沧州一中高一月考]
已知集合M={-2,3x2+3x-4,x2+x-4},若2∈M,则满足条件的实数x可能为
(　　)
A.2
B.-2
C.-3
D.1
AC
[解析]
由题意得,2=3x2+3x-4或2=x2+x-4.若2=3x2+3x-4,即x2+x-2=0,则x=-2或x=1,当x=-2时,x2+x-4=-2,与集合中元素的互异性矛盾,舍去;当x=1时,x2+x-4=-2,与集合中元素的互异性矛盾,舍去.若2=x2+x-4,即x2+x-6=0,则x=2或x=
-3,经验证x=2或x=-3为满足条件的实数x.故选AC.
课堂探究
[小结]
(1)对于求集合中字母参数的问题,常根据集合中元素的确定性得出字母的所有可能取值,再利用集合中元素的互异性进行检验.
(2)在利用集合中元素的特性解题时常用分类讨论思想,注意分类的标准要
明确.
课堂探究
探究点三　集合的表示
角度一　列举法表示集合
[探索]
观察下列集合:
(1)中国古代四大发明组成的集合;
(2)20的所有正因数组成的集合.
上述两个集合中的元素能一一列举出来吗?
解:能.(1)中的元素为造纸术、印刷术、指南针、火药.
(2)中的元素为1,2,4,5,10,20.
课堂探究
例4
用列举法表示下列集合.
(1)15的正约数组成的集合;
(2)方程x2=x的所有实数解组成的集合;
(3)直线y=x与y=2x-1的交点组成的集合.
解:(1)
15的正约数组成的集合为{1,3,5,15}.
(2)方程x2=x的解是x=0或x=1,所以方程的所有实数解组成的集合为{0,1}.
(3)由解得即两直线的交点为(1,1),故所求集合用列举法表示为{(1,1)}.
课堂探究
变式
(1)若集合A={(4,2),(1,3)},则集合A中元素的个数是
(　　)
A.1
B.2
C.3
D.4
B
[解析]
集合A={(4,2),(1,3)}中有两个元素(4,2)和(1,3),故选B.
课堂探究
(2)定义集合A,B的一种运算:A
B={x|x=x1+x2,其中x1∈A,x2∈B},若A={1,2,3},
B={1,2},试用列举法表示出集合A
B.
解:当x1=1时,x2可以取1或2,则x1+x2=2或3;
当x1=2时,x2可以取1或2,则x1+x2=3或4;
当x1=3时,x2可以取1或2,则x1+x2=4或5.
∴A
B={2,3,4,5}.
课堂探究
[小结]
用列举法表示集合应注意的三点:
(1)应先弄清集合中的元素是什么,是数还是点,还是其他元素;
(2)集合中的元素一定要写全,但不能重复;
(3)若集合中的元素是点时,则应将有序实数对用小括号括起来表示一个元素.
课堂探究
角度二　描述法表示集合
[探索]
观察下列集合:
①不等式x-2≥3的解组成的集合;
②函数y=x2-1的图像上的所有点组成的集合.
(1)这两个集合能用列举法表示吗?
(2)如何表示这两个集合?
解:(1)不能.
(2)利用描述法.
课堂探究
例5
用描述法表示下列集合.
(1)二次函数y=x2+1的函数值组成的集合A;
(2)被3除余2的正整数组成的集合B;
(3)正奇数组成的集合C.
解:(1)
函数值组成的集合就是y的取值集合,所以A={y|y=x2+1,x∈R}.
(2)
设被3除余2的正整数为x,则x=3n+2,n∈N,所以B={x|x=3n+2,n∈N}.
(3)
正奇数x可用式子x=2n-1,n∈N
表示,所以C={x|x=2n-1,n∈N
}.
课堂探究
变式
用适当的方法表示下列集合:
(1)大于2且小于5的有理数组成的集合;
(2)24的所有正因数组成的集合;
(3)平面直角坐标系内与坐标轴距离相等的点的集合.
解:(1)
用描述法表示为{x|2(2)
用列举法表示为{1,2,3,4,6,8,12,24}.
(3)
在平面直角坐标系内,点(x,y)到x轴的距离为|y|,到y轴的距离为|x|,所以该集合用描述法表示为{(x,y)||y|=|x|}.
课堂探究
[素养小结]
(1)用描述法表示集合,应先弄清集合的属性,是数集、点集还是其他的类型.一般地,数集用一个字母代表其元素,而点集则用一个有序实数对来代表其元素.
(2)若描述部分出现元素记号以外的字母时,要对新字母说明其含义或指出其取值范围.
课堂探究
拓展
(多选题)已知集合A={x|(a2-1)x2+(a+1)x+1=0}中有且仅有一个元素,那么a的可能取值为
(　　)
A.-1
B.1
C.
D.0
BC
[解析]
对于方程(a2-1)x2+(a+1)x+1=0,当a2-1=0,即a2=1时,解得a=±1,当a=1时,代入方程解得x=-,满足题意;当a=-1时,方程无解,不满足题意;当a2-1≠0,即a≠±1时,由Δ=(a+1)2-4(a2-1)=0,整理可得(3a-5)(a+1)=0,得a=,满足题意.故选BC.
课堂探究
1.列举法与描述法的选择
当集合的元素个数很少(很容易写出全部元素)时,常用列举法表示集合;当集合的元素个数较多(不易写出全部元素)时,常用描述法表示集合.对一些元素有规律的无限集,也可用列举法表示.如正奇数集也可写为{1,3,5,7,9,…}.但值得注意的是,并不是每一个集合都可以用这两种方法表示出来.
2.元素分析法
集合离不开元素,分析元素是解决集合问题的核心,元素分析法就是抓住元素进行分析,即元素是什么?
课堂探究
例
分别指出下列集合中的元素:
(1){x|y=x2-1,x∈R};
(2){y|y=x2-1,x∈R};
(3){(x,y)|y=x2-1,x∈R}.
解:(1)中的集合是由函数的自变量组成的;
(2)中的集合是由函数的函数值组成的;
(3)中的集合是由抛物线上的点组成的.
课堂探究
3.利用集合中元素的特性解决与方程有关的问题
集合与方程有着密切联系,利用集合中元素的特性,即元素的互异性,可以求出集合中的参数的值.
课堂探究
例
若集合A={-1,3},集合B={x|x2+ax+b=0},且A与B相等,求实数a,b的值.
解:因为A与B相等,所以方程x2+ax+b=0的解集是{-1,3},那么-1,3是方程x2+ax+b=0的根,则解得
课堂探究
4.常用列举法和描述法表示集合
(1)根据要表示的集合元素的特点,选择适当方法表示集合,一般要符合最简
原则.
(2)一般情况下,元素个数无限的集合不宜用列举法表示,描述法既可以表示元素个数无限的集合,也可以表示元素个数有限的集合.
课堂探究
例
用适当的方法表示下列集合:
(1)方程x(x2+2x+1)=0的解集;
(2)大于0且小于1000的奇数构成的集合;
(3)不等式x-2>6的解的集合;
(4)大于0.5且不大于6的自然数构成的集合;
(5)方程组的解集.
解:(1){0,-1}.
(2){x|x=2n+1,且x<1000,n∈N}.
(3){x|x>8}.
(4){1,2,3,4,5,6}.
(5)解集用描述法表示为,
解集用列举法表示为{(4,-1)}.
课堂探究
1.若集合A只含有元素a(a≠0),则下列各式正确的是
(　　)
A.0∈A
B.a?A
C.a∈A
D.a=A
C
[解析]
∵A中只有一个元素a,
∴0?A,a∈A,元素a与集合A的关系不应该用“=”,故选C.
课堂探究
2.集合{x∈N|x<5}的另一种表示方法是
(　　)
A.{0,1,2,3,4}
B.{1,2,3,4}
C.{0,1,2,3,4,5}
D.{1,2,3,4,5}
课
堂
练习
A
[解析]
∵x∈N,且x<5,∴x的值为0,1,2,3,4,故集合用列举法表示为{0,1,2,3,4}.
3.用描述法表示图1-1-1中阴影部分(包括边界)内的点的坐标的集合是
(　　)
A.{-2≤x≤0且-2≤y≤0}
B.{(x,y)|-2≤x≤0且-2≤y≤0}
C.{(x,y)|-2≤x≤0且-2≤y<0}
D.{(x,y)|-2≤x<0或-2≤y≤0}
B
[解析]
由阴影知,-2≤x≤0且-2≤y≤0,∴{(x,y)|-2≤x≤0且-2≤y≤0}表示题图中阴影部分的点的坐标的集合,故选B.
图1-1-1
课
堂
练习
4.(多选题)下列各对象中,能够组成一个集合的是
(　
　)
A.函数y=2x(x∈{1,2,3})的函数值
B.接近1的有理数
C.河北省参加2021年高考报名的学生
D.小于0的实数
ACD
[解析]
根据集合的概念可知“函数y=2x(x∈{1,2,3})的函数值”“河北省参加2021年高考报名的学生”“小于0的实数”能够组成一个集合.故选ACD.
课
堂
练习
5.[2021·广西钦州一中高一月考]
若a∈{1,a2-2a+2},则实数a的值为　　　.?
2
[解析]
因为a∈{1,a2-2a+2},所以a=1或a=a2-2a+2.当a=1时,a2-2a+2=1,与集合元素的互异性矛盾,舍去;当a≠1,且a=a2-2a+2时,可得a=2.
课
堂
练习