2021—2022学年湘教版八年级数学上册2.4　线段垂直平分线的性质和判定练习题 （word版含答案）

2.4　第1课时　线段垂直平分线的性质和判定
【基础练习】
知识点
1　线段垂直平分线的性质
1.如图1,已知直线l垂直平分线段AB,P是直线l上一点,已知PA=1,则PB
(　　)
图1
A.等于1
B.小于1
C.大于1
D.不能确定
2.如图2,在△ABC中,AC=10,AB的垂直平分线交边AB于点D,交边AC于点E.若BE=7,则CE的长为
(　　)
图2
A.2
B.3
C.6
D.7
3.[2020·益阳]
如图3,在△ABC中,AC的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E,CD平分
∠ACB.若∠A=50°,则∠B的度数为
(　　)
图3
A.25°
B.30°
C.35°
D.40°
4.[2020·十堰]
如图4,在△ABC中,DE是AC的垂直平分线.若AE=3,△ABD的周长为13,则△ABC的周长为　　　　.?
图4
5.如图5,直线MN和直线DE分别是线段AB,BC的垂直平分线,它们相交于点P,则PA和PC相等吗?请说明理由.
图5
知识点
2　线段垂直平分线的判定
6.如图6,P是△ABC内的一点.若PA=PB,则
(　　)
图6
A.点P在AB的垂直平分线上
B.点P在AC的垂直平分线上
C.点P在BC的垂直平分线上
D.不能确定
7.如图7,在△ABC中,D为BC上一点,且BC=BD+AD,则点D在线段　　　　的垂直平分线上.?
图7
8.如图8所示,在△ABC中,∠A=30°,∠C=90°,BD平分∠ABC交AC于点D.
求证:点D在线段AB的垂直平分线上.
图8
9.如图9所示,AB=AC,DB=DC,E是AD上一点.求证:BE=CE.
图9
【能力提升】
10.如图10所示,在△ABC中,∠A=50°,AB=AC,AB的垂直平分线DE交AC于点D,交AB于点E,则∠DBC的度数是
(　　)
图10
A.15°
B.20°
C.25°
D.30°
11.[2020·南京]
如图11,线段AB,BC的垂直平分线l1,l2相交于点O.若∠1=39°,则∠AOC=
　　　　.?
图11
12.如图12所示,AD平分∠BAC交BC于点D,EF垂直平分AD,交AD于点E,交BC的延长线于点F,连接AF.
求证:∠B=∠CAF.
图12
13.如图13,在△ABC中,∠ACB=90°,D是BC延长线上的一点,EH是BD的垂直平分线,DE交AC于点F.求证:点E在AF的垂直平分线上.
图13
14.如图14所示,在△ABC中,MP和NQ分别垂直平分AB和AC,MP分别交AB,BC于M,P两点,NQ分别交AC,BC于N,Q两点,连接AP,AQ.
(1)若△APQ的周长为18,求BC的长;
(2)若∠BAC=110°,求∠PAQ的度数.
图14
15.在△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线与AC所在直线相交所成锐角为40°,求此等腰三角形顶角的度数.
　　　　
答案
1.A
2.B　[解析]
∵DE垂直平分AB,∴AE=BE,
∴CE=AC-AE=AC-BE=10-7=3.
3.B　[解析]
∵DE垂直平分AC,
∴AD=CD,∴∠A=∠ACD.
∵CD平分∠ACB,
∴∠ACB=2∠ACD=100°,
∴∠B=180°-∠A-∠ACB=180°-50°-100°=30°.
故选B.
4.19　[解析]
∵DE是AC的垂直平分线,AE=3,∴AC=2AE=6,AD=DC.
∵△ABD的周长=AB+BD+AD=13,
∴△ABC的周长=AB+BC+AC=AB+BD+AD+AC=13+6=19.
故答案为19.
5.解:PA=PC.
理由:如图,连接PB.
∵直线MN和直线DE分别是线段AB,BC的垂直平分线,
∴PA=PB,PC=PB,
∴PA=PC.
6.A　7.AC
8.证明:∵∠C=90°,∠A=30°,
∴∠ABC=60°.
∵BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠ABC=×60°=30°,
∴∠A=∠ABD,
∴DA=DB,
∴点D在线段AB的垂直平分线上.
9.证明:连接BC.
∵AB=AC,
∴点A在BC的垂直平分线上.
∵DB=DC,
∴点D在BC的垂直平分线上,
∴AD是BC的垂直平分线.
∵E是AD上一点,
∴BE=CE.
10.A　[解析]
∵∠A=50°,AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB=65°.
∵DE垂直平分AB,∴DB=DA,
∴∠ABD=∠A=50°,
∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=65°-50°=15°.故选A.
11.78°　[解析]
如图,连接BO并延长到点P.
∵线段AB,BC的垂直平分线l1,l2相交于点O,
∴OA=OB=OC,
∠BDO=∠BEO=90°,
∴∠DOE+∠ABC=180°.
又∵∠DOE+∠1=180°,
∴∠ABC=∠1=39°.
∵OA=OB=OC,
∴∠A=∠ABO,∠OBC=∠C.
∵∠AOP=∠A+∠ABO,∠COP=∠C+∠OBC,
∴∠AOC=∠AOP+∠COP=∠A+∠ABC+∠C=2×39°=78°.
故答案为78°.
12.证明:∵EF垂直平分AD,
∴AF=DF,
∴∠ADF=∠DAF.
∵AD平分∠BAC,
∴∠BAD=∠CAD.
∵∠ADF=∠B+∠BAD,∠DAF=∠CAF+∠CAD,∴∠B=∠CAF.
13.证明:∵EH垂直平分BD,
∴BE=DE,
∴∠BEH=∠DEH.
∵∠ACB=90°,∴AC⊥BD,
∴EH∥AC,
∴∠BEH=∠BAC,∠DEH=∠AFE,
∴∠EAF=∠AFE,
∴AE=EF,
∴点E在AF的垂直平分线上.
14.解:(1)∵MP和NQ分别垂直平分AB和AC,
∴AP=BP,AQ=CQ.
∵△APQ的周长=AP+PQ+AQ=18,
∴BP+PQ+CQ=AP+PQ+AQ=18,
∴BC=18.
(2)∵∠BAC=110°,
∴∠B+∠C=70°.
∵AP=BP,AQ=CQ,
∴∠PAB=∠B,∠QAC=∠C,
∴∠PAB+∠QAC=∠B+∠C=70°,
∴∠PAQ=40°.
15.解:①如图①,当AB的垂直平分线与AC相交于点D时,∠A=90°-40°=50°;
②如图②,当AB的垂直平分线与CA的延长线相交于点D时,∠DAB=90°-40°=50°,
∴∠BAC=130°.
综上,此等腰三角形顶角的度数为50°或130°.