2021——2022学年湘教版九年级数学上册3.4.2与相似三角形的三线有关的性质练习题（word版、含解析）

3.4.2　与相似三角形的三线有关的性质
【基础练习】
知识点
1　相似三角形对应高的比等于相似比
1.若△ABC∽△DEF,相似比为3∶2,则对应高的比为
(　　)
A.3∶2
B.3∶5
C.9∶4
D.4∶9
2.已知△ABC∽△A'B'C',对应高=,若AC=3.6cm,则A'C'=　　　　cm.?
3.如图,光源P在横杆AB的正上方,AB在灯光下的影子为CD,AB∥CD,AB=2m,CD=6m,点P到CD的距离是2.7m,求AB与CD间的距离.
知识点
2　相似三角形对应的角平分线的比等于相似比
4.已知△ABC∽△A'B'C',且相似比为3∶5,则△ABC与△A'B'C'的对应角平分线的比为
(　　)
A.3∶5
B.5∶3
C.9∶25
D.25∶9
5.如图所示,△ABC∽△A1B1C1,AD,A1D1分别是△ABC,△A1B1C1的角平分线,BC=6cm,B1C1=4cm,AD=3cm,则A1D1的长为　　　　cm.?
知识点
3　相似三角形对应边上的中线的比等于相似比
6.已知△ABC∽△DEF,若△ABC与△DEF的相似比为,则△ABC与△DEF对应边上的中线的比为
(　　)
A.
B.
C.
D.
7.如果两个相似三角形对应高之比为1∶2,那么它们的对应中线之比为
(　　)
A.1∶2
B.1∶3
C.1∶4
D.1∶8
8.如图,已知△ABC∽△A'B'C',BC=3.6cm,B'C'=6cm,AE是△ABC的一条中线,AE=2.4cm,求△A'B'C'的中线A'E'的长.
【能力提升】
9.一张等腰三角形纸片,底边长15cm,底边上的高为22.5cm.现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为3cm的矩形纸条,如图1所示.已知剪得的纸条中有一张是正方形,则这张正方形纸条是
(　　)
图1
A.第4张
B.第5张
C.第6张
D.第7张
10.[2020·广西]
如图2,在△ABC中,BC=120,高AD=60,正方形EFGH的一边在BC上,点E,F分别在边AB,AC上,AD交EF于点N,则AN的长为
(　　)
图2
A.15
B.20
C.25
D.30
11.已知△ABC∽△A'B'C',对应中线的比为2?,且BC边上的高是5,则B'C'边上的高为　　　　.?
12.如图3,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D是AC边上一点,∠CBD=∠A,E,F分别是AB,BD的中点.若AB=5,AC=4,则CF∶CE=　　　　.?
图3
13.[教材练习第2题变式]
如图4,△ABC∽△A'B'C',AD,BE分别是△ABC的高和角平分线,A'D',B'E'分别是△A'B'C'的高和角平分线,且AD=6,A'D'=5,B'E'=10.5,求BE的长.
图4
14.如图5,在四边形ABCD中,AC平分∠BAD,∠ABC=∠ACD=90°,BM⊥AC于点M,CN⊥AD于点N,且AC=15,CN=10,AD=20.求BM的长.
图5
15.一块直角三角形木板的一条直角边AB长为1.5m,面积为1.5m2,要把它加工成一个面积最大的正方形桌面.小明设计了如图6①所示的加工方案,小华设计了如图6②所示的加工方案,他们谁设计的加工方案符合要求?
图6
答案
1.A
2.2.7　[解析]∵△ABC∽△A'B'C',
∴=,即=,∴A'C'=2.7cm.
3.解:因为AB∥CD,所以△PAB∽△PCD.
设AB与CD间的距离是xm,
根据相似三角形对应高的比等于相似比,得
=,即=,
解得x=1.8.
答:AB与CD间的距离是1.8m.
4.A　5.2　6.A
7.A　[解析]∵两个相似三角形对应高之比为1∶2,∴这两个相似三角形的相似比为1∶2,∴它们的对应中线之比为1∶2.
8.解:∵△ABC∽△A'B'C',∴=.
∵BC=3.6cm,B'C'=6cm,AE=2.4cm,
∴=,解得A'E'=4(cm).
∴△A'B'C'的中线A'E'的长为4cm.
9.C　[解析]
已知剪得的纸条中有一张是正方形,则正方形中平行于底边的边长是3cm,所以根据相似三角形的性质可设从顶点到这个正方形上面一条边的距离为xcm,则=,解得x=4.5,22.5-x=18.因为18÷3=6,所以是第6张.
10.B　[解析]
设正方形EFGH的边长为x.
∵四边形EFGH是正方形,
∴∠HEF=∠EHG=90°,EF∥BC,
∴△AEF∽△ABC.
∵AD是△ABC的高,
∴∠HDN=90°,
∴四边形EHDN是矩形,
∴DN=EH=x.
∵AD=60,
∴AN=60-x.
∵△AEF∽△ABC,
∴=.
即=,
解得x=40,
∴AN=60-x=60-40=20.
11.7.5　[解析]
相似三角形对应中线的比=对应高的比,设所求高为x,则=,解得x=7.5.
12.3∶4　[解析]∵∠BCD=∠ACB,∠CBD=∠A,∴△BDC∽△ABC,∴CF∶CE=BC∶AC.∵∠ACB=90°,AB=5,AC=4,∴由勾股定理,得BC=3,∴CF∶CE=3∶4.
13.解:∵△ABC∽△A'B'C',AD,BE分别是△ABC的高和角平分线,A'D',B'E'分别是△A'B'C'的高和角平分线,
∴=.
∵AD=6,A'D'=5,B'E'=10.5,
∴=,解得BE=12.6.
故BE的长为12.6.
14.解:∵AC平分∠BAD,∴∠BAC=∠CAD.
又∵∠ABC=∠ACD=90°,∴△ABC∽△ACD.
又∵BM⊥AC,CN⊥AD,∴=.
又∵AC=15,CN=10,AD=20,
∴=,解得BM=7.5.
故BM的长为7.5.
15.解:小明的设计方案:设正方形DBFE的边长为xm.
由×BC×1.5=1.5,解得BC=2(m).
因为四边形DBFE为正方形,
所以DE∥AB,所以△CDE∽△CBA,
所以=,即=,解得x=.
小华的设计方案:设正方形DGFE的边长为ym,过点B作AC边上的高BH交DE于点M.
由(1)得BC=2m.
在△ABC中,由勾股定理,得AC=2.5m,
由×AC·BH=1.5,得BH=1.2(m).
因为四边形DGFE为正方形,所以DE∥AC,
所以△BDE∽△BAC,
所以=,即=,解得y=.
因为>,所以x>y,所以x2>y2.
故采用小明设计的方案加工出的桌面的面积最大,他设计的加工方案符合要求.