2021—2022学年湘教版九年级数学上册3.4.1 相似三角形的判定定理1练习题 （word版、含答案）

相似三角形的判定定理
【基础练习】
知识点　两角分别相等的两个三角形相似
1.在△ABC和△A'B'C'中,若∠A=68°,∠B=40°,∠A'=68°,∠C'=72°,则这两个三角形(　　)
A.不相似
B.相似
C.全等
D.无法确定
2.下列说法中,正确的有
(　　)
(1)有一个顶角相等的两个等腰三角形相似;
(2)有一个底角相等的两个等腰三角形相似;
(3)有一个角相等的两个等腰三角形相似;
(4)有一个角为60°的两个等腰三角形相似.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
3.结合图形及所给条件,图17中无相似三角形的是
(　　)
图17
4.如图18,在△ABC中,D是BC上的一点,∠ADC=∠BAC,则下列结论中正确的是
(　　)
图18
A.△ABC∽△DAB
B.△ABC∽△DAC
C.△ABD∽△ACD
D.以上都不对
5.如图19,在△ABC中,P为AB上的一点,补充一个条件,能使△APC∽△ACB,则这个条件可以是　　　　　　　　.?
图19
6.如图20,锐角三角形ABC的边AB和AC上的高线CE和BF相交于点D,请写出图中的一对相似三角形:　　　　　　　　.?
图20
图21
7.如图21,AE,BD交于点C,BA⊥AE于点A,ED⊥BD于点D.若AC=4,AB=3,CD=2,则CE=　　　　.?
8.如图22,∠1=∠2=∠3.求证:△ABC∽△ADE.
图22
9.如图23,在正方形ABCD中,点E,F,G分别在AB,BC,CD上,且∠EFG=90°.
求证:△EBF∽△FCG.
图23
10.如图24,在Rt△ABC与Rt△DEF中,∠C=90°,∠F=90°.若∠A=∠D,AB=5,BC=4,DE=4.5,求DF的长.
图24
【能力提升】
11.如图25,在△ABC中,DE∥BC,∠B=∠ACD,则图中相似三角形有
(　　)
A.2对
　B.3对
　C.4对
　D.5对
图25
图26
12.如图26,已知△ABC和△ADE均为等边三角形,点D在BC上,DE与AC相交于点F.若AB=9,BD=3,则CF的长为
(　　)
A.1
　B.2
　C.3
　
D.4
13.如图27,在菱形ABCD中,点M,N在AC上,ME⊥AD于点E,NF⊥AB于点F.若NF=NM=2,ME=3,则AN的长为
(　　)
图27
A.3
　
B.4
　
C.5
　D.6
14.如图28,在△ABC中,D为AB边上一点,且∠BCD=∠A,已知BC=2,AB=3,则BD=　　　　.
图28
15.如图29,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD是边AB上的高.
(1)求证:AC2=AD·AB;
(2)若BD=2,AC=2,求AD的长.
图29
16.[2019·岳阳]
如图30,正方形ABCD中,M为BC上一点,F是AM的中点,EF⊥AM,垂足为F,交AD的延长线于点E,交DC于点N.
(1)求证:△ABM∽△EFA;
(2)若AB=12,BM=5,求DE的长.
图30
17.如图31,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°.求证:=.
图31
答案
1.B　2.C　3.C
4.B　[解析]∵∠ADC=∠BAC,∠C=∠C,∴△ABC∽△DAC.
5.∠ACP=∠B(答案不唯一)
6.答案不唯一,如△ABF∽△DBE或△ACE∽△DCF或△EDB∽△FDC
7.2.5　[解析]∵BA⊥AE,∴△ABC是直角三角形,∴BC===5.∵BA⊥AE,ED⊥BD,∴∠A=∠D=90°.又∵∠ACB=∠DCE,∴△ABC∽△DEC,∴=,即=,∴EC=2.5.
8.证明:∵∠1=∠3,
∴∠1+∠DAC=∠3+∠DAC,
即∠BAC=∠DAE.
∵∠2=∠3,∠DOC=∠AOE,
∴∠C=∠E.
∴△ABC∽△ADE.
9.证明:∵四边形ABCD为正方形,
∴∠B=∠C=90°,∴∠BEF+∠BFE=90°.
∵∠EFG=90°,
∴∠BFE+∠CFG=90°,
∴∠BEF=∠CFG,
∴△EBF∽△FCG.
10.解:∵在Rt△ABC中,AB=5,BC=4,根据勾股定理,得AB2=AC2+BC2,
即52=AC2+42,解得AC=3.
∵∠C=90°,∠F=90°,∠A=∠D,
∴△ABC∽△DEF,
∴=.
∵AC=3,AB=5,DE=4.5,
∴=,
∴DF=2.7.
11.C　[解析]∵∠B=∠ACD,∠A=∠A,
∴△ACD∽△ABC.∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,∴△ACD∽△ADE.∵DE∥BC,
∴∠EDC=∠DCB.又∵∠B=∠DCE,
∴△CDE∽△BCD.故共4对.故选C.
12.B　[解析]
因为△ABC和△ADE均为等边三角形,所以∠B=∠ADF=60°,BC=AB=9,所以DC=6,所以∠BAD+∠ADB=∠CDF+∠ADB=120°,所以∠BAD=∠CDF.又因为∠B=∠C=60°,所以△BAD∽△CDF,所以AB∶DC=BD∶CF,即9∶6=3∶CF,所以CF=2.
13.B　[解析]∵ME⊥AD,NF⊥AB,∴∠AFN=∠AEM=90°.∵四边形ABCD是菱形,∴∠FAN=∠EAM,∴△FAN∽△EAM,∴=,即=,解得AN=4.
14.　[解析]∵∠A=∠BCD,∠ABC=∠CBD,∴△ABC∽△CBD,∴=,即=,∴BD=.故答案为.
15.解:(1)证明:∵CD是边AB上的高,∠ACB=90°,∴∠ADC=∠ACB=90°.
又∵∠A=∠A,
∴△ADC∽△ACB,
∴=,
∴AC2=AD·AB.
(2)设AD=x,则AB=AD+BD=x+2.
由(1)得AC2=AD·AB,
即(2)2=x(x+2),
整理得x2+2x-24=0,
解得x1=4,x2=-6(不合题意,舍去),
∴AD=4.
16.解:(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,
∴∠B=90°,AD∥BC,
∴∠AMB=∠EAF.
又∵EF⊥AM,
∴∠AFE=90°,
∴∠B=∠AFE,
∴△ABM∽△EFA.
(2)∵∠B=90°,AB=12,BM=5,
∴AM==13,AD=12.
∵F是AM的中点,
∴AF=AM=6.5.
∵△ABM∽△EFA,
∴=,即=,
∴AE=16.9,
∴DE=AE-AD=4.9.
17.证明:如图,过点B作BD平分∠ABC交AC于点D.
∵AB=AC,∠A=36°,
∴∠ABC=∠C=72°.
∵BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠DBC=∠ABC=36°,
从而∠A=∠ABD,∠BDC=∠A+∠ABD=72°,
∴AD=BD,∠BDC=∠C,∴BD=BC,∴AD=BC.
∵∠C=∠C,∠DBC=∠A=36°,
∴△CBD∽△CAB,∴=.
设AC=1,BC=x,
则AD=x,DC=1-x,
即=,整理得x2+x-1=0,
解得x1=,x2=-(不合题意,舍去),
∴BC=,∴=.