2021—2022学年湘教版九年级数学上册3.5相似三角形的应用练习题（word版、含解析）

3.5　相似三角形的应用
【基础练习】
知识点
1　利用相似三角形测量宽度
1.如图1是用卡钳测量容器内径的示意图,现量得卡钳上A,D两个端点之间的距离为10cm,==,则容器的内径是
(　　)
　　
图1
A.5cm
B.10cm
C.15cm
D.20cm
2.如图2,为估算某条河的宽度,在河对岸边选定一个目标点A,在近岸取点B,C,D,使得AB⊥BC,CD⊥BC,点E在BC上,并且点A,E,D在同一条直线上,若测得BE=20m,EC=10m,CD=20m,则河的宽度AB为
(　　)
图2
A.60m
B.40m
C.30m
D.20m
3.[教材习题3.5第3题变式]
如图3,一条河的两岸有一段是平行的,在河的南岸边每隔5米有一棵树,在河的北岸边每隔50米有一根电线杆,小丽站在离南岸15米的点P处看北岸,发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树遮住,并且在这两棵树之间还有四棵树,求河的宽度.
图3
知识点
2　利用相似三角形测量高度(深度)
4.[2020·天水]
如图4所示,某校数学兴趣小组利用标杆BE测量建筑物的高度,已知标杆BE高1.5m,测得AB=1.2m,BC=12.8m,则建筑物CD的高是
(　　)
图4
A.17.5m
B.17m
C.16.5m
D.18m
5.[2020·上海]
《九章算术》中记载了一种测量井深的方法.如图5(示意图)所示,在井口B处立一根垂直于井口的木杆BD,从木杆的顶端D观察井水水岸C,视线DC与井口的直径AB交于点E,如果测得AB=1.6米,BD=1米,BE=0.2米,那么AC为　　　　米.?
图5
6.图6是小孔成像实验,火焰AC通过小孔O照射到屏幕上,形成倒立的实像,像长BD=2cm,OA=60cm,OB=10cm,求火焰AC的长.
图6
7.[教材练习第2题变式]
如图7,小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB,他调整自己的位置,设法使斜边DF保持水平,并且边DE与点B在同一条直线上.已知纸板的两条边DE=70cm,EF=30cm,测得AC=m,BD=9m,求树高AB.
图7
【能力提升】
8.如图8所示,某一时刻,一电线杆AB的影子分别落在地面和墙壁上.此时,小明竖起1米高的标杆(PQ),量得其影长(QR)为0.5米,此时,他又量得电线杆AB落在地面上的影子长为3米,墙壁上的影子CD高为2米.小明利用这些数据很快算出了电线杆AB的高为
(　　)
图8
A.5米
B.6米
C.7米
D.8米
9.《九章算术》是我国古代数学名著,书中有这样一个问题:“今有勾五步,股十二步,问勾中容方几何?”其意思为:“今有直角三角形,勾(短直角边)长为5步,股(长直角边)长为12步,则该直角三角形能容纳的正方形边长最大是多少步?”该问题的答案是　　　　步.?
10.[2019·荆门]
如图9,为了测量一栋楼的高度OE,小明同学先在操场上A处放一面镜子,向后退到B处,恰好在镜子中看到楼的顶部E;再将镜子放到C处,然后后退到D处,恰好再次在镜子中看到楼的顶部E(点O,A,B,C,D在同一条直线上),测得AC=2m,BD=2.1m,如果小明眼睛距地面高度BF,DG为1.6m,试确定楼的高度OE.
图9
11.某校九年级(1)班的一节数学活动课安排了测量操场上旗杆AB的高度.甲、乙、丙三个学习小组设计的测量方案如图10(示意图)所示,甲组测得图中BO=20米,OD=3.4米,CD=1.7米;乙组测得图中CD=1.5米,同一时刻在阳光下的影长FD=0.9米,EB=6米;丙组测得图中EF∥AB,FH∥BD,BD=30米,EF=0.2米,人的臂长(FH)为0.6米.请你任选一种方案,利用试验数据求出该校旗杆的高度.
图10
答案
1.C　[解析]
如图,连接AD,BC.
∵==,∠AOD=∠BOC,
∴△AOD∽△BOC,
∴==.
∵A,D两个端点之间的距离为10cm,
∴BC=15cm.故选C.
2.B　[解析]∵AB⊥BC,CD⊥BC,
∴∠ABE=∠DCE=90°.
又∵∠AEB=∠DEC,
∴△BAE∽△CDE,∴=.
∵BE=20m,CE=10m,CD=20m,
∴=,解得AB=40(m).
故选B.
3.解:过点P作PF⊥AB于点F,交CD于点E,如图所示.
∵AB∥CD,PF⊥AB,∴PE⊥CD.
设河宽为x米.
∵AB∥CD,
∴△PDC∽△PBA,∴=,
即=.
依题意知CD=25米,AB=50米,
∴=,解得x=15.
答:河的宽度为15米.
4.A　[解析]∵EB⊥AC,DC⊥AC,∴EB∥DC,
∴△ABE∽△ACD,∴=.
∵BE=1.5m,AB=1.2m,BC=12.8m,
∴AC=AB+BC=14(m),
∴=,解得DC=17.5(m),
即建筑物CD的高是17.5m.故选A.
5.7　[解析]∵BD⊥AB,AC⊥AB,
∴BD∥AC,∴△ACE∽△BDE,
∴=,∴=,∴AC=7(米).
6.解:∵AC∥BD,∴△OBD∽△OAC,
∴=,即=,
∴AC=12(cm).
答:火焰AC的长为12cm.
7.解:在直角三角形DEF中,DE=70cm,EF=30cm,
则由勾股定理,得
DF===10(cm)=(m).
在△DEF和△DCB中,
∵∠D=∠D,∠DEF=∠DCB,
∴△DEF∽△DCB,
∴=.
又∵EF=30cm=0.3m,BD=9m,
∴BC===(m).
∵AC=m,
∴AB=AC+BC=+=(m),即树高AB为m.
8.D　[解析]
延长AC交BD的延长线于点E,易知△CDE∽△PQR,
∴=,即=,
∴DE=1(米),
∴BE=3+1=4(米).
又易知△ABE∽△PQR,
∴=,即=,
∴AB=8(米).
9.　[解析]
如图①,∵四边形CDEF是正方形,
∴CD=ED,DE∥CF.
设DE=x,则CD=x,AD=12-x.
∵DE∥CF,
∴△ADE∽△ACB,
∴=,即=,解得x=.
如图②,四边形DGFE是正方形.
过点C作CP⊥AB于点P,交DG于点Q.
设DE=x.
S△ABC=AC·BC=AB·CP,
即12×5=13CP,∴CP=.
∵CP⊥AB,DG∥AB,
∴CQ⊥DG.
同理得△CDG∽△CAB,
∴=,即=,
解得x=<,
∴该直角三角形能容纳的正方形边长最大是步,
故答案为.
10.解:如图,设点E关于O的对称点为点M,由光的反射定律知,延长GC,FA相交于点M,连接GF并延长交OE于点H.
∵GF∥AC,
∴△MAC∽△MFG,
∴==,
即===,
∴=,
∴OE=32.
答:楼的高度OE为32m.
11.[解析]
本题是一个方案型求旗杆高度的题,学生可以通过自己对三种方法的认识,选择认为好求的方法解题.
解:选择的方案不唯一,如选择甲组方案计算:
在△ABO和△CDO中,
因为∠ABO=∠CDO=90°,∠AOB=∠COD,
所以△ABO∽△CDO,
所以=,所以AB=.
又BO=20米,OD=3.4米,CD=1.7米,
所以AB=10米,
即该校旗杆的高度为10米.
选择乙组方案计算:
在△ABE和△CDF中,因为∠ABE=∠CDF=90°,∠AEB=∠CFD,
所以△ABE∽△CDF,所以=.
又CD=1.5米,FD=0.9米,EB=6米,
所以AB=10米,
即该校旗杆的高度为10米.
选择丙组方案计算:
由FH∥BD,可得△CFH∽△CBD,
所以=.
由EF∥AB,可得△CFE∽△CBA,
所以=,所以=.
又BD=30米,EF=0.2米,FH=0.6米,
所以AB=10米,
即该校旗杆的高度为10米.