2021-2022学年九年级数学湘教版上册4.3解直角三角形同步练习题（word版、含解析）

4.3　解直角三角形
【基础练习】
知识点1　已知一边一角解直角三角形
1.如图1,在直角三角形ABC中,已知∠C=90°,∠A=40°,BC=3,则AC等于
(　　)
A.3sin40°
B.3sin50°
C.3tan40°
D.3tan50°
图1
图2
2.如图2,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AB=8,则BC的长是
(　　)
A.
　
B.4
C.8
D.4
3.在Rt△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,∠C=90°,a=8,∠B=60°,求∠A,b,c.
知识点2　已知两边解直角三角形
4.已知在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=,AC=,则AB=　　　　,∠A=　　　°,∠B=　　　　°.?
5.在Rt△ABC中,∠C=90°,a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的对边,如果a=2,b=2,求c及∠B.
知识点3　已知一边及一锐角三角函数值解直角三角形
6.在Rt△ABC中,∠C=90°,sinB=,BC=5,则∠B=　　　　°,AB=　　　　.?
7.在△ABC中,已知∠C=90°,BC=4,sinA=,那么AC边的长是
(　　)
A.6
B.2
C.3
D.2
知识点4　“化斜为直”解斜三角形
8.如图3,在△ABC中,∠B=30°,∠C=45°,AB=10.求BC,AC的长.
图3
9.[2019·乐山]
如图4,在△ABC中,∠B=30°,AC=2,cosC=.求AB边的长.
图4
【能力提升】
10.[2019·湘西州]
如图5,在△ABC中,∠C=90°,AC=12,AB的垂直平分线EF交AC于点D,连接BD,若cos∠BDC=,则BC的长是
(　　)
图5
A.10
B.4
C.4
D.2
11.如图6,沿AE折叠矩形ABCD,使点D落在BC边上的点F处,已知AB=8cm,BC=10cm,则tan∠EAF=　　　　.?
图6
12.在△ABC中,cosB=,BC=4,AC=4,则AB=　　　　.?
13.[2020·盐城]
如图7,在△ABC中,∠C=90°,tanA=,∠ABC的平分线BD交AC于点D,CD=,求AB的长.
图7
14.如图8,在Rt△AOB中,O为坐标原点,∠AOB=90°,OA=2,OB=1,OA与x轴的正方向的夹角为30°,求A,B两点的坐标.
图8
15.如图9,AD是△ABC的边BC上的中线,tanB=,cosC=,AC=.
求:(1)BC的长;
(2)sin∠ADC的值.
图9
16.如图10,在△ABC中,∠ACB=90°,sinA=,BC=8,D是AB的中点,过点B作直线CD的垂线,垂足为E.
(1)求线段CD的长;
(2)求cos∠ABE的值.
图10
答案
1.D　[解析]∵∠C=90°,∠A=40°,
∴∠B=180°-90°-∠A=50°.
又∵tanB=,∴AC=BC·tanB=3tan50°.故选D.
2.D　[解析]∵在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AB=8,cosB=,即cos30°==,
∴BC=8×=4.故选D.
3.解:由题意,得∠A=90°-∠B=30°.
∵sinA=,∴c===16.
∵tanB=,∴b=a·tanB=a·tan60°=8.
4.2　30　60
5.解:在Rt△ABC中,由勾股定理,得
c2=a2+b2=22+(2)2=16,∴c=4.
∵sinB===,∴∠B=60°.
6.60　10
7.B　[解析]∵在△ABC中,∠C=90°,BC=4,∴sinA===,∴AB=6,∴AC==2.
8.解:如图,过点A作AD⊥BC,垂足为D.
在Rt△ABD中,sinB=sin30°=,
即=,∴AD=5.
∵cosB=cos30°=,即=∴BD=5.
在Rt△ADC中,tanC=tan45°=,
即1=,∴DC=5.
∵sinC=sin45°=,即=,∴AC=5.
故BC=BD+DC=5+5,AC=5.
9.解:如图,作AH⊥BC于点H.
在Rt△ACH中,
∵∠AHC=90°,AC=2,cosC=,
∴=,∴CH=,
∴AH===.
在Rt△ABH中,∵∠AHB=90°,∠B=30°,
∴AB=2AH=.
10.D　[解析]∵在Rt△BCD中,∠C=90°,
cos∠BDC==,
∴设CD=5x,BD=7x,
∴BC=2x.
∵AB的垂直平分线EF交AC于点D,
∴AD=BD=7x,∴AC=12x.
∵AC=12,∴x=1,∴BC=2.
故选D.
11.　[解析]∵四边形ABCD为矩形,∴CD=AB=8cm,AD=BC=10cm.
由折叠的性质可知AF=AD=10cm,DE=EF,∠AFE=∠D=90°.
在Rt△ABF中,BF==6(cm),
∴FC=BC-BF=4(cm).
设EF=xcm,则DE=xcm,CE=CD-DE=(8-x)cm.
在Rt△CEF中,∵CF2+CE2=EF2,
∴42+=x2,解得x=5,即EF=5cm.在Rt△AEF中,tan∠EAF===.
12.4或8　[解析]
如图,过点C作CD⊥AB于点D.
∵cosB=,BC=4,
∴cosB==,∴BD=6,∴CD===2,∴AD===2,∴AB=6-2=4或AB=6+2=8.故答案为4或8.
13.解:在Rt△ABC中,∠C=90°,tanA=,
∴∠A=30°,
∴∠ABC=60°.
∵BD是∠ABC的平分线,
∴∠CBD=∠ABD=30°.
又∵CD=,∴BC==3.
在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,
∴AB==6.
答:AB的长为6.
14.解:过点A作AC⊥x轴于点C,过点B作BD⊥x轴于点D.
在Rt△AOC中,sin30°=,cos30°=,
∴AC=2sin30°=1,OC=2cos30°=.
∵点A在第一象限,∴点A的坐标为(,1).
∵∠AOB=90°,∠AOC=30°,
∴∠BOC=60°.
同理,BD=OB·sin60°=,OD=OB·cos60°=.
∵点B在第四象限,
∴点B的坐标为,-.
15.解:(1)如图,过点A作AE⊥BC,垂足为E.
在Rt△AEC中,cosC==,AC=,
∴EC=1,∠C=45°,
∴∠EAC=45°,∴AE=EC=1.
在Rt△AEB中,tanB==,AE=1,
∴BE=3,∴BC=BE+EC=3+1=4.
(2)∵AD是△ABC的中线,∴DC=BC=2.
∵EC=1,∴DE=1.
∵AE=1,∴∠ADC=∠DAE=45°,
∴sin∠ADC=sin45°=.
16.解:(1)在△ABC中,∵∠ACB=90°,
∴sinA==.
又∵BC=8,∴AB==10.
∵D是AB的中点,∴CD=AB=5.
(2)在Rt△ABC中,∵AB=10,BC=8,
∴AC==6.
∵D是AB的中点,∴BD=5,S△BDC=S△ADC,
∴S△BDC=S△ABC,
即CD·BE=·AC·BC,
∴BE==.
在Rt△BDE中,cos∠DBE===,
即cos∠ABE的值为.