2021-2022学年湘教版八年级数学上册第2章 三角形 2.3-2.4线段的垂直平分线 练习题(word版含答案)

2.3~2.4
一、选择题(每小题4分,共32分)
1.若一个等腰三角形的一个底角为40°,则这个等腰三角形的顶角为
(　　)
A.40°
B.80°
C.100°
D.100°或40°
2.如图1,在等腰三角形ABC中,AB=AC,BD平分∠ABC交AC于点D,∠A=36°,则∠1的度数为
(　　)
图1
A.36°
B.60°
C.72°
D.108°
3.下列条件中,能判定三角形是等腰三角形的是
(　　)
A.三角形中有两个角为30°,60°
B.三角形中有两个角为40°,80°
C.三角形中有两个角为50°,80°
D.三角形中有两个角为锐角
4.如图2,在△ABC中,AB=AC,D为BC的中点,∠BAD=35°,则∠C的度数为
(　　)
图2
A.35°
B.45°
C.55°
D.60°
5.如图3,在△ABC中,AB的垂直平分线交AB于点D,交BC于点E,连接AE.若BC=6,AC=5,则△ACE的周长为
(　　)
图3
A.8
B.11
C.16
D.17
6.如图4,点A,B,C表示某公司三个车间的位置,现在要建一个仓库,要求它到三个车间的距离相等,则仓库应建在
(　　)
图4
A.△ABC三边中线的交点上
B.△ABC三个内角平分线的交点上
C.△ABC三条边的高的交点上
D.△ABC三边垂直平分线的交点上
7.如图5所示,在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线相交于点E,过点E作MN∥BC交AB于点M,交AC于点N.若BM+CN=9,则线段MN的长为
(　　)
图5
A.6　　　　
B.7　　　　
C.8　　　　
D.9
8.如图6,直线a,b相交于点O,∠1=50°,点A在直线a上,直线b上存在点B,使以点O,A,B为顶点的三角形是等腰三角形,这样的点B有
(　　)
图6
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
二、填空题(每小题5分,共30分)
9.在△ABC中,AB=AC,要使△ABC是等边三角形需要添加一个条件,这个条件可以是　　　　　(只需写一个).?
10.如图7,AC∥BD,AB与CD相交于点O,若AO=AC,∠A=48°,则∠D=　　　　°.?
图7
11.如图8所示,在△ABC中,AB=AC=12,EF为AC的垂直平分线.若CE=8,则BE的长为　　　　.?
图8
12.如图9,直线l1∥l2,点A在直线l1上,点B在直线l2上,AB=BC,∠C=30°,∠1=80°,则∠2=
　　　　.?
图9
13.如图10,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于点D,DE垂直平分AB,垂足为E,则∠B的度数是　　　　　.?
图10
14.如图11,在△ABC中,AB=AC,点E在CA的延长线上,EP⊥BC于点P,交AB于点F.若AF=2,BF=3,则CE的长为　　　　.?
　图11
三、解答题(共38分)
15.(12分)如图12,DE垂直平分AB,与AB交于点E,与BC交于点D.
(1)已知AC=5
cm,△ADC的周长为17
cm,求BC的长;
(2)若AD平分∠BAC,AD=AC,求∠C的度数.
图12
16.(12分)如图13,在△ABC中,AB=AC,D为BC边上的一点,∠B=30°,∠DAB=45°.
(1)求∠DAC的度数;
(2)求证:DC=AB.
图13
17.(14分)如图14①,AB=AC,BD,CD分别平分∠ABC,∠ACB,此时图①中有两个等腰三角形.
(1)过点D作EF∥BC,交AB于点E,交AC于点F,如图②,图②中有几个等腰三角形?若将题中的△ABC改为不等边三角形,其他条件不变,如图③,图③中有几个等腰三角形?此时线段EF与BE,CF有什么关系?
(2)如图④,BD平分∠ABC,CD平分外角∠ACG,DE∥BC交AB于点E,交AC于点F.线段EF与BE,CF有什么关系?请说明理由;
(3)如图⑤,BD,CD为△ABC的外角∠CBM,∠BCN的平分线,DE∥BC交AB的延长线于点E,交AC的延长线于点F,线段EF与BE,CF有什么关系?请说明理由.
图14
　　　　
答案
1.C　[解析]
∵等腰三角形的一个底角为40°,
∴另一个底角也为40°,
∴顶角为180°-40°-40°=100°.故选C.
2.C　[解析]
∵∠A=36°,AB=AC,∴∠ABC=∠C=72°.∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=36°,∴∠1=∠A+∠ABD=72°.故选C.
3.C　[解析]
选项A,180°-30°-60°=90°,故此三角形不是等腰三角形;选项B,180°-40°-80°=60°,故此三角形不是等腰三角形;选项C,180°-50°-80°=50°,故此三角形是等腰三角形;选项D,三角形中有两个角为锐角,不一定是等腰三角形.
4.C　[解析]
∵AB=AC,D为BC的中点,∴AD平分∠BAC,∠B=∠C.∵∠BAD=35°,
∴∠BAC=2∠BAD=70°,∴∠C=×(180°-70°)=55°.故选C.
5.B　[解析]
∵DE垂直平分AB,
∴AE=BE,
∴△ACE的周长=AC+CE+AE
=AC+CE+BE
=AC+BC
=5+6
=11.
故选B.
6.D　[解析]
在三角形中,要找一点到三角形各顶点的距离相等,只能是三边垂直平分线的交点.故选D.
7.D
8.D　[解析]
要使△OAB为等腰三角形,分三种情况讨论:
①当OB=AB时,作线段OA的垂直平分线,与直线b的交点为B,此时有1个;
②当OA=AB时,以点A为圆心,OA长为半径作圆,与直线b交于除点O外的点B,此时有1个;
③当OA=OB时,以点O为圆心,OA长为半径作圆,与直线b交于点B,此时有2个.
1+1+2=4(个).故选D.
9.答案不唯一,如∠A=60°或AB=BC
[解析]
利用有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形或三条边都相等的三角形是等边三角形判定.
10.66　[解析]
∵AO=AC,∴∠ACO=∠AOC=(180°-∠A)=×(180°-48°)=66°.∵AC∥BD,
∴∠D=∠ACO=66°.
11.4　[解析]
在△ABC中,∵AB=AC=12,EF为AC的垂直平分线,
∴AE=CE=8,∴BE=12-8=4.
12.40°　[解析]
如图,延长CB交l1于点D.
∵AB=BC,∠C=30°,
∴∠C=∠4=30°.
∵l1∥l2,∠1=80°,
∴∠1=∠3=80°.
∵∠C+∠3+∠2+∠4=180°,
即30°+80°+∠2+30°=180°,
∴∠2=40°.
故答案为40°.
13.30°　[解析]
∵DE垂直平分AB,∴AD=BD,∴∠DAB=∠B.∵AD平分∠BAC,
∴∠CAD=∠DAB,∴∠CAB=∠CAD+∠DAB=2∠B.
∵在△ABC中,∠C=90°,
∴3∠B=90°,∴∠B=30°.
14.7　[解析]
在△ABC中,
∵AB=AC,∴∠B=∠C.
∵EP⊥BC,∴∠C+∠E=90°,∠B+∠BFP=90°,
∴∠E=∠BFP.
又∵∠BFP=∠AFE,
∴∠E=∠AFE,
∴AF=AE,∴△AEF是等腰三角形.
又∵AF=2,BF=3,
∴AC=AB=5,AE=AF=2,∴CE=7.
15.解:(1)∵DE垂直平分线段AB,
∴AD=BD.
∵△ADC的周长=AD+CD+AC=17,AC=5,
∴AD+CD=12,
∴BD+CD=12,
即BC=12.
故BC的长为12
cm.
(2)∵AD平分∠BAC,
∴设∠DAB=∠DAC=x.
∵AD=BD,
∴∠DBA=∠DAB=x,
∴∠ADC=∠B+∠DAB=2x.
∵AD=AC,
∴∠C=∠ADC=2x,
∴5x=180°,
解得x=36°,
∴∠C=72°.
16.解:(1)∵AB=AC,∠B=30°,
∴∠C=∠B=30°.
∵∠C+∠BAC+∠B=180°,
∴∠BAC=180°-30°-30°=120°.
∵∠DAB=45°,
∴∠DAC=∠BAC-∠DAB=120°-45°=75°.
(2)证明:∵∠B=30°,∠DAB=45°,
∴∠ADC=∠B+∠DAB=75°,
∴∠DAC=∠ADC,∴DC=AC.
又∵AB=AC,∴DC=AB.
17.解:(1)在题图②中,△AEF,△BED,△CDF,△ABC,△BDC都是等腰三角形,故题图②中有5个等腰三角形.
题图③中有2个等腰三角形,分别是△BED,△CFD,此时EF=BE+CF.
(2)EF+CF=BE.
理由:∵BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠DBC.
∵DE∥BC,∴∠EDB=∠DBC,
∴∠ABD=∠EDB,∴DE=BE.
同理可证CF=DF.
∵EF+DF=DE,
∴EF+CF=BE.
(3)EF=BE+CF.
理由:∵BD平分∠CBE,
∴∠DBE=∠DBC.
∵BC∥EF,∴∠DBC=∠BDE,
∴∠DBE=∠BDE,∴BE=DE.
同理可证CF=DF.
∴EF=DE+DF=BE+CF.