2021-2022学年湘教版九年级数学上册第3章 图形的相似 类型练习题(word版含答案)

第3章　图形的相似　　　　　　　　　
类型之一　比例的基本性质与比例线段
1.把ad=bc(abcd≠0)改写成比例式,下列四个选项中,错误的是
(　　)
A.=
B.=
C.=
D.=
2.下列四组线段中,是成比例线段的是
(　　)
A.1cm,2cm,3cm,4cm
B.4cm,5cm,6cm,7cm
C.1cm,cm,2cm,4cm
D.2cm,2cm,cm,12cm
3.[2020·湘潭]
若=,则=　　　　.?
4.已知AB=8,P是线段AB的黄金分割点,PA>PB,则PA的长为　　　　.?
类型之二　平行线分线段成比例
5.如图1,已知在△ABC中,D,E,F分别是边AB,AC,BC上的点,DE∥BC,EF∥AB,且AD∶DB=3∶5,那么CF∶CB的值为
(　　)
A.5∶8
B.3∶8
C.3∶5
D.2∶5
图1
图2
6.[2019·娄底期中]
如图2,在△ABC中,DE∥BC交AB于点D,交AC于点E,BD=2,AB=6,AC=9,则AE的长为　　　　.?
类型之三　相似三角形的判定与性质
7.如图3,在△ABC中,D是边AB上的一点,∠ADC=∠ACB,AD=2,BD=6,则边AC的长为(　　)
图3
A.2
B.4
C.6
D.8
8.[2020·永州]
如图4,在△ABC中,EF∥BC,=,四边形BCFE的面积为21,则△ABC的面积是
(　　)
图4
A.
B.25
C.35
D.63
9.[2020·益阳]
如图5,在矩形ABCD中,E是DC上的一点,△ABE是等边三角形,AC交BE于点F,则下列结论不成立的是
(　　)
A.∠DAE=30°
B.∠BAC=45°
C.=
D.=
图5
图6
10.[2020·桂林]
如图6,在Rt△ABC中,AB=AC=4,E,F分别是AB,AC的中点,P是扇形AEF的上任意一点,连接BP,CP,则BP+CP的最小值是　　　　.?
11.[2020·苏州]
如图7,在矩形ABCD中,E是BC的中点,DF⊥AE,垂足为F.
(1)求证:△ABE∽△DFA;
(2)若AB=6,BC=4,求DF的长.
图7
类型之四　相似三角形的应用
12.《九章算术》是中国传统数学最重要的著作,在“勾股”章中有这样一个问题:“今有邑方二百步,各中开门,出东门十五步有木,问:出南门几步而见木?”
用今天的话说大意是:如图8,四边形DEFG是一座边长为200步(“步”是古代的长度单位)的正方形小城,东门H位于GD的中点,南门K位于ED的中点,出东门15步的A处有一树木,则出南门多少步恰好看到位于A处的树木(即点D在直线AC上)?请你计算KC的长为
　　　步.?
图8
类型之五　位似变换
13.如图9,△AOB三个顶点的坐标分别为A(5,0),O(0,0),B(3,6),以点O为位似中心,位似比为,将△AOB缩小,则点B的对应点B'的坐标是　　　　.?
图9
14.如图10所示的平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点坐标分别为A(-3,2),B(-1,3),C(-1,1),请按如下要求画图:
(1)以坐标原点O为旋转中心,将△ABC顺时针旋转90°,得到△A1B1C1,请画出△A1B1C1;
(2)以坐标原点O为位似中心,画出△ABC的位似图形△A2B2C2,使它与△ABC的位似比为-2.
图10
类型之六　数学活动
15.数学实践小组想利用镜子的反射测量池塘边一棵树的高度AB.测量和计算的部分步骤如下:
①如图11,树与地面垂直,在地面上的点C处放置一块镜子,小明站在BC的延长线上,当小明在镜子中刚好看到树的顶点A时,测得小明到镜子的距离CD=2米,小明的眼睛E到地面的距离ED=1.5米;
②将镜子从点C沿BC的延长线向后移动10米到点F处,小明向后移动到点H处时,小明的眼睛G又刚好在镜子中看到树的顶点A,这时测得小明到镜子的距离FH=3米;
③计算树的高度AB.
图11
答案
1.D
2.C　[解析]
选项A中,1×4≠2×3,故A选项不符合题意;选项B中,4×7≠5×6,故B选项不符合题意;选项C中,1∶=2∶4,故C选项符合题意;选项D中,2×12≠2×,故D选项不符合题意.故选C.
3.　[解析]
由=可设y=3k,x=7k,k是非零实数,则===.
4.4-4　[解析]
由于P是线段AB的黄金分割点,且PA>PB,则PA=8×=4-4.
5.A　[解析]
因为AD∶DB=AE∶CE=BF∶CF=3∶5,所以CF∶CB=5∶8.
6.6　[解析]∵DE∥BC,
∴=,
即=,
即=,
解得AE=6.
故答案为6.
7.B　[解析]∵∠A=∠A,∠ADC=∠ACB,
∴△ADC∽△ACB,∴=,∴AC2=AD·AB=2×(2+6)=16.∵AC>0,∴AC=4.故选B.
8.B　[解析]∵EF∥BC,∴△AEF∽△ABC,
∴=2=2=,
∴S△AEF=S△ABC.
∵S四边形BCFE=S△ABC-S△AEF=21,
∴S△ABC=25.
9.B　[解析]∵四边形ABCD是矩形,△ABE是等边三角形,∴AB=AE=BE,∠EAB=∠EBA=60°,AD=BC,∠DAB=∠CBA=90°,AB∥CD,AB=CD,∴∠DAE=∠CBE=30°,故选项A正确,不合题意;易知==,故选项D正确,不合题意;在△ADE和△BCE中,∴△ADE≌△BCE(SAS),
∴DE=CE=CD=AB.
∵AB∥CD,
∴△ABF∽△CEF,∴==,故选项C正确,不合题意.故选B.
10.　[解析]
在AB上取一点T,使得AT=1,连接PT,PA,CT.
∵PA=2,AT=1,AB=4,∴PA2=AT·AB,
∴=.
又∵∠PAT=∠BAP,∴△PAT∽△BAP,
∴==,
∴2PT=PB,∴BP+CP=PT+CP≥TC.
在Rt△ACT中,
∵∠CAT=90°,AT=1,AC=4,
∴CT==,
∴BP+CP≥,
∴BP+CP的最小值为.
11.解:(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,∠B=90°,
∴∠DAF=∠AEB.
∵DF⊥AE,∴∠AFD=90°,∴∠AFD=∠B,∴△ABE∽△DFA.
(2)∵E是BC的中点,BC=4,∴BE=2.
又∵AB=6,
∴AE===2.
∵四边形ABCD是矩形,∴AD=BC=4.
∵△ABE∽△DFA,∴=,
∴DF===.
12.　[解析]
由题知DH=100,DK=100,AH=15.∵AH∥DK,∴∠CDK=∠A.
∵∠CKD=∠DHA,∴△CDK∽△DAH,
∴=,即=,∴KC=(步).
13.(2,4)
14.解:(1)如图,△A1B1C1即为所求.
(2)如图,△A2B2C2即为所求.
15.解:设AB=x米,BC=y米.
∵∠ABC=∠EDC=90°,∠ACB=∠ECD,
∴△ABC∽△EDC,∴=,∴=.
∵∠ABF=∠GHF=90°,∠AFB=∠GFH,∴△ABF∽△GHF,∴=,
∴=,∴=,
解得y=20.
把y=20代入=中,得x=15,
∴树的高度AB为15米.