2021-2022湘教版九年级数学上册第4章4.1-4.3解直角三角形 同步练习题(word版含答案)

4.1-4.3　练习题
一、选择题(本大题共8小题,每小题4分,共32分)
1.如图1,在Rt△ABC中,BC=15,AC=8,∠C=90°,则sinB的值为
(　　)
图1
A.
B.
C.
D.
2.如图2,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC∶AB=5∶13,则下列等式正确的是
(　　)
图2
A.tanA=
B.sinA=
C.cosA=
D.tanA=
3.在△ABC中,∠C=90°,AB=6,cosA=,则AC等于
(　　)
A.18
B.2
C.
D.
4.在Rt△ABC中,cosA=,则sinA的值是
(　　)
A.
B.
C.
D.
5.计算2sin30°-2cos60°+tan45°的结果是
(　　)
A.2
B.
C.
D.1
6.已知cosα=,则锐角α的取值范围是
(　　)
A.0°<α<30°
B.30°<α<45°
C.45°<α<60°
D.60°<α<90°
7.在△ABC中,∠A,∠B为不相等的锐角,且sinA=cosB,则这个三角形一定是
(　　)
A.等腰三角形
B.锐角三角形
C.钝角三角形
D.直角三角形
8.在△ABC中,AB=12,AC=13,cosB=,则BC边的长为
(　　)
A.7
B.8
C.8或17
D.7或17
二、填空题(本大题共7小题,每小题4分,共28分)
9.在Rt△ABC中,∠C=90°,a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的对边.若2b=3a,则tanA=　　　　.?
10.如图3,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=2,且tanA=,则AC=　　　　.?
图3图
11.在△ABC中,∠A,∠B均为锐角,若+-sinB=0,则∠C=　　　　°.?
12.如图4,在菱形ABCD中,DE⊥AB于点E,DE=6cm,sinA=,则菱形ABCD的面积是
　　　　cm2.?
4
13.如图5,在△ABC中,∠B=30°,∠C=45°,AC=2,则AB的长为　　　　.?
图5
图6
14.如图6所示,△ABC的三个顶点都在边长为1的小正方形组成的网格的格点上,则tan(α+β)　　　　tanα+tanβ.(填“>”“=”或“<”)?
15.如图7,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,sinB=,D是BC上一点,DE⊥AB于点E,CD=DE,AC+CD=9,则BC=　　　　.?
图7
三、解答题(本大题共5小题,共40分)
16.(5分)计算:tan30°sin60°+cos30°tan60°-sin245°tan45°.
17.(5分)如图8,在Rt△ABC中,设a,b,c分别为∠BAC,∠B,∠C的对边,∠C=90°,b=8,∠BAC的平分线AD交BC于点D,且AD=,求∠B,a,c的值.
图8
18.(8分)如图9,在△ABC中,AD⊥BC,垂足为D,若BC=14,AD=12,tan∠BAD=,求sinC的值.
　图9
19.(10分)如图10,在?ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,∠CAB=∠ACB,过点B作BE⊥AB交AC于点E.
(1)求证:AC⊥BD;
(2)若AB=14,cos∠CAB=,求线段OE的长.
图10
20.(12分)如图11,在Rt△ABC中,∠C=90°,AE平分∠BAC交BC于点E,EF⊥AB于点F,F恰好是AB的一个三等分点(AF>BF).求tan∠CAE的值.
图11
答案
1.C　[解析]
由勾股定理,得AB==17,∴sinB==.故选C.
2.C　[解析]
设BC=5x,则AB=13x.由勾股定理,得AC==12x,则tanA==,∴选项A,D错误;sinA==,∴选项B错误;cosA==,∴选项C正确.故选C.
3.B　[解析]∵在Rt△ABC中,∠C=90°,cosA==,AB=6,∴AC=2.故选B.
4.B　[解析]∵cosA=,∠A为锐角,∴∠A=60°,∴sinA=.
5.D　[解析]
原式=2×-2×+1=1-1+1=1.
6.B　[解析]∵cos30°=,cos45°=,<<,∴30°<α<45°.
7.D
8.D　[解析]∵cosB=,∴∠B=45°.
若∠BCA为钝角,过点A作AD⊥BC,交BC的延长线于点D,如图①.
∵AB=12,∠B=45°,∴AD=BD=12.
∵AC=13,∴在Rt△ADC中,由勾股定理得CD=5,∴BC=BD-CD=12-5=7;
若∠BCA为锐角,过点A作AD⊥BC于点D,如图②.
同理可得BD=12,CD=5,
∴BC=BD+CD=12+5=17.故选D.
9.　[解析]tanA==.
10.6　[解析]∵tanA=,∴=,即=,解得AC=6.
11.75
12.60　[解析]
在Rt△AED中,sinA=,
∴AD==10(cm),∴菱形ABCD的边长是10cm,则菱形ABCD的面积是10×6=60(cm2).
13.4　[解析]
如图,过点A作AD⊥BC于点D.在Rt△ACD中,∠C=45°,AC=2,∴AD=CD=2.在Rt△ABD中,∠B=30°,AD=2,∴AB=2AD=4.
14.>　[解析]
由网格图及勾股定理可知,tanα=,tanβ=,AC=,BC=,AB=,则tanα+tanβ=+=,AC=BC,
AC2+BC2=AB2,
∴∠ACB=90°,∴α+β=45°,∴tan(α+β)=1.
∵1>,∴tan(α+β)>tanα+tanβ.
15.8　[解析]
设DE=x,则CD=x,AC=9-x.
∵sinB=,DE⊥AB,∴BD=x,
由勾股定理,得BE=,则tanB=,
∴==,即=,解得x=3,
∴BC=x+x=8.故答案为8.
16.解:原式=×+×-2×1=+-=.
17.解:∵∠C=90°,b=8,AD=,
∴cos∠CAD===,
∴∠CAD=30°.
∵AD平分∠BAC,
∴∠CAD=∠BAC,
∴∠BAC=60°,
∴∠B=30°,
∴c=2b=16,a===8,
即∠B=30°,a=8,c=16.
18.解:∵在Rt△ABD中,tan∠BAD==,
∴BD=AD=×12=9,
∴CD=BC-BD=14-9=5,
∴在Rt△ADC中,AC===13,
∴sinC==.
19.解:(1)证明:∵∠CAB=∠ACB,
∴AB=CB,
∴?ABCD是菱形,∴AC⊥BD.
(2)在Rt△AOB中,
cos∠OAB==,AB=14,
∴AO=AB=×14=.
在Rt△ABE中,
cos∠EAB==,AB=14,
∴AE=AB=×14=16,
∴OE=AE-AO=16-=.
20.解:∵EF⊥AF,∠C=90°,
∴∠AFE=∠C=90°.
∵AE平分∠BAC,∴∠CAE=∠FAE.
又∵AE=AE,∴△ACE≌△AFE,
∴AC=AF,CE=EF.
设BF=1,则AF=2,AC=2,AB=3.
在Rt△ABC中,由勾股定理,得BC=.
∵tanB==,∴=,
∴EF=,∴CE=.
在Rt△ACE中,tan∠CAE===.