2021-2022湘教版九年级数学上册第3章3.4.2-3.5相似三角形的应用 同步练习题练习题(word版含答案)

3.4.2-3.5练习题
一、选择题(本大题共8小题,每小题4分,共32分)
1.两个相似三角形对应角平分线之比为1∶2,那么它们对应中线之比为
(　　)
A.1∶2
B.1∶3
C.1∶4
D.1∶8
2.两个相似三角形的对应边长分别是15cm和23cm,它们的周长相差40cm,则这两个三角形的周长分别是
(　　)
A.75cm,115cm
B.60cm,100cm
C.85cm,125cm
D.45cm,85cm
3.如图1,在△ABC中,D,E分别为AB,AC的中点,则△ADE与四边形BCED的面积比为(　　)
A.1∶1
B.1∶2
C.1∶3
D.1∶4
图1
图2
4.如图2,△ADE∽△ABC,AF⊥DE,AG⊥BC,AF∶AG=2∶3.若AE=5,则EC的长为(　　)
A.7.5
B.4.5
C.2.5
D.2
5.学校门口的栏杆如图3所示,栏杆从水平位置BD绕点O旋转到AC位置,已知AB⊥BD,CD⊥BD,垂足分别为B,D,AO=4m,AB=1.6m,CO=1m,则栏杆C端下降的垂直距离CD为
(　　)
A.0.2m
B.0.3m
C.0.4m
D.0.5m
图3
图4
6.如图4,身高为1.6m的某学生想测量一棵大树的高度,她沿着树影BA由B向A走去,当走到点C时,她的影子顶端正好与树的影子顶端重合,测得BC=3.2m,CA=0.8m,则树的高度为
(　　)
A.4.8m
B.6.4m
C.8m
D.10m
7.如图5,在一块斜边长为30cm的直角三角形木板(Rt△ACB)上截取一个正方形CDEF,点D在边BC上,点E在边AB上,点F在边AC上.若AF∶AC=1∶3,则这块木板截取正方形CDEF后,剩余部分的面积为
(　　)
图5
A.100cm2
B.150cm2
C.170cm2
D.200cm2
8.据《九章算术》记载:“今有山居木西,不知其高.山去五十三里,木高九丈五尺,人立木东三里,望木末适与山峰斜平,人目高七尺.问山高几何?”译文如下:如图6,今有山AB位于树CD的西面.山高AB为未知数,山与树相距53里,树高9丈5尺,人站在离树3里的地方,观察到树梢C恰好与山峰A处在同一斜线上,人眼离地7尺,则山AB的高为(保留到整数,1丈=10尺)
(　　)
图6
A.162丈
B.163丈
C.164丈
D.165丈
二、填空题(本大题共6小题,每小题4分,共24分)
9.已知△ABC∽△A'B'C',若AB=10,A'B'=5,则△ABC与△A'B'C'的对应角平分线的比为　　　　.?
10.已知△ABC∽△A'B'C',AB=6,BC=7,AC=8,△A'B'C'的最短边长为8,则△A'B'C'的周长是　　　　.?
11.如图7,在△ABC中,已知DE∥BC,=,则△ADE与△ABC的面积之比为　　　　.?
图7
图8
12.如图8,E是?ABCD的边AD的中点,连接CE交BD于点F.如果S△DEF=a,那么S△BCF=　　　　.?
13.如图9,阳光通过窗口AB照射到室内,在地面上留下4米宽的亮区DE,已知亮区DE到窗口下的墙角距离CE=5米,窗口高AB=2米,那么窗口底边离地面的高BC=　　　　米.?
图9
14.如图10,丁轩同学在晚上由路灯AC走向路灯BD,当他走到点P时,发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯AC的底部,当他向前再步行20m到达点Q时,发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯BD的底部,已知丁轩同学的身高是1.5m,两个路灯的高度都是9m,则两路灯之间的距离是　　　　m.?
图10
三、解答题(本大题共4小题,共44分)
15.(10分)已知两个相似三角形的一对对应边的长分别是35cm和14cm.
(1)已知它们的周长相差60cm,求这两个三角形的周长;
(2)已知它们的面积相差588cm2,求这两个三角形的面积.
16.(10分)如图11,有一块三角形的土地,它的一条边BC=100米,BC边上的高AH=80米.某单位要沿着边BC建一座底面是矩形DEFG的大楼,D,G分别在边AB,AC上.若大楼的宽是40米(即DE=40米),求这个矩形的面积.
图11
17.(12分)如图12所示,在离某建筑物4m处有一棵树AB,在某一时刻,1.2m长的竹竿A'B'垂直于地面,影长为2m,此时,树的影子有一部分落在地面上,还有一部分影子落在建筑物的墙上,墙上的影高CD为2m,那么这棵树的高度为多少米?
图12
18.(12分)如图13,在正方形ABCD中,E,F分别是边AD,CD上的点,AE=DE,DF=DC,连接EF并延长交BC的延长线于点G.
(1)求证:△ABE∽△DEF;
(2)若正方形的边长为4,求BG的长.
图13
答案
1.A　[解析]
两个相似三角形的相似比等于对应角平分线的比,也等于对应中线的比.
2.A　[解析]
根据题意知两个三角形的相似比是15∶23,则周长比就是15∶23,它们的周长相差8份,所以每份的周长是40÷8=5(cm),所以两个三角形的周长分别为5×15=75(cm),5×23=115(cm).故选A.
3.C　[解析]∵D,E分别为△ABC的边AB,AC的中点,∴DE是△ABC的中位线,
∴DE∥BC,DE=BC,∴△ADE∽△ABC,
∴△ADE的面积∶△ABC的面积=2=1∶4,
∴△ADE的面积∶四边形BCED的面积=1∶3.故选C.
4.C　[解析]∵△ADE∽△ABC,AF⊥DE,AG⊥BC,∴==,即=,解得AC=7.5,∴EC=7.5-5=2.5.
5.C　[解析]∵AB⊥BD,CD⊥BD,
∴∠ABO=∠CDO=90°.
又∵∠AOB=∠COD,
∴△ABO∽△CDO,∴=.
∵AO=4m,AB=1.6m,CO=1m,
∴=,解得CD=0.4(m).
故选C.
6.C　[解析]
因为人和树均垂直于地面,所以和光线构成的两个直角三角形相似.设树高为xm,则=,即=,解得x=8.故选C.
7.A　[解析]
设AF=xcm,则AC=3xcm,CF=2xcm.
∵四边形CDEF为正方形,
∴EF=CF=2x,EF∥BC,
∴△AEF∽△ABC,∴==,
∴BC=6x.
在Rt△ABC中,AB2=AC2+BC2,
即302=(3x)2+(6x)2,解得x=2,
∴AC=6,BC=12,FC=4,
∴剩余部分的面积=×12×6-4×4=100(cm2).
故选A.
8.D　[解析]
由题意,得BD=53里,CD=9丈5尺=95尺,EF=7尺,DF=3里.
过点E作EG⊥AB交AB于点G,交CD于点H,
则BG=DH=EF=7尺,GH=BD=53里,
HE=DF=3里.
∵CD∥AB,∴△ECH∽△EAG,∴=,
∴=,
∴AG≈1643(尺)=164.3(丈),
∴AB=AG+0.7≈165(丈).
故选D.
9.2∶1
10.28　[解析]∵AB=6,BC=7,AC=8,
∴△ABC的周长=6+7+8=21.
∵△ABC∽△A'B'C',
∴△A'B'C'的周长∶△ABC的周长=8∶6,
∴△A'B'C'的周长为28.
11.4∶25　[解析]∵DE∥BC,
∴△ADE∽△ABC.∵=,∴=,
∴S△ADE∶S△ABC=4∶25.
12.4a　[解析]∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,∴△EFD∽△CFB.
∵E是边AD的中点,∴DE=AD=BC,∴S△DEF∶S△BCF=1∶4.
∵S△DEF=a,∴S△BCF=4a.
13.2.5　[解析]∵AD∥BE,∴△BCE∽△ACD,∴=,CD=CE+ED=5+4=9,AC=BC+AB=BC+2,∴=,解得BC=2.5(米).
14.30　[解析]∵MP∥BD,∴△APM∽△ABD,∴=.同理,=.
∵AC=BD,MP=NQ,∴AP=BQ.
设AP=BQ=x,则AB=2x+20.
∵=,∴=,解得x=5.
故两路灯之间的距离是2×5+20=30(m).
15.解:(1)∵相似三角形的一对对应边的长分别是35cm和14cm,
∴这两个三角形的相似比为5∶2,
∴这两个三角形的周长比为5∶2.
设较大的三角形的周长为5xcm,则较小的三角形的周长为2xcm.
∵它们的周长相差60cm,
∴(5-2)x=60,解得x=20,
∴5x=5×20=100,2x=2×20=40,
∴较大的三角形的周长为100cm,较小的三角形的周长为40cm.
(2)∵这两个三角形的相似比为5∶2,
∴这两个三角形的面积比为25∶4.
设较大的三角形的面积为25ycm2,则较小的三角形的面积为4ycm2.
∵它们的面积相差588cm2,
∴(25-4)y=588,解得y=28,
∴25y=25×28=700,4y=4×28=112,
∴较大的三角形的面积为700cm2,较小的三角形的面积为112cm2.
16.解:设AH交DG于点M.由已知得DG∥BC,
∴△ADG∽△ABC,∴=.
∵AH⊥BC,
∴AM⊥DG,AM=AH-MH=80-40=40(米),
∴DG==50(米),
∴S矩形DEFG=DE·DG=40×50=2000(米2).
答:这个矩形的面积为2000平方米.
17.解:如图,过点C作CE∥AD交AB于点E,则CD=AE=2m,△B'BA'∽△BCE,
∴=,即=,
解得BE=2.4(m).∴AB=2.4+2=4.4(m).
答:这棵树的高度为4.4m.
18.解:(1)证明:∵四边形ABCD为正方形,
∴AD=AB=DC=BC,∠A=∠D=90°.
∵AE=DE,∴=.
∵DF=DC,∴=,
∴=,∴=.
又∵∠A=∠D=90°,∴△ABE∽△DEF.
(2)∵四边形ABCD为正方形,
∴DE∥BG,∴△DEF∽△CGF,∴=.
∵AE=DE,DF=DC,正方形ABCD的边长为4,
∴DE=2,DF=1,CF=3,∴CG=6,
∴BG=BC+CG=10.