2021-2022学年九年级数学湘教版上册第4章锐角三角函数 类型练习题(word版含答案)

第4章　锐角三角函数　　　
类型之一　锐角三角函数
1.如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,AC=8,则sinA的值为
(　　)
A.
B.
C.
D.
图1
图2
2.[2019·怀化期中]
如图2,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(3,4),那么tanα的值是
(　　)
A.
B.
C.
D.
3.[2020·遵义]
构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要体现,在计算tan15°时,如图3,在Rt△ACB中,∠C=90°,∠ABC=30°,延长CB使BD=AB,连接AD,得∠D=15°,所以tan15°====2-.类比这种方法,计算tan22.5°的值为
(　　)
图3
A.+1
B.-1
C.
D.
4.在Rt△ABC中,∠C=90°,若sinA=,则cosA=　　　　.?
5.已知a,b,c分别是△ABC中∠A,∠B,∠C所对的边,a,b,c满足等式(2b)2=4(c+a)(c-a),且5a-3c=0,求sinA+sinB的值.
类型之二　特殊角的三角函数值
6.[2020·天津]2sin45°的值等于
(　　)
A.1
B.
C.
D.2
7.已知∠A为锐角,且tanA=,那么下列判断正确的是
(　　)
A.0°<∠A<30°
B.30°<∠A<45°
C.45°<∠A<60°
D.60°<∠A<90°
8.计算:sin260°+cos60°-tan45°=　　　　.?
9.求满足下列条件的锐角α的度数:
(1)2cosα-=0;
(2)tan(α+10°)=.
类型之三　解直角三角形及其几何应用
10.[2020·杭州]
如图4,在△ABC中,∠C=90°,设∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,则
(　　)
A.c=bsinB
B.b=csinB
C.a=btanB
D.b=ctanB
图4
图5
11.[2020·黔南州]
如图5,在四边形ABCD中,∠B=90°,AB=2,CD=8,连接AC,AC⊥CD.若sin∠ACB=,则AD的长是　　　　.?
12.如图6,在△ABC中,∠C=45°,sinB=,AC=4,求BC的长.
图6
类型之四　解直角三角形的实际应用
13.某河堤横断面如图7所示,堤高BC=6米,迎水坡AB的坡度是1∶,则AB的长是(　　)
图7
A.12米
B.4米
C.5米
D.6米
14.[2020·济宁]
一条船从海岛A出发,以15海里/时的速度向正北航行,2小时后到达海岛B处.灯塔C在海岛A的北偏西42°方向上,在海岛B的北偏西84°方向上,则海岛B到灯塔C的距离是
(　　)
A.15海里
B.20海里
C.30海里
D.60海里
15.[2020·镇江]
如图8,点E与树AB的根部点A、建筑物CD的底部点C在一条直线上,AC=10m.小明站在点E处观测树顶B的仰角为30°,他从点E出发沿EC方向前进6m到点G时,观测树顶B的仰角为45°,此时恰好看不到建筑物CD的顶部D(H,B,D三点在一条直线上).已知小明的眼睛离地面1.6m,求建筑物CD的高度.(结果精确到0.1m,参考数据:≈1.41,≈1.73)
图8
类型之五　数学活动
16.如图9,有两条公路OM,ON相交成30°角,沿公路OM方向离点O80米处有一所学校A,当重型运输卡车P沿公路ON方向行驶时,在以点P为圆心、50米长为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响,且卡车P与学校A的距离越近噪声影响越大.若已知重型运输卡车P沿公路ON方向行驶的速度为18千米/时.
(1)求对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离;
(2)求卡车P沿公路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间.
图9
答案
1.A　2.D
3.B　[解析]
在Rt△ACB中,∠C=90°,∠ABC=45°,延长CB使BD=AB,连接AD,得∠D=22.5°.设AC=BC=1,则AB=BD=,所以tan22.5°===-1.故选B.
4.　[解析]
如图,设BC=2x,AB=3x,则AC=x,所以cosA==.
5.解:∵(2b)2=4(c+a)(c-a),∴4b2=4(c2-a2),
∴b2=c2-a2,即a2+b2=c2,
∴△ABC为直角三角形,且∠C=90°.
∵5a-3c=0,∴=,∴sinA=.
设a=3k,c=5k(k>0),
则在Rt△ABC中,b==4k,
∴sinB===,
∴sinA+sinB=+=.
6.B　[解析]2sin45°=2×=.
7.B　[解析]<<1,由锐角的正切值随锐角的增大而增大,得tan30°8.　[解析]
原式=2+-1=+-1=.
9.解:(1)∵2cosα-=0,∴2cosα=,∴cosα=.
∵α为锐角,∴α=45°.
(2)∵tan(α+10°)=,α为锐角,
∴α+10°=60°,∴α=50°.
10.B　[解析]
根据题意,得sinB=,即b=csinB,故A选项不成立,B选项成立;tanB=,即b=atanB,故C选项不成立,D选项不成立.
11.10　[解析]
在Rt△ABC中,∵AB=2,
sin∠ACB==,∴AC=6.
在Rt△ADC中,
AD===10.
12.解:过点A作AD⊥BC于点D.
∵∠C=45°,AC=4,
∴AD=CD=ACsin45°=2.
∵sinB=,∴=,∴=,
∴AB=6,
∴BD===8,
∴BC=BD+DC=8+2.
13.A
14.
C　[解析]
如图.根据题意,得∠CBD=84°,∠CAB=42°,∴∠C=∠CBD-∠CAB=42°,∴∠C=∠CAB,∴BC=AB.∵AB=15×2=30(海里),∴BC=30海里,即海岛B到灯塔C的距离是30海里.故选C.
15.解:如图,延长FH交CD于点M,交AB于点N.
∵∠BHN=45°,BA⊥MH,∴BN=NH.
设BN=NH=xm.
∵在Rt△BFN中,HF=GE=6,∠BFN=30°,
∴tan∠BFN==,
即tan30°=,
解得x=3+3.
经检验,x=3+3是原方程的根,
∴BN=NH=3+3.
根据题意可知DM=MH=MN+NH.
∵MN=AC=10,
∴DM=10+3+3=13+3,
∴CD=DM+MC=DM+EF=13+3+1.6≈19.8(m).
答:建筑物CD的高度约为19.8m.
16.解:(1)如图①,过点A作ON的垂线段,交ON于点P'.
在Rt△AOP'中,∠AP'O=90°,∠P'OA=30°,OA=80米,
所以AP'=80×sin30°=80×=40(米),
即对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离是40米.
(2)如图②,以点A为圆心,50米长为半径画弧,交ON于点D,E.
在Rt△ADP'中,∠AP'D=90°,AP'=40米,AD=50米,
所以DP'===30(米).
同理可得EP'=30米,所以DE=60米.
又因为18千米/时=5米/秒,=12(秒),
所以卡车P沿公路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间为12秒.