(共24张PPT)
27.2.2
相似三角形的性质
人教版
九年级下册
复习知识
判断两三角形相似
1.定义法:
的两个三角形相似.
2.平行法:平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形
.
对应角相等，对应边的比相等
相似
3.
对应成比例的两个三角形相似.
三边
4.
对应成比例且
相等的两个三角形相似.
两边
夹角
5.
分别相等的两个三角形相似.
两角
新知导入
三角形除了三个角，三条边外，还有哪些要素?
高线
角平分线
中线
三角形周长、三角形面积
？
？
？
如果两个三角形相似，那么，对应的这些要素有什么关系呢？
活动探究
如图，小方格的边长都是1.
△ABC∽△A′B′C′，相似比为，它们对应高、对应中线、对应角平分线的比各是多少？
AD、A′D′分别为BC和B′C′
上的高线
∴AD=2，
A′D′=4，∴=.
AE、A′E′分别为BC和′B′C′
上的中线
∴AE=，
A′E′=2，∴=.
AF、A′F′分别为∠BAC和∠B′A′C′
的平分线
∴AF=，
A′F′=，∴=
.
A
C
B
A′
B′
C′
D
D′
E
E′
F
F′
活动探究
探究结果：
①相似三角形的对应高线之比等于相似比；
②相似三角形的对应中线之比等于相似比；
②相似三角形的对应角平分线之比等于相似比.
如何证明探究的结果呢？
活动探究
证明：∵△DEF∽△ABC，
∴∠E=
∠B．
又∵∠DPE
=∠AOB
=90°,
∴△DEP∽△ABO.
∴==k.
1.如图，△DEF∽△ABC，相似比为k
，AO、DP为BC、EF上的高．
求证：k.
A
B
C
D
E
F
P
O
活动探究
证明：∵△ABC∽△DEF，
∴∠B=
∠E，==k
又AM、DN分别为BC、EF上的中线
∴BC=2BM，EF=2EN
∴=
△ABM∽△DEN.
∴==k
2.如图，△ABC
∽△DEF，相似比为k
，AM、DN分别为BC、EF上的中线．
求证：k.
A
B
C
D
E
F
N
M
活动探究
证明：∵△ABC∽△DEF.
∴∠B
=∠E,
∠BAC=∠EDF.
又∵AM、DN分别是∠BAC和∠EDF的角平分线
∴∠BAM=BAC
，
∠EDN=EDF
，
∴∠BAM=∠EDN.
∴△AMB∽△DNE.
∴=k.
3.已知△ABC∽△DEF，相似比为k
，AM、DN分别为角平分线.求证：
A
B
C
D
E
F
N
M
新知讲解
相似三角形对应高的比等于相似比.
相似三角形对应中线、角平分线的比也等于相似比.
一般地，我们有：
相似三角形对应线段的比等于相似比.
相似三角形的性质（1）
【例1】填一填：
1.已知△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为4：1，则△ABC与△DEF对应边上的高之比为
．
2.已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为2：3，则△ABC与△DEF对应边上中线的比为
．
3.已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF对应角平分线的比为6:1，则△ABC与△DEF的相似比为
，对应边上中线的比为
，对应高线的比为
.
例题讲解
4：1
2：3
6：1
6：1
6：1
活动探究
1.相似三角形的周长比也等于相似比吗？为什么？
如果
△ABC
∽△A'B'C'，相似比为
k，那么=k，
∴AB=kA′B′，BC=kB′C′，CA=kC′A′
∴
A
B
C
A'
B'
C'
活动探究
2.相似三角形面积的比与相似比又有什么关系呢？
A
B
C
A'
B'
C'
D'
D
由前面的结论，得
=k?.
相似三角形周长的比等于相似比.
相似三角形面积的比等于相似比的平方．
新知讲解
相似三角形的性质（2）
已知两个三角形相似，请完成下列表格：
小试牛刀
相似比
10
k
…
对应高之比
…
对应角平分线之比
…
对应中线之比
…
周长比
…
面积比
64
…
10
8
k
k2
10
10
10
100
k
k
k
8
8
8
8
【例2】如图，在
△ABC
和
△DEF
中，AB
=
2
DE，AC
=
2
DF，∠A
=
∠D.
若
△ABC
的边
BC
上的高为
6，面积为12，求
△DEF
的边
EF
上的高和面积.
解：在
△ABC
和
△DEF
中，
∵
AB=2DE，AC=2DF，
∴，
又
∠D=∠A，
∴△DEF∽△ABC
，相似比为
.
∵△ABC
的边BC上的高为
6，面积为12，
∴△DEF的边EF上的高为，
面积为?.
例题讲解
A
B
C
D
E
F
例题讲解
【例3】如图，已知△ADE
∽△ABC
，且AD=6，AB=12，
△ABC
的面积为
100
cm2.求四边形
BCDE
的面积.
解：∵△ADE
∽△ABC，且AD=6，AB=12
∴k
∴面积比为k?
又∵△ABC的面积为
100
cm2，
∴△ADE
的面积为
25
cm2
.
∴
四边形
BCDE
的面积为100－25
=
75
(cm2).
课堂练习
1.已知两个相似三角形对应边的比为，那么相似比为________，这两个相似三角形的对应高之比为
.
2.两个相似三角形对应中线的长分别为6cm和12cm，若较大三角形的面积是12cm?,则较小的三角形的面积为
.
3.已知△ABC
∽△DEF，两个三角形的相似比为，且△DEF的面积为12，则△ABC的面积为
.
3cm?
3
课堂练习
4.两个三角形的相似比是2：3，则其面积之比是（
）
A．：
B．2：3
C．4：9
D．8：27
5.已知△ABC∽△DEF，相似比为2，△ABC的面积为16，则△DEF的面积为（
）
A．32
B．8
C．4
D．16
6.在△ABC和△DEF中，AB＝2
DE，AC＝2
DF，∠A＝∠D，AP，DQ
是中线，若
AP＝2，则
DQ的值为
（
）
A．2
B．4
C．1
D.
C
C
C
课堂练习
7.如图，AB与CD相交于点O，△OBD∽△OAC，，OB=4，S△AOC=36，求
（1）AO的长．
（2）求S△BOD．
解：（1）∵
△OBD∽△OAC
∴
∵
OB=4
∴
OA=6.
（2）∵
△OBD∽△OAC
∴=(=
∵
S△AOC=36
∴
S△BOD
=
16.
课堂总结
27.2.2
相似三角形的性质
（1）相似三角形对应的比等于相似比.
（2）相似三角形对应周长的比等于相似比.
相似三角形对应面积的比等于相似比的平方.
板书设计
27.2.2
相似三角形的性质
（1）相似三角形对应的比等于相似比.
（2）相似三角形对应周长的比等于相似比.
相似三角形对应面积的比等于相似比的平方.
作业布置
教材39页练习第1、2、3题。
https://www.21cnjy.com/help/help_extract.php中小学教育资源及组卷应用平台
27.2.2相似三角形的性质
教学设计
课题
27.2.2相似三角形的性质
单元
第二十七章
学科
数学
年级
九年级
学习
目标
掌握相似三角形对应高线、中线和角平分线的比与相似比之间的关系。
理解并掌握相似三角形及相似多边形的周长与面积的性质。
能够运用相似三角形的性质解决相关问题。
通过操作、观察、猜想、类比、证明等数学活动，积累数学活动经验，感受过程的条理性，进一步提高学生的数学思维能力和推理论证能力，提高学生的学习热情、增强探究意识。
重点
1.相似三角形的性质。
2.运用相似三角形的性质解决相关问题。
难点
运用相似三角形的性质解决相关问题。
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
回顾知识
+
导入新知
判定两三角形相似的方法
1.定义法:
对应角相等，对应边的比相等
的两个三角形相似.
2.平行法:平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形
相似
.
3.
三边
对应成比例的两个三角形相似.
4.
两边
对应成比例且
夹角
相等的两个三角形相似.
5.
两角
分别相等的两个三角形相似.
教师：三角形除了三个角，三条边外，还有哪些要素?（高线、中线、角平分线、周长、面积）
问：如果两个三角形相似，那么，对应的这些要素有什么关系呢？
回答问题，回顾知识。
学生观察导入中的图片，认真思考问题。
教师出示问题
师生一起回顾上节课学习的关于图形的相似多边形相关知识。
从问题导入知识，引起学生的关注，提高学习的热情。
活动探究
讲授新课
讲授新课+
例题讲解
例题讲解
【活动探究】如图，小方格的边长都是1.
△ABC∽△A′B′C′，相似比为，它们对应高、对应中线、对应角平分线的比各是多少？
AD、A′D′分别为BC和B′C′上的高线
∴AD=2，
A′D′=4，∴=.
AE、A′E′分别为BC和′B′C′上的中线
∴AE=，
A′E′=2，∴=.
AF、A′F′分别为∠BAC和∠B′A′C′的平分线
∴AF=，
A′F′=，∴=
.
探究结果：
①相似三角形的对应高线之比等于相似比；
②相似三角形的对应中线之比等于相似比；
②相似三角形的对应角平分线之比等于相似比。
1.如图，△DEF∽△ABC，相似比为k
，AO、DP为BC、EF上的高．求证：k.
证明：∵△DEF∽△ABC，
∴∠E=
∠B．
又∵∠DPE
=∠AOB
=90°,
∴△DEP∽△ABO.
∴==k.
2.如图，△ABC
∽△DEF，相似比为k
，AM、DN分别为BC、EF上的中线．求证：k.
证明：∵△A′B′C′∽△ABC，
∴∠B=
∠E，==k
AM、DN为BC、EF上的中线
∴BC=2BM，EF=2EN
∴=
△ABM∽△DEN.
∴==k
3.已知△ABC∽△DEF，相似比为k
，AM、DN分别为角平分线.求证：
证明：∵△ABC∽△DEF.
∴∠B
=∠E,
∠BAC=∠EDF.
又∵AM、DN分别是∠BAC和∠EDF的角平分线
∴∠BAM=BAC
，
∠EDN=EDF
，
∴∠BAM=∠EDN.
∴△AMB∽△DNE.
∴=k.
教师和学生公共总结归纳：
相似三角形的性质（1）
相似三角形对应高的比等于相似比.相似三角形对应中线、角平分线的比也等于相似比.
一般地，我们有：
相似三角形对应线段的比等于相似比.
【例1】填一填：
1.已知△ABC∽△DEF，相似比为4：1，则△ABC与△DEF对应边上的高之比为4：1
．
2.已知△ABC∽△DEF，若相似比为2：3，则△ABC与△DEF对应边上中线的比为
2：3
．
3.已知△ABC∽△DEF，若对应角平分线的比为6:1，则相似比为
6：1，对应边上中线的比为
6：1
，对应高线的比为
6:1
.
【活动探究】1.相似三角形的周长比也等于相似比吗？为什么？
如果
△ABC
∽△A'B'C'，相似比为
k，那么=k，
∴AB=kA′B′，BC=kB′C′，CA=kC′A′
∴
2.相似三角形面积的比与相似比又有什么关系呢？
由前面的结论，得
=k?.
教师讲授内容：
相似三角形的性质（2）
相似三角形周长的比等于相似比.
相似三角形面积的比等于相似比的平方．
【小试牛刀】已知两个三角形相似，请完成下列表格：
【例2】如图，在
△ABC
和
△DEF
中，AB
=
2
DE，AC
=
2
DF，∠A
=
∠D.
若
△ABC
的边
BC
上的高为
6，面积为12，求
△DEF
的边
EF
上的高和面积.
解：在
△ABC
和
△DEF
中，
∵
AB=2DE，AC=2DF，
∴，
又
∵∠D=∠A，
∴
△DEF
∽
△ABC
，相似比为
.
∵△ABC
的边
BC
上的高为
6，面积为12，
∴△DEF
的边
EF
上的高为，
面积为：?.
【例3】如图，已知△ADE
∽△ABC
，且AD=6，AB=12，
△ABC
的面积为
100
cm2.求四边形
BCDE
的面积.
解：∵
△ADE
∽△ABC，且AD=6，AB=12
∴k
∴面积比为：k?
又∵
△ABC
的面积为
100
cm2，
∴
△ADE
的面积为
25
cm2
.
∴
四边形
BCDE
的面积为100－25
=
75
(cm2).
教师出示问题，师生共同探究关于相似三角形的性质和证明方法。
师出示例题，学生先独立思考，自己检测自己对知识点的掌握程度。
学生完成小试牛刀中的练习题，以巩固知识点。
师出示例题，学生先独立思考，自己检测自己对知识点的掌握程度。
教师出示问题，让学生在图片以及两个问题中进行内容探究，让学生自己动手、动脑，掌握相似三角形的性质和证明方法。
讲解知识，让学生学习新知识。
通过例题讲解的形式，对知识点进一步进行讲解，让学生能够更进一步的掌握和熟悉本节课的重难点。
讲解知识，让学生学习新知识。
教师出示问题，让学生在图片以及两个问题中进行内容探究，让学生自己动手、动脑，掌握相似三角形的性质和证明方法。
通过例题讲解的形式，对知识点进一步进行讲解，让学生能够更进一步的掌握和熟悉本节课的重难点。
课题练习
1.已知两个相似三角形对应边的比为，那么相似比为__，对应高之比为
.
2.两个相似三角形对应中线的长分别为6cm和12cm，若较大三角形的面积是12cm?,则较小的三角形的面积为
3cm?
.
3.已知△ABC
∽△DEF，两个三角形的相似比为，且△DEF的面积为12，则△ABC的面积为
3
.
4.两个三角形的相似比是2：3，则其面积之比是（C）
A．：
B．2：3
C．4：9
D．8：27
5.已知△ABC∽△DEF，相似比为2，△ABC的面积为16，则△DEF的面积为（C
）
A．32
B．8
C．4
D．16
6.在
△ABC
和
△DEF
中，AB＝2
DE，AC＝2
DF，∠A＝∠D，AP，DQ
是中线，若
AP＝2，则
DQ的值为
（C）
A．2
B．4
C．1
D.
7.如图，AB与CD相交于点O，△OBD∽△OAC，，OB=4，S△AOC=36，求
（1）AO的长．
（2）求S△BOD．
解：（1）∵
△OBD∽△OAC
∴
∵
OB=4
∴
OA=6.
（2）∵
△OBD∽△OAC
∴=(=
∵
S△AOC=36
∴
S△BOD
=
16.
学生观察并回答教师规范解答，教师出示练习题组，学生尝试练习师巡视，个别指导。
教师引导学生动手能力训练，培养学生的基本技能，教师引导学生进行展示交流。
通过课题练习检验学生对知识的掌握情况，及时发现问题及时解决，也让学生在练习中进一步掌握本节课的知识内容。
课堂小结
本节课学习了什么内容呢？
（1）相似三角形对应的比等于相似比.
（2）相似三角形对应周长的比等于相似比.
相似三角形对应面积的比等于相似比的平方.
与教师一起回顾本节的内容。
引导学生进行展示交流，对本节课内容进行归纳总结。
板书
27.2.2
相似三角形的性质
作业布置
教材39页练习第1、2、3题。
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精品试卷·第
2
页
（共
2
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