2021-2022学年高一上学期苏教版（2019）必修第一册第三章不等式单元测试（含答案）

本章达标检测
(满分:150分;时间:120分钟)
一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.不等式(x+1)(2-x)<0的解集是
(　　)
A.{x|x>-1}　　　　　　B.{x|x<1}
C.{x|-12}
2.设正实数a,b满足a+kb=2(其中k为正常数),若ab的最大值为3,则k=(　　)
A.3　　　　B.
3.若命题“?x∈R,x2+(a-1)x+1<0”是假命题,则实数a的取值范围为
(　　)
A.(-1,3)　　　　　　B.[-1,3]
C.(-∞,-1)∪(3,+∞)　　　　　　D.(-∞,-1]∪[3,+∞)
4.若关于x的不等式ax2-2ax+1<0的解集为?,则实数a的取值范围是
(　　)
A.a>1　　　　　　B.a≥1
C.05.已知x>0,y>0,且,则x+y的最小值为
(　　)
A.5　　　　B.6　　　　C.7　　　　D.8
6.若正数a,b满足ab=2(a+b)+5,设y=(a+b-4)(12-a-b),则y的最大值是(　　)
A.12　　　　B.-12　　　　C.16　　　　D.-16
7.已知三个关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0,bx2+cx+a=0,cx2+ax+b=0恰有一个公共实数根,则的值为
(　　)
A.0　　　　B.1　　　　C.2　　　　D.3
8.已知0(　　)
A.2　　　　B.2
二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多个选项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分)
9.若非零实数a,b满足a(　　)
A.≥2
C.　　　　　　D.a2+a10.给出下列四个条件:①xt2>yt2;②xt>yt;③x2>y2;④0<.其中能成为x>y的充分条件的是
(　　)
A.①　　　　B.②　　　　C.③　　　　D.④
11.下列结论正确的是
(　　)
A.当x>0时,≥2
B.当x>3时,x+的最小值是2
C.当x<时,2x-1+的最小值是4
D.设x>0,y>0,且2x+y=1,则的最小值是9
12.已知关于x的不等式a≤x2-3x+4≤b,则下列结论正确的是
(　　)
A.当aB.当a=2时,不等式a≤x2-3x+4≤b的解集可以写成{x|c≤x≤d}(c,d为实数)的形式
C.如果不等式a≤x2-3x+4≤b的解集恰好为{x|a≤x≤b},那么b=
D.如果不等式a≤x2-3x+4≤b的解集恰好为{x|a≤x≤b},那么b-a=4
三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中横线上)
13.已知a>b,a-同时成立,则ab应满足的条件是　　　　　　　.?
14.若对任意x∈R,不等式ax2+ax+2≥0恒成立,则实数a的取值范围为　　　.?
15.某项研究表明:在考虑行车安全的情况下,某路段车流量F(单位时间内经过测试点的车辆数,单位:辆/时)与车流速度v(假设车辆以相同的速度v行驶,单位:米/秒)、平均车长l(单位:米)有关,其公式为F=.
(1)若l=6.05,则最大车流量为　　　　辆/时;?
(2)若l=5,则最大车流量比(1)中的最大车流量增加　　　　辆/时.?
16.已知a>b,不等式ax2+2x+b≥0对一切实数x恒成立.若存在x0∈R,使a+2x0+b=0成立,则的最小值为　　　　.?
四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)在①A={x|x2-2x-3<0},②A=,③A={x||x-1|<2}这三个条件中任选一个补充在下面的问题中,并解答.
设全集U=R,　　　　,B=[0,4),求A∩B,(?UA)∪B.?
注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.
18.(本小题满分12分)设集合A={x|x2-4x-5≤0},集合B={x|x2-2x+1-m2≤0}(m>0).
(1)若“x∈A”是“x∈B”的充分条件,求实数m的取值范围;
(2)若“x∈A”是“x∈B”的必要条件,求实数m的取值范围.
19.(本小题满分12分)已知关于x的不等式(kx-k2-4)·(x-4)>0,其中k∈R.
(1)当k=2时,求不等式的解集A;
(2)当k≠2时,求不等式的解集A;
(3)当k∈R时,若不等式的解集A满足A∩Z=B(其中Z为整数集),则集合B能否为有限集?若能,求出使得集合B中元素个数最少的k的取值,并用列举法表示集合B;若不能,请说明理由.
20.(本小题满分12分)2020年年初,新冠肺炎疫情袭击全国,在党和国家强有力的抗疫领导下,我国控制住了疫情,之后一方面防止境外输入,另一方面复工复产.某厂经调查测算,某种商品原来每件售价为25元,年销售量8万件.
(1)据市场调查,该商品的售价每提高1元,销售量将相应减少2
000件,要使销售的总收入不低于原收入,则该商品每件定价最多为多少元?
(2)为了扩大该商品的影响力,提高年销售量,公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革,并将定价提高到x元,公司拟投入(x2-600)万元作为技改费用,投入50万元作为固定宣传费用,投入x万元作为浮动宣传费用.试问:当该商品改革后的年销售量a至少达到多少万件时,才可能使改革后的年销售收入不低于原年收入与总投入之和?并求出此时该商品的每件定价.
21.(本小题满分12分)设y=ax2+(1-a)x+a-2.
(1)若不等式y≥-2对一切实数x恒成立,求实数a的取值范围;
(2)解关于x的不等式ax2+(1-a)x+a-222.(本小题满分12分)已知函数y=(m+1)x2-mx+m-1(m∈R).
(1)若关于x的不等式(m+1)x2-mx+m-1<0(m∈R)的解集为?,求实数m的取值范围;
(2)若关于x的不等式(m+1)x2-mx+m-1≥0的解集为D,且{x|-1≤x≤1}?D,求实数m的取值范围.
答案全解全析
本章达标检测
一、单项选择题
1.D　由(x+1)(2-x)<0,得(x+1)(x-2)>0,解得x<-1或x>2.故选D.
2.D　因为正实数a,b满足a+kb=2(其中k为正常数),所以a·kb≤=1,当且仅当a=kb=1时取等号,所以ab≤.因为ab的最大值为3,所以=3,所以k=.故选D.
3.B　若命题“?x∈R,x2+(a-1)x+1<0”是假命题,则命题“?x∈R,x2+(a-1)x+1≥0”是真命题,
故Δ=(a-1)2-4≤0,解得-1≤a≤3.故选B.
4.D　当a=0时,1<0,原不等式无解;
当a≠0时,要使原不等式无解,需满足
解得0综上,0≤a≤1.故选D.
5.A　∵x>0,
∴x+1>0,
由,得y=,
∴x+y=x+=(x+1)++1=5,
当且仅当x+1=,即x=1时,等号成立,
∴x+y的最小值为5.
6.A　∵ab=2(a+b)+5,
∴a+b=.
∵a>0,b>0,
∴a+b=,当且仅当a=b=5时,等号成立,∴ab≥25,
∵y=(a+b-4)(12-a-b)
=
=-(ab-21)2+16,
∴ymax=12.故选A.
7.D　设三个关于x的一元二次方程的公共实数根为t,则at2+bt+c=0①,bt2+ct+a=0②,ct2+at+b=0③.
①+②+③,得(a+b+c)t2+(a+b+c)t+(a+b+c)=0,
∴(a+b+c)(t2+t+1)=0.
∵t2+t+1=>0,
∴a+b+c=0,∴a+b=-c,
∴
==3.故选D.
8.C　因为4(a+b)=4ab+3,所以4ab-4a-4b+3=0,所以4ab-4a-4b+4=1,即ab-a-b+1=,亦即(1-a)(1-b)=.
令x=1-a>0,y=1-b>0,
则a=1-x,b=1-y,y=,
所以a+2b=1-x+2(1-y)=-x-2y+3=-x-,即x=时,等号成立.故a+2b的最大值为3-.故选C.
二、多项选择题
9.ABD　当a当<0时,≥2不成立;
因为<0,所以一定成立;
因为a2-b2+a-b=(a-b)(a+b+1)的符号不确定,所以a2+a故选ABD.
10.AD　①由xt2>yt2可知,t2>0,所以x>y,
因此xt2>yt2是x>y的充分条件.
②由xt>yt不能确定t的符号,因此不能确定x与y的大小,故xt>yt不是x>y的充分条件.
③令x=-2,y=1,满足x2>y2,但xy2不是x>y的充分条件.
④由0<可得,x>0,y>0,<0,即<0,所以y-x<0,所以x>y.因此0<是x>y的充分条件.故选AD.
11.AD　对于选项A,当x>0时,>0,=2,当且仅当x=1时取等号,故A正确;
对于选项B,当x>0时,x+=2,当且仅当x=1时取等号,但x>3,等号取不到,因此x+的最小值不是2,故B错误;
对于选项C,因为x<,所以3-2x>0,
所以2x-1++2=-2,当且仅当3-2x=,即x=时取等号,故C错误;
对于选项D,因为x>0,y>0,2x+y=1,所以(2x+y)=5+=9,当且仅当,即x=y=时取等号,故D正确.故选AD.
12.AD　由x2-3x+4≤b,可得3x2-12x+16-4b≤0,因为b<1,所以Δ=(-12)2-4×3×(16-4b)=48(b-1)<0,所以不等式a≤x2-3x+4≤b的解集为?,故A正确.
在同一平面直角坐标系中作出函数y=(x-2)2+1的图象以及直线y=a和直线y=b,如图所示,
设直线y=a与函数图象交于点C,D(C在D的左侧),直线y=b与函数图象交于点A,B(A在B的左侧),由图可知,当a=2时,不等式a≤x2-3x+4≤b的解集可以写成{x|xA≤x≤xC}∪{x|xD≤x≤xB}的形式,故B错误.
令y=x2-3x+4,由不等式a≤x2-3x+4≤b的解集恰好为{x|a≤x≤b},可知a≤ymin,即a≤1,且当x=a,x=b时,函数y=x2-3x+4的值都是b.
由b2-3b+4=b,解得b=或b=4.
当b=时,由,解得a=,不满足a≤1,不符合题意,故C错误.
当b=4时,由a2-3a+4=b=4,解得a=0或a=4(舍去),此时b-a=4-0=4,故D正确.
故选AD.
三、填空题
13.答案　ab<-1或ab>0
解析　因为a-,所以>0.
又a>b,即a-b>0,所以>0,从而ab(ab+1)>0,所以ab<-1或ab>0.
14.答案　0≤a≤8
解析　当a=0时,不等式ax2+ax+2≥0化为2≥0,满足题意;
当a≠0时,需满足
解得0综上,实数a的取值范围为0≤a≤8.
15.答案　(1)1
425　(2)75
解析　(1)当l=6.05时,
F==1
425,
当且仅当v=,即v=11时取“=”.
故最大车流量为1
425辆/时.
(2)当l=5时,F==1
500,当且仅当v=,即v=10时取“=”.
故最大车流量比(1)中的最大车流量增加1
500-1
425=75(辆/时).
16.答案　2
解析　对于不等式ax2+2x+b≥0对一切实数x恒成立,
当a=0时,2x+b≥0不一定成立,不符合题意;
当a≠0时,需满足
∵存在x0∈R,使a+2x0+b=0成立,
∴4-4ab≥0?ab≤1.
∴ab=1,且a>0,从而b>0.
∵a>b,∴a-b>0,
∴=(a-b)+,当且仅当a-b=,即a=,b=时,等号成立.故.
四、解答题
17.解析　选①.易知A={x|x2-2x-3<0}=(-1,3),
(2分)
∴?UA=(-∞,-1]∪[3,+∞).
(4分)
又∵B=[0,4),
∴A∩B=[0,3),
(7分)
(?UA)∪B=(-∞,-1]∪[0,+∞).
(10分)
选②.易知A==(-1,3),
(2分)
∴?UA=(-∞,-1]∪[3,+∞),
(4分)
又∵B=[0,4),
∴A∩B=[0,3),
(7分)
(?UA)∪B=(-∞,-1]∪[0,+∞).
(10分)
选③.易知A={x||x-1|<2}=(-1,3),
(2分)
∴?UA=(-∞,-1]∪[3,+∞),
(4分)
又∵B=[0,4),
∴A∩B=[0,3),
(7分)
(?UA)∪B=(-∞,-1]∪[0,+∞).
(10分)
18.解析　将x2-4x-5≤0整理,得(x+1)(x-5)≤0,解得-1≤x≤5,∴A=[-1,5].
(2分)
将x2-2x+1-m2≤0整理,得[x-(1-m)]·[x-(1+m)]≤0,解得1-m≤x≤1+m,∴B=[1-m,1+m].
(4分)
(1)∵“x∈A”是“x∈B”的充分条件,
∴A?B,∴
(6分)
解得m≥4,∴m∈[4,+∞).
(8分)
(2)∵“x∈A”是“x∈B”的必要条件,
∴B?A,∴
(10分)
解得0(12分)
19.解析　(1)当k=2时,不等式为(2x-8)(x-4)>0,即(x-4)2>0,解得x≠4.
故不等式的解集A=(-∞,4)∪(4,+∞).
(2分)
(2)当k=0时,不等式可化为x-4<0,
解得x<4,故A=(-∞,4).
(3分)
当k≠0时,不等式可化为(x-4)>0.
当k>0且k≠2时,4由(kx-k2-4)(x-4)>0得x<4或x>k+,
故A=(-∞,4)∪.
(5分)
当k<0时,k+<4,
由(kx-k2-4)(x-4)>0得k+故A=.
(7分)
综上,当k=0时,A=(-∞,4);当k>0且k≠2时,A=(-∞,4)∪;当k<0时,A=.
(8分)
(3)由(1)(2)知当k≥0时,集合B中的元素的个数无限;当k<0时,集合B中的元素的个数有限,所以集合B能为有限集.
(9分)
当k<0时,k+≤-4,当且仅当k=,且k<0,即k=-2时取等号,
所以当k=-2时,集合B中的元素个数最少,(10分)
此时不等式可化为(x+4)(x-4)<0,则A=(-4,4).
故集合B={-3,-2,-1,0,1,2,3}.
(12分)
20.解析　(1)设每件定价为t元.
依题意得t≥25×8,
(2分)
整理得t2-65t+1
000≤0,解得25≤t≤40.
(4分)
所以要使销售的总收入不低于原收入,则该商品每件定价最多为40元.
(5分)
(2)依题意知,当x>25时,不等式ax≥25×8+50+(x2-600)+x成立,
(6分)
等价于x>25时,a≥有解.
(8分)
因为=10.2,当且仅当x,即x=30时,等号成立,所以a≥10.2.
(10分)
故当该商品改革后的年销售量a至少达到10.2万件时,才可能使改革后的年销售收入不低于原年收入与总投入之和,此时该商品的每件定价为30元.
(12分)
21.解析　(1)ax2+(1-a)x+a-2≥-2对一切实数x恒成立等价于ax2+(1-a)x+a≥0对于一切实数x恒成立.
(1分)
当a=0时,不等式可化为x≥0,不满足题意;(3分)
当a≠0时,需满足
解得a≥.
(5分)
所以实数a的取值范围是.
(6分)
(2)不等式ax2+(1-a)x+a-2当a=0时,不等式可化为x<1,所以不等式的解集为{x|x<1}.
(7分)
当a>0时,不等式可化为(ax+1)(x-1)<0,此时-<1,
所以不等式的解集为.
(8分)
当a<0时,不等式可化为(ax+1)(x-1)<0,
①当a=-1时,-=1,不等式的解集为{x|x≠1};
(9分)
②当-11,不等式的解集为;
(10分)
③当a<-1时,-<1,不等式的解集为.
(11分)
综上所述,当a<-1时,不等式的解集为;当a=-1时,不等式的解集为{x|x≠1};当-10时,不等式的解集为.
(12分)
22.解析　(1)①当m+1=0,即m=-1时,y=x-2,不符合题意,舍去;
(2分)
②当m+1≠0,即m≠-1时,需满足
解得m≥.
(4分)
综上,实数m的取值范围是.
(6分)
(2)由题意得,对任意的x∈[-1,1],不等式(m+1)x2-mx+m-1≥0恒成立,
即对任意的x∈[-1,1],m(x2-x+1)≥-x2+1恒成立.
∵x2-x+1=>0恒成立,
∴对任意的x∈[-1,1],m≥恒成立,
∴m≥,x∈[-1,1].
(8分)
设t=2-x,则t∈[1,3],x=2-t,
∴,
∵t+,当且仅当t=时取等号,
∴,当且仅当x=2-时取等号,
(10分)
∴当x=2-时,取得最大值,最大值为-1+,
∴实数m的取值范围是.
(12分)