2.1等式性质和不等式性质(第1课时)课件-2021-2022学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册(共18张PPT)

(共18张PPT)
2.1
等式的性质和不等式的性质
第1课时
不等关系
引入
相等关系和不等关系是数学中最基本的数学关系，我们利用这两种关系可以构建方程、不等式，再通过方程、不等式来解决数学内外的各种问题数学。
在初中，我们已经学过了一次函数、方程和不等式，以及二次函数、一元二次方程，知道了方程(组)、不等式和函数具有内在联系，可以用函数的观点把它们统一起来。
本章将围绕不等式展开主要内容，包括用不等式刻画不等关系、不等式的性质，并对两类不等式——基本不等式和一元二次不等式进行研究。
在本章，我们还将通过回顾、梳理初中的内容提炼出其中的思想方法——类比等式的基本性质研究不等式的性质，进一步研究基本不等式，类比利用一次函数、方程和不等式关系解决一次不等式的方法，来研究利用二次函数、方程和不等式的关系来解决一元二次不等式的有关问题。
在现实世界和日常生活中，大量存在着相等关系和不等关系，例如多与少、大与小、长与短、高与矮、远与近、快与慢，长与跌、轻与重、不超过与不少于等。类似于这样的问题，反应在数量上，就是相等与不等。相等就用等式来表示，不等就用不等式来表示。
因此，
你能再说出一些不等关系吗？
两点之间线段最短；
直角三角形的斜边大于直角边；
任一个实数不超过其绝对值；
...
...
接下来，我们就首先来看如何用不等式来刻画这样一些不等关系。
不等式就是用来表示不等式关系的式子。
知识探究(一)
思考2：为什么(1)用的是不等式，(2)要用不等式组？
问题1:你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗？
(1)某路段限速40km/h；
(2)某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%，蛋白质的含量p
应不少于2.3%
(3)三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；
(4)连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
(1)设汽车的速度为vkm/h，则
0＜v≤40
(2)由题意得
思考1:“限速40km/h”是什么意思？“不少于”呢？“最短”呢？
“限速40km/h”就是要求速度的大小不超过40km/h；
不少于就是大于或等于。
(1)中只有1个不等关系，
而(2)中要求2个不等关系同时成立。
问题1:你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗？
(1)某路段限速40km/h；
(2)某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%，蛋白质的含量p
应不少于2.3%
(3)三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；
(4)连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
思考3：你能写出其它可能的情况吗？
(3)设?ABC的三边分别为a,b,c，则
(4)设C是直线AB外的任意一点，CD垂直AB于点D，E是直线AB上不同于D的任意一点，则
CDb+c>a，
a+c>b，
c-b思考4：若将“点E是直线AB上不同于D的任意一点”改为“点E是直线AB上的任意一点，结果又会怎样？
CD≤CE
A
B
C
a
b
c
A
B
C
D
E
a+b>c，
a-bb-ca-cc-ab-a练习
（教材P39第1题）
用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系：
(1)某高速公路规定通过车辆的车货总高度h(单位：m)从地面算起不能超过4m；
(2)a与b的和是非负实数；
(3)如图，在一个面积小于350m2的矩形地基的中心位置上建造一个仓库，仓库四周建成绿地，仓库的长L(单位：m)大于宽W(单位：m)的4倍。
绿地
仓
库
思考
:
(1)若提价后每本杂志的定价为x元，则提价后的销售量是多少？
(2)如何用不等式表示提价后的销售总收入不低于20万元？
(3)怎样才能得到杂志定价的范围？
问题2:
某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本.据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本.
如何定价才能使提价后的销售总收入不低于20万元？
我们已经知道，解方程要用到等式的性质，类似地，解不等式就要用到不等式的性质。因此，接下来就需要探究不等式的性质。
知识探究(二)
a-b
>0
a＞b
a-b
>0
a＜b.
a-b
>0
a＝b
在初中我们已经归纳出一些性质，这些性质为什么对，不等式还有没有其它的一些性质，要弄清这些问题就要用到确定两个实数大小的方法。
思考5：事实上，我们也可以用两个实数的差来判定这两个实数的大小关系，你知道如何判定吗？如何用数学语言描述这个基本事实？
思考4：在初中，两个实数的大小关系是如何规定的？
根据它们在数轴上位置，从左到右，依次增大
两个实数的大小关系的基本事实
a＞b
aa=b
小结
解：
例
析
解：
思考6：以上这种比较大小方法叫作差法，请问用作差法比较大小的一般步骤是怎样的？
差值法比较大小的一般步骤
对差变形的目的是什么？你认为一般些会用到哪一些方法？
(1)作差；
(2)变形；
(3)定号；
(4)作结论。
目的：
便于判定差的符号
常用的方法：
因式分解、配方、通分、分子有理化等
如果差的符号不确定，该怎么办？
当差的符号不确定时，一般需要分类讨论
作结论的依据是什么？
根据当差的正负与实数大小关系的基本事实作出结论
小结
练
习
解:
(1）
(2）
证明不等式可以转化为比较大小
3.比较下列两组代数式的大小：
(1)x2+2与2x-1
(2)2x(x+1)与x(x-3)，其中x<-5
思考4：若将“x<-5”改为“x<0”，结果又会怎样？
这是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会的会标．会标根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。
思考1：这个会标中含有怎样的一些几何图形？
思考2：你能否在这个图案中找出一些相等关系或不等关系？(比如从面积的角度)
知识探究(三)
4个全等的直角三角形
1大1小的两个个正方形
阅读材料
A
B
C
D
A
B
C
D
E
F
G
H
(2)正方形ABCD的面积S=________；
若设直角三角形的两直角边分别为a,b，则
(1)四个直角三角形的面积和S'
=_____;
(3)从左图图上看，S与S’有什么样的不等关系，如何表示？
S大于S'，即
(4)若a=b，则左上图就变化为左下图，此时以上不等式会发生怎样的变化？
a2+b2>2ab
a2+b2=2ab
E(FGH)
当a=b时，正方形ABCD的面积等于S四个直角三角形的面积和S'，即
a
b
a=b时
综上，a2+b2>≥2ab
以上的a,b均为正数，实际上，a,b为任意实数时，此不等式也成立。
证明：
思考3：你能证明这个不等式吗？
重要不等式
小结
1.不等关系是普遍存在的；用来表示不等关系的式子叫不等式。利用不等式(组)刻画不等关系时应注意下列问题：
2.两个实数大小关系的基本事实是怎样的？
(1)问题中的不等关系有哪一些，是否需要这些不等关系同时成立;
(2)每一个不等关系各是怎样的；(3)需不需要设出变量。
3.如何利用“两个实数大小关系的基本事实”来比较大小或证明不等式？
4.重要不等式
1.教材P42习题2.1
第2,
3,
4题
作业
赵爽，又名婴，字君卿，生平不详（约182---250年）。东汉末至三国时代吴国人。他是我国历史上著名的数学家与天文学家
据载，他研究过张衡的天文学著作《灵宪》和刘洪的《乾象历》，也提到过“算术”。他的主要贡献是约在222年深入研究了《周髀》，该书是我国最古老的天文学著作，唐初改名为《周髀算经》。该书简明扼要地总结出中国古代勾股算术的深奥原理。其中一段530余字的“勾股圆方图”注文是数学史上极有价值的文献。他详细解释了《周髀算经》中勾股定理，将勾股定理表述为：“勾股各自乘，并之，为弦实。开方除之，即弦。”又给出了新的证明：“按弦图，又可以勾股相乘为朱实二，倍之为朱实四，以勾股之差自相乘为中黄实，加差实，亦成弦实。”“又”“亦”二字表示赵爽认为勾股定理还可以用另一种方法证明。
阅读材料
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