(共14张PPT)
2.1
等式的性质和不等式的性质
第3课时
不等式的性质的应用
复习与回顾
1.不等关系和不等式:
不等关系是普遍存在的;用来表示不等关系的式子叫不等式。利用用不等式(组)刻画不等关系时应注意下列问题:
(1)问题中的不等关系有哪一些,是否需要这些不等关系同时成立;
(2)每一个不等关系各是怎样的;
(3)需不需要设出变量。
2.两个实数大小关系的基本事实是怎样的?
3.由两个实数大小关系的基本事实得出的重要不等式是怎样的?
性质1(对称性):
性质2(传递性):
性质3(可加性):
性质4(可乘性)
(乘正保序,
乘负反序):
注:①性质1,3可逆;
②性质5,6可推广到多个同向不等式;
③性质5,6,7可将“同正”扩大到“同为非负数”。
性质5(同向可加性):
性质6(同正同向可乘性):
性质7(同正可乘方性):
3.不等式的性质有哪一些?哪一些有条件?条件是可以适当哪些性质是可逆的?
4.如何利用“两个实数大小关系的事实”来比较大小?
(1)作差;
(2)变形;
变形的目的:
常用的方法有:
(3)定号;
当差的符号不确定时,一般需要分类讨论
(4)作结论。
根据当差的正负与实数大小关系的基本事实作出结论
因式分解、配方、通分、分子有理化等
便于判定差的符号
5.如何去证明一个不等式?
方法一:用比较大小的方法,比如作差法;
方法二:利用不等式的性质进行变形:两头往中间靠(转化结论,发展条件,寻求联系)。从结论出发,结合已知条件,寻求使结论成立的充分条件,而这一个充分条件又恰好可由已知条件推导出来的。
例析
解:
有两个真命题:
(2)试判断下列命题的真假;若是假命题,请根据不等式的性质
对条件进行适当的补充或修改,使它变成一个真命题。
练习
√
√
例析
解:(1)
(2)证明:
练习
1.证明:圆的面积大于同周长的正方形的面积。并据此说明,
人们把自来水管的横截面制成圆形,而不是方形的原因
(教材P43第9题)
(教材P43第10题)
∴周长相等时,圆的面积大于正方形的面积
反过来讲,水管的横截面相等时,圆的周长比正方形小,更节省材料
例析
(教材P43第12题)
课堂小结
本节课我们学习了哪一些内容?
1.用不等关系刻画不等关系;
2.利用实数大小关系的基本事实和不等式的性质比较大小、证明不等式;
这两者在本质上是一样的,因在方法上有一定的通用性。
3.利用不等式的性质求代数式的取值范围。
1.已知A、B两种药物需用到甲、乙两种原料,其配比如右表。现有甲种原料40mg、乙种原料50mg,若A种药物至少需要配1剂,B种药物至少需要配2剂,则在配制的过程中应满足怎样的不等关系?
作业
甲种原料
乙种原料
A种药1剂
3mg
5mg
A种药1剂
5mg
4mg
2.已知-10≤a5
.(1)(选做题1)已知1≤a-b≤2,2≤a+b≤4,求4a-2b的范围。
(2)(选做题2)证明不等式:a2+b2+c2≥ab+bc+ac
1.设A药物配x剂,B药物配y剂,
则
2.∵-10≤a<8
∴0≤|a|≤10
又∵-10≤b<8
∴20≥-b>-16,即-16<-b≤20
∴-16<|a|-2b≤30
5(1)
设4a-2b=m(a-b)+n(a+b),则
4a-2b=(m+n)a+(n-m)b
5(2)
方法1:a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,
a2+c2≥2ac
∴a2+b2+b2+c2+a2+c2≥2ab+2bc+2ac
∴a2+b2+c2≥ab+bc+ac