逻辑与命题
知识点详解
知识点1
命题及其关系
（1）命题：能判断真假的语句叫做命题.
（2）四种命题
①四种命题
原命题：如果p,那么q(或若p则q)；
逆命题:若q则p；
否命题：若p则q；
逆否命题:若q则p.
②四种命题之间的相互关系
原命题与逆否命题，逆命题与否命题是等价命题同真假；
原命题与否命题，原命题与逆命题之间真假没有关系.
知识点2
充分条件与必要条件
如果已知，那么p是q的充分条件，q是p的必要条件
如果既有，又有，记作，那么p是q的充要条件
从集合与集合之间的关系上看：已知满足条件，满足条件：
①若,则是充分条件；
②若,则是必要条件；
③若，则是充分而不必要条件;
④若，则是必要而不充分条件;
⑤若，则是的充要条件；
⑥若且，则是的既不充分也不必要条件.
知识点3
简答的逻辑联结词
（1）逻辑联结词：“或”“且”“非”这些词叫做逻辑联结词.
（2）不含逻辑联结词的命题叫简单命题；
（3）由简单命题和逻辑联结词构成的命题叫做复合命题.
注意：p∧q：两真才真，一假全假；p∨q：一真则真，两假才假；p与?p必定是一真一假.
知识点4
全称量词与存在量词
（1）“对所有的”、“对任意一个”等词在逻辑中被称为全称量词，记作“?”，含有全称量词的命题叫做全称命题.
（2）“存在一个”、“至少有一个”等词在逻辑中被称为存在量词，记作“?”，含有存在量词的命题叫做特称命题.
知识点5
全称命题与存在命题的否定
（1）对于含有一个量词的全称命题p："?x∈M，p(x)"的否定┐p是："?x∈M，┐p(x)"
（2）对于含有一个量词的特称命题p："?x∈M，p(x)"的否定┐p是："?x∈M，┐p(x)"
例题讲解
例1：下列命题中所有真命题的序号是___②③___．
①“a>b”是“a2>b2”的充分条件；
②“|a|>|b|”是“a2>b2”的必要条件；
③“a>b”是“a＋c>b＋c”的充要条件．
【解析】①由2>－3
?
22>(－3)2知，该命题为假；②a2>b2?|a|2>|b|2?|a|>|b|，该命题为真；
③a>b?a＋c>b＋c，又a＋c>b＋c?a>b；∴“a>b”是“a＋c>b＋c”的充要条件为真命题
例2：写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假．
(1)若a>b，则ac2>bc2；
(2)若四边形的对角互补，则该四边形是圆的内接四边形.
【解析】(1)逆命题：若ac2>bc2，则a>b.真命题．否命题：若a≤b，则ac2≤bc2.真命题．
逆否命题：若ac2≤bc2，则a≤b.假命题．
(2)逆命题：若四边形是圆的内接四边形，则该四边形的对角互补．真命题．
否命题：若四边形的对角不互补，则该四边形不是圆的内接四边形．真命题．
逆否命题：若四边形不是圆的内接四边形，则该四边形的对角不互补．真命题．
例3：已知p和q是两个命题，若p是q的必要不充分条件，则p是q的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】根据逆否命题的等价性知，若p是q的必要不充分条件，则q是p的必要不充分条件，即p是q的充分不必要条件，故选A.
例4：“，”的否定是（
）
A．，
B．，
C．，使得
D．，使得
【答案】D
【解析】全称量词的否定是特称量词，大于的否定是小于等于，
故“，”的否定是“，使得”
例5：下列语句中是全称命题的是
A．对每一个无理数，也是无理数
B．存在两个相交平面垂直于同一条直线
C．
D．某些平行四边形是菱形
【答案】A
【解析】解：含有全称量词每一个，所以是全称命题．
含有特此量词存在，是特称命题．
不是命题．
含有特此量词某些，是特称命题．
故选：．
例6：（多选题）下面命题正确的是（
）
A．“”是“”的充分不必要条件
B．命题“任意，则”的否定是“存在，则”.
C．设，则“且”是“”的必要而不充分条件
D．设，则“”是“”的必要不充分条件
【答案】ABD
【解析】对于A，或，则“”是“”的充分不必要条件，故A对；
对于B，全称命题的否定是特称命题，“任意，则”的否定是“存在，则”，故B对；
对于C，“且”
“”，
“且”
是
“”的充分条件，故C错；
对于D，，且，则“”是“”的必要不充分条件，故D对；
课堂练习
A级
1.使不等式x－3>0成立的一个充分不必要条件是( )
A．x>3
B．x>4
C．x>2
D．x∈{1,2,3}
【答案】 B
【解析】若p的一个充分不必要条件是q，则q?p，p?q.本题要求使不等式x－3>0成立的一个充分不必要条件，又x>4?x－3>0，而x－3>0?x>4，所以使不等式x－3>0成立的一个充分不必要条件为x>4.
2.
命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为（
）
A．存在x0∈R，使得x<0
B．对任意x∈R，都有x2<0
C．存在x0∈R，使得x≥0
D．不存在x∈R，使得x2<0
【答案】 A
【解析】 根据定义可知命题的否定为：存在x0∈R，使得x<0，故选A.
3.命题“任意x∈[1,2]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( )
A．a≥4
B．a≤4
C．a≥5
D．a≤5
【答案】C
【解析】命题“任意x∈[1,2]，x2－a≤0”为真命题的充要条件是a≥4.故其充分不必要条件是集合[4，＋∞)的真子集．故选C.
4.
已知命题p：?x∈R，ax2＋2x＋3>0，如果命题p是真命题，那么实数a的取值范围是________．
【答案】 (－∞，]
【解析】∵命题p是真命题，∴命题p是假命题，而当命题p是真命题时，不等式ax2＋2x＋3>0对一切x∈R恒成立，这时应有解得a>.因此当命题p是假命题，即命题p是真命题时，实数a的范围是a≤.
B级
1.
（多选题）在下列命题中，真命题有（
）
A．，
B．，是有理数
C．，使
D．，
E.命题“，”的否定是“，”
【答案】BCE
【解析】A中，，故A是假命题；
B中，，一定是有理数，故B是真命题；
C中，，时，成立，故C是真命题；
对于D，当时，左边=右边=0，故D为假命题；E命题否定的形式正确，故为真命题．
故真命题有BCE．
2.已知命题p：?x0∈R，mx＋1≤0，命题q：?x∈R，x2＋mx＋1＞0.若p∧q为真命题，则实数m的取值范围是( )
A．(－∞，－2)
B．[－2,0)
C．(－2,0)
D．(0,2)
【答案】C
【解析】由题意可知，若p∧q为真命题，则命题p和命题q均为真命题．命题p为真命题，则m＜0.命题q为真命题，则m2－4＜0，即－2＜m＜2.所以命题p和命题q均为真命题时，实数m的取值范围是(－2,0)．故选C.
3
.
若“满足：”是“满足：”的充分条件，求实数的取值范围.
【解析】由，得，令，
由，解得或，令，
由题意知时，即，即，
∴实数的取值范围是.
C级
1.
若关于的不等式的解集为A，不等式的解集为B．
（1）求集合A；
（2）已知B是A的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
【解析】（1）原不等式可化为：，解得，
所以集合；
（2）不等式可化为：，
等价于，解得，
所以集合，
因为是的必要不充分条件，所以，
故，解得.
2.已知函数f(x)＝x2＋mx＋1，若命题“?x0＞0，f(x0)＜0”为真，则m的取值范围是________．
【答案】(－∞，－2)
【解析】因为函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象过点(0,1)，所以若命题“?x0＞0，f(x0)＜0”为真，
则函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象的对称轴必在y轴的右侧，且与x轴有两个交点，所以Δ＝m2－4＞0，且－＞0，所以m＜－2，即m的取值范围是(－∞，－2)．
3.已知条件p：x2－3x－4≤0，条件q：|x－3|≤m，若￢q是￢p的充分不必要条件，则实数m的取值范围是________．
【答案】[4，＋∞)
【解析】由x2－3x－4≤0得－1≤x≤4，若|x－3|≤m有解，则m＞0(m＝0时不符合已知条件)，则－m≤x－3≤m，得3－m≤x≤3＋m，设B＝{x|3－m≤x≤3＋m}．∵q是p的充分不必要条件，∴p是q的充分不必要条件，∴p?q成立，但q?p不成立，则或
即或得m≥4，故m的取值范围是[4，＋∞)．
课后作业
A级
1.
已知命题“?a，b∈R，如果ab>0，则a>0”，则它的否命题是________．
【答案】?a，b∈R，如果ab≤0，则a≤0
【解析】?a，b∈R是大前提，在否命题中不变，又因ab>0，a>0的否定分别为ab≤0，a≤0.
2.
在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（
）
A．∨
B．∨
C．∧
D．∨
【答案】A
【解析】至少一位学员没降落在指定区域”即为“甲没降落在指定区域或乙没降落在指定区域”，可知选A.
3.
命题：“设,,，若，则”，以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题共有（ ）
A．0个
B．1个
C．2个
D．4个
【答案】C
【解析】原命题：若则不成立，由等价命题同真同假知其逆否命题也为假；逆命题：∵知，由不等式的基本性质得，∴逆命题为真，由等价命题同真同假知否命题也为真，∴有2个真命题．
4.如果a，b，c∈R，那么“b2>4ac”是“方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等实根”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】判别式Δ＝b2－4ac只适用于一元二次方程的实数根存在情况的判断．对于方程ax2＋bx＋c＝0，当a＝0时，原方程为一次方程bx＋c＝0(b≠0)，一次方程不存在判别式，所以当b2>4ac时不能推出方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等实根；若方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等实根，则它的判别式Δ＝b2－4ac>0，即b2>4ac.由上可知，“b2>4ac”是“方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等实根”的必要不充分条件
B级
1.设集合A＝{x|－1≤x≤7}，B＝{x|n＋1≤x≤2n－3}，若“B是A的子集”是真命题，求实数n的取值范围．
【答案】(－∞，5]
【解析】①当B＝?，即n＋1＞2n－3时，B?A.此时解得n＜4.
②当B≠?时，由B?A，得解得4≤n≤5.
综上所述，实数n的取值范围是(－∞，5]．
2.对于集合，，“”是“”的(
)
A．充要条件
B．必要非充分条件
C．充分非必要条件
D．既非充分又非必要条件
【答案】A
【解析】因为，
所以“”能推出“”，故充分；
“”
能推出“”，故必要；
所以“”是“”的充要条件
3.已知p：≤2，q：x2－2x＋1－m2≤0(m＞0)，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
【答案】m≥9
【解析】由x2－2x＋1－m2≤0(m＞0)，得1－m≤x≤1＋m.由≤2，得－2≤x≤10.
由p是q的必要不充分条件知，p是q的充分不必要条件，∴且不等式组中的等号不能同时成立，得m≥9.
C级
1.给出下列命题：
①2>1或1>3；
②方程x2－2x－4＝0的判别式大于或等于0；
③25是6或5的倍数；
④集合A∩B是A的子集，且是A∪B的子集．
其中真命题的个数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】
D
【解析】①由于2>1是真命题，所以“2>1或1>3”是真命题；
②由于方程x2－2x－4＝0的Δ＝4＋16>0，所以“方程x2－2x－4＝0的判别式大于或等于0”是真命题；
③由于25是5的倍数，所以命题“25是6或5的倍数”是真命题；
④由于A∩B?A，A∩B?A∪B，所以命题“集合A∩B是A的子集，且是A∪B的子集”是真命题．
2．已知命题p：m∈R，且m＋1≤0，命题q：?x∈R，x2＋mx＋1>0恒成立，若p∧q为假命题，则m的取值范围是________________．
【答案】 (－∞，－2]∪(－1，＋∞)
【解析】若命题p是真命题，则m≤－1；若命题q是真命题，则m2－4<0，解得－2
－1.
3.命题“ax2－2ax＋3>0恒成立”是假命题，则实数a的取值范围是( )
A．a<0或a≥3
B．a≤0或a≥3
C．a<0或a>3
D．0【答案】A
【解析】若命题“ax2－2ax＋3>0恒成立”是真命题，当a＝0时，3>0符合题意，当a≠0时，则a>0且Δ<0，解得00恒成立”是真命题，故当a<0或a≥3时，命题“ax2－2ax＋3>0恒成立”是假命题．
4．已知m∈R，命题p：对任意x∈[0,1]，不等式2x－2≥m2－3m
恒成立；命题q：存在x∈[－1,1]，使得m≤ax成立．
(1)若p为真命题，求m的取值范围；
(2)当a＝1，若p且q为假，p或q为真，求m的取值范围．
【答案】(1)
[1,2]，(2)
(－∞，1)∪(1,2]
【解析】(1)∵对任意x∈[0,1]，不等式2x－2≥m2－3m恒成立，∴(2x－2)min≥m2－3m.即m2－3m≤－2.解得1≤m≤2.因此，若p为真命题时，m的取值范围是[1,2]．
(2)∵a＝1，且存在x∈[－1,1]，使得m≤ax成立，∴m≤x，命题q为真时，m≤1.
∵p且q为假，p或q为真，∴p，q中一个是真命题，一个是假命题．
当p真q假时，则解得1当p假q真时，即m<1.
综上所述，m的取值范围为(－∞，1)∪(1,2]．逻辑与命题
知识点详解
知识点1
命题及其关系
（1）命题：能判断真假的语句叫做命题.
（2）四种命题
①四种命题
原命题：如果p,那么q(或若p则q)；
逆命题:若q则p；
否命题：若p则q；
逆否命题:若q则p.
②四种命题之间的相互关系
原命题与逆否命题，逆命题与否命题是等价命题同真假；
原命题与否命题，原命题与逆命题之间真假没有关系.
知识点2
充分条件与必要条件
如果已知，那么p是q的充分条件，q是p的必要条件
如果既有，又有，记作，那么p是q的充要条件
从集合与集合之间的关系上看：已知满足条件，满足条件：
①若,则是充分条件；
②若,则是必要条件；
③若，则是充分而不必要条件;
④若，则是必要而不充分条件;
⑤若，则是的充要条件；
⑥若且，则是的既不充分也不必要条件.
知识点3
简答的逻辑联结词
（1）逻辑联结词：“或”“且”“非”这些词叫做逻辑联结词.
（2）不含逻辑联结词的命题叫简单命题；
（3）由简单命题和逻辑联结词构成的命题叫做复合命题.
注意：p∧q：两真才真，一假全假；p∨q：一真则真，两假才假；p与?p必定是一真一假.
知识点4
全称量词与存在量词
（1）“对所有的”、“对任意一个”等词在逻辑中被称为全称量词，记作“?”，含有全称量词的命题叫做全称命题.
（2）“存在一个”、“至少有一个”等词在逻辑中被称为存在量词，记作“?”，含有存在量词的命题叫做特称命题.
知识点5
全称命题与存在命题的否定
（1）对于含有一个量词的全称命题p："?x∈M，p(x)"的否定┐p是："?x∈M，┐p(x)"
（2）对于含有一个量词的特称命题p："?x∈M，p(x)"的否定┐p是："?x∈M，┐p(x)"
例题讲解
例1：下列命题中所有真命题的序号是___②③___．
①“a>b”是“a2>b2”的充分条件；
②“|a|>|b|”是“a2>b2”的必要条件；
③“a>b”是“a＋c>b＋c”的充要条件．
【解析】①由2>－3
?
22>(－3)2知，该命题为假；②a2>b2?|a|2>|b|2?|a|>|b|，该命题为真；
③a>b?a＋c>b＋c，又a＋c>b＋c?a>b；∴“a>b”是“a＋c>b＋c”的充要条件为真命题
例2：写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假．
(1)若a>b，则ac2>bc2；
(2)若四边形的对角互补，则该四边形是圆的内接四边形.
【解析】(1)逆命题：若ac2>bc2，则a>b.真命题．否命题：若a≤b，则ac2≤bc2.真命题．
逆否命题：若ac2≤bc2，则a≤b.假命题．
(2)逆命题：若四边形是圆的内接四边形，则该四边形的对角互补．真命题．
否命题：若四边形的对角不互补，则该四边形不是圆的内接四边形．真命题．
逆否命题：若四边形不是圆的内接四边形，则该四边形的对角不互补．真命题．
例3：已知p和q是两个命题，若p是q的必要不充分条件，则p是q的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】根据逆否命题的等价性知，若p是q的必要不充分条件，则q是p的必要不充分条件，即p是q的充分不必要条件，故选A.
例4：“，”的否定是（
）
A．，
B．，
C．，使得
D．，使得
【答案】D
【解析】全称量词的否定是特称量词，大于的否定是小于等于，
故“，”的否定是“，使得”
例5：下列语句中是全称命题的是
A．对每一个无理数，也是无理数
B．存在两个相交平面垂直于同一条直线
C．
D．某些平行四边形是菱形
【答案】A
【解析】解：含有全称量词每一个，所以是全称命题．
含有特此量词存在，是特称命题．
不是命题．
含有特此量词某些，是特称命题．
故选：．
例6：（多选题）下面命题正确的是（
）
A．“”是“”的充分不必要条件
B．命题“任意，则”的否定是“存在，则”.
C．设，则“且”是“”的必要而不充分条件
D．设，则“”是“”的必要不充分条件
【答案】ABD
【解析】对于A，或，则“”是“”的充分不必要条件，故A对；
对于B，全称命题的否定是特称命题，“任意，则”的否定是“存在，则”，故B对；
对于C，“且”
“”，
“且”
是
“”的充分条件，故C错；
对于D，，且，则“”是“”的必要不充分条件，故D对；
课堂练习
A级
1.使不等式x－3>0成立的一个充分不必要条件是( )
A．x>3
B．x>4
C．x>2
D．x∈{1,2,3}
2.
命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为（
）
A．存在x0∈R，使得x<0
B．对任意x∈R，都有x2<0
C．存在x0∈R，使得x≥0
D．不存在x∈R，使得x2<0
3.命题“任意x∈[1,2]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( )
A．a≥4
B．a≤4
C．a≥5
D．a≤5
4.
已知命题p：?x∈R，ax2＋2x＋3>0，如果命题p是真命题，那么实数a的取值范围是________．
B级
1.
（多选题）在下列命题中，真命题有（
）
A．，
B．，是有理数
C．，使
D．，
E.命题“，”的否定是“，”
2.已知命题p：?x0∈R，mx＋1≤0，命题q：?x∈R，x2＋mx＋1＞0.若p∧q为真命题，则实数m的取值范围是( )
A．(－∞，－2)
B．[－2,0)
C．(－2,0)
D．(0,2)
3
.
若“满足：”是“满足：”的充分条件，求实数的取值范围.
C级
1.
若关于的不等式的解集为A，不等式的解集为B．
（1）求集合A；
（2）已知B是A的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
2.已知函数f(x)＝x2＋mx＋1，若命题“?x0＞0，f(x0)＜0”为真，则m的取值范围是________．
3.已知条件p：x2－3x－4≤0，条件q：|x－3|≤m，若￢q是￢p的充分不必要条件，则实数m的取值范围是________．
课后作业
A级
1.
已知命题“?a，b∈R，如果ab>0，则a>0”，则它的否命题是________．
2.
在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（
）
A．∨
B．∨
C．∧
D．∨
3.
命题：“设,,，若，则”，以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题共有（ ）
A．0个
B．1个
C．2个
D．4个
4.如果a，b，c∈R，那么“b2>4ac”是“方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等实根”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
B级
1.设集合A＝{x|－1≤x≤7}，B＝{x|n＋1≤x≤2n－3}，若“B是A的子集”是真命题，求实数n的取值范围．
2.对于集合，，“”是“”的(
)
A．充要条件
B．必要非充分条件
C．充分非必要条件
D．既非充分又非必要条件
3.已知p：≤2，q：x2－2x＋1－m2≤0(m＞0)，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
C级
1.给出下列命题：
①2>1或1>3；
②方程x2－2x－4＝0的判别式大于或等于0；
③25是6或5的倍数；
④集合A∩B是A的子集，且是A∪B的子集．
其中真命题的个数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
2．已知命题p：m∈R，且m＋1≤0，命题q：?x∈R，x2＋mx＋1>0恒成立，若p∧q为假命题，则m的取值范围是________________．
3.命题“ax2－2ax＋3>0恒成立”是假命题，则实数a的取值范围是( )
A．a<0或a≥3
B．a≤0或a≥3
C．a<0或a>3
D．04．已知m∈R，命题p：对任意x∈[0,1]，不等式2x－2≥m2－3m
恒成立；命题q：存在x∈[－1,1]，使得m≤ax成立．
(1)若p为真命题，求m的取值范围；
(2)当a＝1，若p且q为假，p或q为真，求m的取值范围．