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高中数学苏教版（2019）必修 第一册本册综合

第3讲 一元二次不等式讲义-2021-2022学年高一上学期数学苏教版（2019）必修第一册（Word含答案解析）

文档属性

名称 第3讲 一元二次不等式讲义-2021-2022学年高一上学期数学苏教版（2019）必修第一册（Word含答案解析）
格式 zip
文件大小 239.7KB
资源类型 教案
版本资源 苏教版（2019）
科目 数学
更新时间 2021-09-13 19:35:18

文档简介

一元二次不等式
一、知识点详解
知识点1
不等式的性质
名称
式子表达
性质1(对称性)
a>b?b性质2(传递性)
a>b,b>c?a>c
性质3(可加性)
a>b?a＋c>b＋c
推论
a＋b>c?a>c－b
性质4(可乘性)
a>b,c>0?ac>bc
a>b,c<0?ac性质5(不等式同向可加性)
a>b,c>d?a＋c>b＋d
性质6(不等式同向正数可乘性)
a>b>0,c>d>0?ac>bd
性质7(乘方性)
a>b>0?an>bn(n∈N,n≥1)
性质8(开方性)
a>b>0?
>(n∈N,n≥2)
知识点2
三个“二次”的关系
设f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0),方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac
判别式
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
解不
等式
f(x)
＞0
或
f(x)
＜0的
步骤
求方程
f(x)＝0的解
有两个不等的实数解
x1,x2
有两个相等的实数解
x1＝x2
没有实数解
画函数
y＝f(x)
的示意图
得等的集不式解
f(x)
＞0
{x|x＜x1_
或x＞x2}
R
f(x)
＜0
{x|x1＜
x＜x2}
?
?
知识点3
分式不等式的解法
类型
同解不等式
>0(<0)
法一：或
法二：f(x)·g(x)>0(<0)
≥0(≤0)
法一：或
法二：
>a
先移项转化为上述两种形式
二、例题解析
例1：求下列不等式的解集：
（1）；
（2）．
【解析】
（1）原不等式可化为．
，方程的解是，．
所以原不等式的解集是或．
（2）原不等式变形为．
，方程无解．
所以原不等式的解集是．
例2：不等式x2－2x＋5≥a2－3a对任意实数x恒成立,则实数a的取值范围为(　　)
A．[－1,4]
B．(－∞,－2]∪[5,＋∞)
C．(－∞,－1]∪[4,＋∞)
D．[－2,5]
【答案】A
【解析】　x2－2x＋5＝(x－1)2＋4的最小值为4,所以x2－2x＋5≥a2－3a对任意实数x恒成立,只需a2－3a≤4,解得－1≤a≤4．
例3：不等式|x(x－2)|>x(x－2)的解集是________．
【答案】{x|0【解析】不等式|x(x－2)|>x(x－2)的解集即x(x－2)<0的解集,解得0例4：若00的解集是________．
【答案】
【解析】原不等式为(x－a)<0,由0例5：已知a>0，解关于x的不等式(x－2)(ax－2)>0.
【解析】当a>0时，原不等式化为(x－2)·>0.
(1)当0(2)当a＝1时
,2＝，原不等式的解集为{x|x≠2}；
(3)当a>1时，两根的大小顺序为2>，原不等式的解集为.
综上所述，
当0当a＝1时，原不等式的解集为；
当a>1时，原不等式的解集为.
例6：若不等式ax2＋bx＋c≥0的解集是，求不等式cx2＋bx＋a<0的解集．
【解析】由ax2＋bx＋c≥0的解集为知a<0，
又×2＝<0，则c>0.
又－，2为方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，
∴－＝，∴＝－.
又＝－，∴b＝－a，c＝－a，
∴不等式cx2＋bx＋a<0变为x2＋x＋a<0，
即2ax2＋5ax－3a>0.
又∵a<0，
∴2x2＋5x－3<0，
所求不等式的解集为.
例7：某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售,每天可销售100件,现准备采用提高售价来增加利润．已知这种商品每件销售价提高1元,销售量就要减少10件．那么要保证每天所赚的利润在320元以上,销售价每件应定为(　　)
A．12元
B．16元
C．12元到16元之间
D．10元到14元之间
【答案】选C
【解析】设销售价定为每件x元,利润为y,则y＝(x－8)[100－10(x－10)],
依题意有,(x－8)[100－10(x－10)]＞320,即x2－28x＋192＜0,解得12＜x＜16,
所以每件销售价应为12元到16元之间．
三、课堂练习
A级
1.
设集合A＝{x|x2＋x－6≤0},集合B为函数y＝的定义域,则A∩B等于(　　)
A．(1,2)　　　　　　　　　
B．[1,2]
C．[1,2)
D．(1,2]
2.
不等式<1的解集是(　　)
A．(－∞,－1)∪(1,＋∞)
B．(1,＋∞)
C．(－∞,－1)
D．(－1,1)
3.
已知y＝－3x2＋a(6－a)x＋6．
(1)解关于a的不等式f(1)>0；
(2)若不等式f(x)>b的解集为(－1,3),求实数a,b的值．
4.
若a>b>0,cA.>
B.<
C.>
D.<
B级
1.
定记号“⊙”表示一种运算,定义a⊙b＝＋a＋b(a,b为正实数),若1⊙k2＜3,则k的取值范围是(　　)
A．(－1,1)
B．(0,1)
C．(－1,0)
D．(0,2)
2.
已知方程的两根为与，求下列各式的值：
（1）；（2）．
3.
解下列关于x的不等式：
（1）.（2）.
C级：
1.
若不等式x2－(a＋1)x＋a≤0的解集是[－4,3]的子集,则a的取值范围是(　　)
A．[－4,1]
B．[－4,3]
C．[1,3]
D．[－1,3]
2.
已知不等式x2－2x－3＜0的解集为A,不等式x2＋x－6＜0的解集为B,不等式x2＋ax＋b＜0的解集为A∩B,则a＋b等于(　　)
A．－3　　　　　　　　　
B．1
C．－1
D．3
3.
记不等式的解集为A，关于x的不等式的解集为B．
（1）求A；
（2）若，求实数a的取值范围．
1.
不等式x2＋ax＋4<0的解集不是空集,则实数a的取值范围是________．
2.
若关于x的不等式ax＞b的解集为,则关于x的不等式ax2＋bx－a＞0的解集为________．
3.
设a,b∈R,若a＋|b|＜0,则下列不等式成立的是(　　)
A．a－b＞0　　　　　　　
B．a3＋b3＞0
C．a2－b2＜0
D．a＋b＜0
四、课后作业
A级
1.
在R上定义运算：＝ad－bc．若不等式≥1对任意实数x恒成立,则实数a的最大值为________．
2.
若关于x的不等式x2－4x－2－a>0在区间(1,4)内有解,则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞,－2)
B．(－2,＋∞)
C．(－6,＋∞)
D．(－∞,－6)
3.若不等式组的解集不是空集,则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞,－4]
B．[－4,＋∞)
C．[－4,3]
D．[－4,3)
B级
1.
在R上定义运算：＝ad－bc．若不等式≥1对任意实数x恒成立,则实数a的最大值为________．
2.
若关于x的不等式x2－4x－2－a>0在区间(1,4)内有解,则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞,－2)
B．(－2,＋∞)
C．(－6,＋∞)
D．(－∞,－6)
3.若不等式组的解集不是空集,则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞,－4]
B．[－4,＋∞)
C．[－4,3]
D．[－4,3)
C级：
1.
关于x的不等式x2﹣（a+1）x+a＜0的解集中恰有两个正整数，则实数a的取值范国是（
）
A．[2，4）
B．[3，4]
C．（3，4]
D．（3，4）
2.
下列是“不等式成立”的必要不充分条件的是（
）
A．
B．
C．
D．
3.
已知下列不等式①x2－4x＋3＜0；②x2－6x＋8＜0；③2x2－9x＋a＜0,且使不等式①②成立的x也满足③,则实数a的取值范围是(　　)
A．a≥
B．a≤10
C．a≤9
D．a≥－4一元二次不等式
一、知识点详解
知识点1
不等式的性质
名称
式子表达
性质1(对称性)
a>b?b性质2(传递性)
a>b,b>c?a>c
性质3(可加性)
a>b?a＋c>b＋c
推论
a＋b>c?a>c－b
性质4(可乘性)
a>b,c>0?ac>bc
a>b,c<0?ac性质5(不等式同向可加性)
a>b,c>d?a＋c>b＋d
性质6(不等式同向正数可乘性)
a>b>0,c>d>0?ac>bd
性质7(乘方性)
a>b>0?an>bn(n∈N,n≥1)
性质8(开方性)
a>b>0?
>(n∈N,n≥2)
知识点2
三个“二次”的关系
设f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0),方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac
判别式
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
解不
等式
f(x)
＞0
或
f(x)
＜0的
步骤
求方程
f(x)＝0的解
有两个不等的实数解
x1,x2
有两个相等的实数解
x1＝x2
没有实数解
画函数
y＝f(x)
的示意图
得等的集不式解
f(x)
＞0
{x|x＜x1_
或x＞x2}
R
f(x)
＜0
{x|x1＜
x＜x2}
?
?
知识点3
分式不等式的解法
类型
同解不等式
>0(<0)
法一：或
法二：f(x)·g(x)>0(<0)
≥0(≤0)
法一：或
法二：
>a
先移项转化为上述两种形式
二、例题解析
例1：求下列不等式的解集：
（1）；
（2）．
【解析】
（1）原不等式可化为．
，方程的解是，．
所以原不等式的解集是或．
（2）原不等式变形为．
，方程无解．
所以原不等式的解集是．
例2：不等式x2－2x＋5≥a2－3a对任意实数x恒成立,则实数a的取值范围为(　　)
A．[－1,4]
B．(－∞,－2]∪[5,＋∞)
C．(－∞,－1]∪[4,＋∞)
D．[－2,5]
【答案】A
【解析】　x2－2x＋5＝(x－1)2＋4的最小值为4,所以x2－2x＋5≥a2－3a对任意实数x恒成立,只需a2－3a≤4,解得－1≤a≤4．
例3：不等式|x(x－2)|>x(x－2)的解集是________．
【答案】{x|0【解析】不等式|x(x－2)|>x(x－2)的解集即x(x－2)<0的解集,解得0例4：若00的解集是________．
【答案】
【解析】原不等式为(x－a)<0,由0例5：已知a>0，解关于x的不等式(x－2)(ax－2)>0.
【解析】当a>0时，原不等式化为(x－2)·>0.
(1)当0(2)当a＝1时
,2＝，原不等式的解集为{x|x≠2}；
(3)当a>1时，两根的大小顺序为2>，原不等式的解集为.
综上所述，
当0当a＝1时，原不等式的解集为；
当a>1时，原不等式的解集为.
例6：若不等式ax2＋bx＋c≥0的解集是，求不等式cx2＋bx＋a<0的解集．
【解析】由ax2＋bx＋c≥0的解集为知a<0，
又×2＝<0，则c>0.
又－，2为方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，
∴－＝，∴＝－.
又＝－，∴b＝－a，c＝－a，
∴不等式cx2＋bx＋a<0变为x2＋x＋a<0，
即2ax2＋5ax－3a>0.
又∵a<0，
∴2x2＋5x－3<0，
所求不等式的解集为.
例7：某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售,每天可销售100件,现准备采用提高售价来增加利润．已知这种商品每件销售价提高1元,销售量就要减少10件．那么要保证每天所赚的利润在320元以上,销售价每件应定为(　　)
A．12元
B．16元
C．12元到16元之间
D．10元到14元之间
【答案】选C
【解析】设销售价定为每件x元,利润为y,则y＝(x－8)[100－10(x－10)],
依题意有,(x－8)[100－10(x－10)]＞320,即x2－28x＋192＜0,解得12＜x＜16,
所以每件销售价应为12元到16元之间．
三、课堂练习
A级
1.
设集合A＝{x|x2＋x－6≤0},集合B为函数y＝的定义域,则A∩B等于(　　)
A．(1,2)　　　　　　　　　
B．[1,2]
C．[1,2)
D．(1,2]
【答案】D　
【解析】A＝{x|x2＋x－6≤0}＝{x|－3≤x≤2},由x－1>0得x>1,即B＝{x|x>1},所以A∩B＝{x|12.
不等式<1的解集是(　　)
A．(－∞,－1)∪(1,＋∞)
B．(1,＋∞)
C．(－∞,－1)
D．(－1,1)
【答案】A
【解析】　∵<1,∴－1<0,即<0,该不等式可化为(x＋1)(x－1)>0,∴x<－1或x>1．
3.
已知y＝－3x2＋a(6－a)x＋6．
(1)解关于a的不等式f(1)>0；
(2)若不等式f(x)>b的解集为(－1,3),求实数a,b的值．
【答案】(1){a|3－2【解析】
(1)∵f(x)＝－3x2＋a(6－a)x＋6,∴f(1)＝－3＋a(6－a)＋6＝－a2＋6a＋3,
∴原不等式可化为a2－6a－3<0,
解得3－2∴原不等式的解集为{a|3－2(2)f(x)>b的解集为(－1,3)等价于方程－3x2＋a(6－a)x＋6－b＝0的两根为－1,3,
等价于解得
4.
若a>b>0,cA.>
B.<
C.>
D.<
【答案】B
【解析】∵c>,两边同乘－1,得－>－>0,又a>b>0,故由不等式的性质可知－>－>0,两边同乘－1,得<.故选B.
B级
1.
定记号“⊙”表示一种运算,定义a⊙b＝＋a＋b(a,b为正实数),若1⊙k2＜3,则k的取值范围是(　　)
A．(－1,1)
B．(0,1)
C．(－1,0)
D．(0,2)
【答案】A
【解析】因为定义a⊙b＝＋a＋b(a,b为正实数),1⊙k2＜3,所以＋1＋k2＜3,
化为(|k|＋2)(|k|－1)＜0,所以|k|＜1,所以－1＜k＜1．
2.
已知方程的两根为与，求下列各式的值：
（1）；（2）．
【解析】由方程得．
（1）；
（2）．
3.
解下列关于x的不等式：
（1）.（2）.
【解析】（1）.当时，不等式的解集为，或；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集.
（2）原不等式可化为，且，
∴，或.
∴原不等式的解集是或.
C级
1.
若不等式x2－(a＋1)x＋a≤0的解集是[－4,3]的子集,则a的取值范围是(　　)
A．[－4,1]
B．[－4,3]
C．[1,3]
D．[－1,3]
【答案】　B
【解析】　原不等式为(x－a)(x－1)≤0,当a<1时,不等式的解集为[a,1],此时只要a≥－4即可,即－4≤a<1；当a＝1时,不等式的解为x＝1,此时符合要求；当a>1时,不等式的解集为[1,a],此时只要a≤3即可,即12.
已知不等式x2－2x－3＜0的解集为A,不等式x2＋x－6＜0的解集为B,不等式x2＋ax＋b＜0的解集为A∩B,则a＋b等于(　　)
A．－3　　　　　　　　　
B．1
C．－1
D．3
【答案】A
【解析】由题意得,A＝{x|－1＜x＜3},B＝{x|－3＜x＜2},∴A∩B＝{x|－1＜x＜2},由根与系数的关系可知,a＝－1,b＝－2,则a＋b＝－3．
3.
记不等式的解集为A，关于x的不等式的解集为B．
（1）求A；
（2）若，求实数a的取值范围．
【解析】（1）因为，
所以，
所以，
解得或，
所以，
（2）因为，
所以，
因为，
所以，
解得，
所以
因为，
所以或，
解得或.
四、课后作业
A级
1.
不等式x2＋ax＋4<0的解集不是空集,则实数a的取值范围是________．
【答案】(－∞,－4)∪(4,＋∞)
【解析】∵不等式x2＋ax＋4<0的解集不是空集,∴Δ＝a2－4×4>0,即a2>16．∴a>4或a<－4．
2.
若关于x的不等式ax＞b的解集为,则关于x的不等式ax2＋bx－a＞0的解集为________．
【答案】
【解析】由已知ax＞b的解集为,可知a＜0,且＝,将不等式ax2＋bx－a＞0两边同除以a,得x2＋x－＜0,即x2＋x－＜0,即5x2＋x－4＜0,解得－1＜x＜,故所求解集为．
3.
设a,b∈R,若a＋|b|＜0,则下列不等式成立的是(　　)
A．a－b＞0　　　　　　　
B．a3＋b3＞0
C．a2－b2＜0
D．a＋b＜0
【答案】D
【解析】当b≥0时,a＋b＜0；当b＜0时,a－b＜0,所以a＜b＜0,所以a＋b＜0.
B级
1.
在R上定义运算：＝ad－bc．若不等式≥1对任意实数x恒成立,则实数a的最大值为________．
【答案】
【解析】原不等式等价于x(x－1)－(a－2)(a＋1)≥1,即x2－x－1≥(a＋1)(a－2)对任意x恒成立,
x2－x－1＝2－≥－,所以－≥a2－a－2,解得－≤a≤．
2.
若关于x的不等式x2－4x－2－a>0在区间(1,4)内有解,则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞,－2)
B．(－2,＋∞)
C．(－6,＋∞)
D．(－∞,－6)
【答案】选A
【解析】　不等式x2－4x－2－a>0在区间(1,4)内有解等价于a<(x2－4x－2)max,令g(x)＝x2－4x－2,x∈(1,4),∴g(x)3.若不等式组的解集不是空集,则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞,－4]
B．[－4,＋∞)
C．[－4,3]
D．[－4,3)
【答案】B
【解析】不等式x2－2x－3≤0的解集为[－1,3],假设的解集为空集,
则不等式x2＋4x－(a＋1)≤0的解集为集合{x|x<－1或x>3}的子集,因为函数f(x)＝x2＋4x－(a＋1)的图象的对称轴方程为x＝－2,所以必有f(－1)＝－4－a>0,即a<－4,则使的解集不为空集的a的取值范围是a≥－4.
C级：
1.
关于x的不等式x2﹣（a+1）x+a＜0的解集中恰有两个正整数，则实数a的取值范国是（
）
A．[2，4）
B．[3，4]
C．（3，4]
D．（3，4）
【答案】C
【解析】，因解集中恰好有两个正整数，可判断解集为，两正整数为2，3，故
2.
下列是“不等式成立”的必要不充分条件的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由题意，
对于A，由，所以是不等式成立的充要条件，故A错误；
对于B，由，所以是不等式成立的必要不充分条件，故B正确；
对于C，由与没有互相包含的关系，所以是不等式成立的既不充分也不必要条件，故C错误；
对于D，由，所以是不等式成立的充分不必要条件，故D错误.
3.
已知下列不等式①x2－4x＋3＜0；②x2－6x＋8＜0；③2x2－9x＋a＜0,且使不等式①②成立的x也满足③,则实数a的取值范围是(　　)
A．a≥
B．a≤10
C．a≤9
D．a≥－4
【答案】C
【解析】联立①②得即解得2＜x＜3,所以2＜x＜3也满足③2x2－9x＋a＜0,所以③的解集非空且(2,3)是③的解集的子
集．令f(x)＝2x2－9x＋a,即2＜x＜3时,f(x)max＜0,又f(x)的对称轴为x＝.由f(x)＝2x2－9x＋a＜0,得f(2)＝8－18＋a≤0,且f(3)＝18－27＋a≤0,解得a≤9.
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