基本不等式
一、知识点详解
知识点
基本概念
1．重要不等式
当a，b是任意实数时，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．
2．基本不等式
(1)有关概念：当a，b均为正数时，把叫做正数a，b的算术平均数，把叫做正数a，b的几何平均数．
(2)不等式：当a，b是任意正实数时，a，b的几何平均数不大于它们的算术平均数，即≤，当且仅当a＝b时，等号成立．
(3)变形：ab≤2，a＋b≥2(其中a＞0，b＞0，当且仅当a＝b时等号成立)．
例题解析
例1：当x＞0时，f(x)＝的最大值为( )
A．
B．1
C．2
D．4
【答案】选B
【解析】 ∵x＞0，∴f(x)＝＝≤＝1，当且仅当x＝，即x＝1时取等号．
例2：若a，b都是正数，则的最小值为( )
A．7
B．8
C．9
D．10
【答案】C
【解析】因为a，b都是正数，所以＝5＋＋≥5＋2
＝9，当且仅当b＝2a时取等号．
例3：已知x＞0，y＞0，＋＝1，求x＋y的最小值．
【答案】16
【解析】 ∵＋＝1，
∴x＋y＝(x＋y)＝1＋＋＋9＝＋＋10.
又∵x＞0，y＞0，∴＋＋10≥2
＋10＝16，
当且仅当＝，即y＝3x时，等号成立．
由得即当x＝4，y＝12时，x＋y取得最小值16.
例4：当3＜x＜12时，函数y＝的最大值为________．
【答案】3
【解析】y＝＝＝－＋15≤－2
＋15＝3．
当且仅当x＝，即x＝6时，ymax＝3．
例5：已知a＞0，b＞0，若不等式＋≥恒成立，则m的最大值为( )
A．9
B．12
C．18
D．24
【答案】B
【解析】由＋≥，得m≤(a＋3b)＝＋＋6.
又＋＋6≥2＋6＝12，
当且仅当＝，即a＝3b时等号成立，
所以m≤12，所以m的最大值为12.
例6：若把总长为20
m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________
m2．
【答案】25
【解析】设一边长为x
m，则另一边长可表示为(10－x)m，
由题知0＜x＜10，则面积S＝x(10－x)≤2＝25，当且仅当x＝10－x，即x＝5时等号成立，
故当矩形的长与宽相等，都为5
m时面积取到最大值25
m2．
例7：已知a，b∈R，且ab≠0，则下列结论恒成立的是( )
A．a＋b≥2
B．a2＋b2>2ab
C.＋≥2
D．|＋|≥2
【答案】D
【解析】对于A，当a，b为负数时，a＋b≥2
不成立；
对于B，当a＝b时，a2＋b2>2ab不成立；
对于C，当a，b异号时，＋≥2不成立；
对于D，因为，同号，所以|＋|＝||＋||≥2
＝2(当且仅当|a|＝|b|时取等号)，即|＋|≥2恒成立．
课堂练习
A级
1.
若，则不等式（1）；（2）；（3）；（4）中，正确的不等式有__________个．
【答案】
【解析】，则，，.
，（1）中的不等式正确；
，则，（3）中的不等式错误；
，（2）中的不等式错误；
，则，由基本不等式可得，（4）中的不等式正确.
2.
已知a，b都是正数，求证：．
【解析】∵a，b都是正数，∵由均值不等式得，．
由不等式的性质，得，当且仅当且时，等号成立．
3.
若两个正实数满足,且恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由基本不等式得，
当且仅当，由于，，即当时，等号成立，
所以，的最小值为，由题意可得，即，
解得，因此，实数的取值范围是，故选D.
B级
4.
已知x，y，z是互不相等的正数，且x＋y＋z=1，求证：（1）（1）（1）＞8．
【解析】∵x+y+z＝1，x，y，z是互不相等的正实数，
∴（1）（1）（1）8．
∴（1）（1）（1）＞8
5.
已知a＞0，b＞0，a+b＝3．
（1）求的最小值；
（2）证明：
【解析】（1），，且，
，当且仅当即时等号成立，
的最小值为.
（2）因为a＞0，b＞0，所以要证，需证，
因为，
所以，当且仅当时等号成立.
6.
已知正数x，y满足，求的最小值.
【解析】由题意：，
则，当且仅当时，取得等号，
即时，取得等号，此时，，即时，取得最小值.
故的最小值为：.
C级
7.
某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )
A．60件
B．80件
C．100件
D．120件
【答案】B
【解析】 每批生产x件，则平均每件产品的生产准备费用是元，每件产品的仓储费用是元，则＋≥2
＝20，当且仅当＝，即x＝80时“＝”成立，∴每批生产产品80件．
8.
已知实数x，y满足x2＋y2－xy＝1，则x＋y的最大值为________．
【答案】2
【解析】因为x2＋y2－xy＝1，所以x2＋y2＝1＋xy．所以(x＋y)2＝1＋3xy≤1＋3×2，
即(x＋y)2≤4，解得－2≤x＋y≤2．当且仅当x＝y＝1时右边等号成立．所以x＋y的最大值为2．
9.
已知x，，且恒成立，求k的最大值．
【解析】由题意得．，．
，，
．．∴．当且仅当时，k的最大值为
课后作业
A级
1.
正数a，b满足＋＝1，若不等式a＋b≥－x2＋4x＋18－m对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是( )
A．[3，＋∞)
B．(－∞，3]
C．(－∞，6]
D．[6，＋∞)
【答案】
选D
【解析】因为a＞0，b＞0，＋＝1，
所以a＋b＝(a＋b)＝10＋＋≥10＋2＝16，由题意，得16≥－x2＋4x＋18－m，
即x2－4x－2≥－m对任意实数x恒成立，而x2－4x－2＝(x－2)2－6，所以x2－4x－2的最小值为－6，所以－6≥－m，即m≥6．
2．(1)当x<时，求函数y＝x＋的最大值；
(2)设0【答案】(1)
－，(2)
【解析】
(1)y＝(2x－3)＋＋＝－＋．
当x<时，有3－2x>0，∴＋≥2
＝4，
当且仅当＝，即x＝－时取等号．于是y≤－4＋＝－，故函数的最大值为－．
(2)∵00，∴y＝＝·≤
·＝，
当且仅当x＝2－x，即x＝1时取等号，∴当x＝1时，函数y＝的最大值为．
3.
若2x＋2y＝1，则x＋y的取值范围是( )
A．[0,2]
B．[－2,0]
C．[－2，＋∞)
D．(－∞，－2]
【答案】D
【解析】∵2x＋2y≥2
＝2
(当且仅当2x＝2y时等号成立)，∴
≤，∴2x＋y≤，x＋y≤－2，故选D.
B级
4.
若正数x，y满足3x＋y＝5xy，则4x＋3y的最小值是( )
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】D
【解析】由3x＋y＝5xy，得＝＋＝5，所以4x＋3y＝(4x＋3y)·(＋)＝(4＋9＋＋)≥(4＋9＋2
)＝5，当且仅当＝，即y＝2x时，“＝”成立，故4x＋3y的最小值为5.
5.
某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品________件．
【答案】80
【解析】设每件产品的平均费用为y元，由题意得y＝＋≥2
＝20.当且仅当＝(x＞0)，即x＝80时“＝”成立．
6. 若直线＋＝1(a>0，b>0)过点(1,2)，则2a＋b的最小值为__________．
【答案】8
【解析】 由题设可得＋＝1，∵a>0，b>0，∴2a＋b＝(2a＋b)＝2＋＋＋2≥4＋2
＝8.故2a＋b的最小值为8.
C级
7.
某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本为C(x)，当年产量不足80千件时，C(x)＝x2＋10x(万元)．当年产量不小于80千件时，C(x)＝51x＋－1
450(万元)．每件商品售价为0．05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．
(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式．
(2)当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？
【答案】(1)
L(x)＝(2)
当年产量为100千件时，该厂在这一商品生产中所获利润最大，最大利润为1
000万元．
【解析】(1)因为每件商品售价为0．05万元，
则x千件商品销售额为0．05×1
000x万元，依题意得：
当0＜x＜80时，L(x)＝(0．05×1
000x)－x2－10x－250＝－x2＋40x－250．
当x≥80时，L(x)＝(0．05×1
000x)－51x－＋1
450－250＝1
200－．
所以L(x)＝
(2)当0＜x＜80时，L(x)＝－(x－60)2＋950．此时，当x＝60时，L(x)取得最大值L(60)＝950万元．
当x≥80时，L(x)＝1
200－≤1
200－2
＝1
200－200＝1
000．
此时x＝，即x＝100时，L(x)取得最大值1
000万元．
由于950＜1
000，所以，当年产量为100千件时，该厂在这一商品生产中所获利润最大，最大利润为1
000万元．
8.
已知x＞0，y＞0，且2x＋8y－xy＝0，求：
(1)xy的最小值；
(2)x＋y的最小值．
【答案】(1)64
(2)18
【解析】(1)由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1，又x＞0，y＞0，则1＝＋≥2
＝，得xy≥64，
当且仅当x＝16，y＝4时，等号成立．所以xy的最小值为64．
(2)由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1，则x＋y＝(x＋y)＝10＋＋≥10＋2
＝18．
当且仅当x＝12且y＝6时等号成立，∴x＋y的最小值为18．
9.
某单位修建一个长方形无盖蓄水池，其容积为立方米，深度为米，池底每平方米的造价为元，池壁每平方米的造价为元，设池底长方形的长为米.
（1）用含的表达式表示池壁面积；
（2）当为多少米时，水池的总造价最低，最低造价是多少？
【解析】（1）由题意得：池底面积为平方米，池底长方形的宽为米
（2）设总造价为元，则：
化简得：
因为，当且仅当，即时取等号
即当米时，最低造价是元基本不等式
一、知识点详解
知识点
基本概念
1．重要不等式
当a，b是任意实数时，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．
2．基本不等式
(1)有关概念：当a，b均为正数时，把叫做正数a，b的算术平均数，把叫做正数a，b的几何平均数．
(2)不等式：当a，b是任意正实数时，a，b的几何平均数不大于它们的算术平均数，即≤，当且仅当a＝b时，等号成立．
(3)变形：ab≤2，a＋b≥2(其中a＞0，b＞0，当且仅当a＝b时等号成立)．
例题解析
例1：当x＞0时，f(x)＝的最大值为( )
A．
B．1
C．2
D．4
【答案】选B
【解析】 ∵x＞0，∴f(x)＝＝≤＝1，当且仅当x＝，即x＝1时取等号．
例2：若a，b都是正数，则的最小值为( )
A．7
B．8
C．9
D．10
【答案】C
【解析】因为a，b都是正数，所以＝5＋＋≥5＋2
＝9，当且仅当b＝2a时取等号．
例3：已知x＞0，y＞0，＋＝1，求x＋y的最小值．
【答案】16
【解析】 ∵＋＝1，
∴x＋y＝(x＋y)＝1＋＋＋9＝＋＋10.
又∵x＞0，y＞0，∴＋＋10≥2
＋10＝16，
当且仅当＝，即y＝3x时，等号成立．
由得即当x＝4，y＝12时，x＋y取得最小值16.
例4：当3＜x＜12时，函数y＝的最大值为________．
【答案】3
【解析】y＝＝＝－＋15≤－2
＋15＝3．
当且仅当x＝，即x＝6时，ymax＝3．
例5：已知a＞0，b＞0，若不等式＋≥恒成立，则m的最大值为( )
A．9
B．12
C．18
D．24
【答案】B
【解析】由＋≥，得m≤(a＋3b)＝＋＋6.
又＋＋6≥2＋6＝12，
当且仅当＝，即a＝3b时等号成立，
所以m≤12，所以m的最大值为12.
例6：若把总长为20
m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________
m2．
【答案】25
【解析】设一边长为x
m，则另一边长可表示为(10－x)m，
由题知0＜x＜10，则面积S＝x(10－x)≤2＝25，当且仅当x＝10－x，即x＝5时等号成立，
故当矩形的长与宽相等，都为5
m时面积取到最大值25
m2．
例7：已知a，b∈R，且ab≠0，则下列结论恒成立的是( )
A．a＋b≥2
B．a2＋b2>2ab
C.＋≥2
D．|＋|≥2
【答案】D
【解析】对于A，当a，b为负数时，a＋b≥2
不成立；
对于B，当a＝b时，a2＋b2>2ab不成立；
对于C，当a，b异号时，＋≥2不成立；
对于D，因为，同号，所以|＋|＝||＋||≥2
＝2(当且仅当|a|＝|b|时取等号)，即|＋|≥2恒成立．
课堂练习
A级
1.
若，则不等式（1）；（2）；（3）；（4）中，正确的不等式有__________个．
2.
已知a，b都是正数，求证：．
3.
若两个正实数满足,且恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
B级
1.
已知x，y，z是互不相等的正数，且x＋y＋z=1，求证：（1）（1）（1）＞8．
2.
已知a＞0，b＞0，a+b＝3．
（1）求的最小值；
（2）证明：
3.
已知正数x，y满足，求的最小值.
C级
1.
某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )
A．60件
B．80件
C．100件
D．120件
2.
已知实数x，y满足x2＋y2－xy＝1，则x＋y的最大值为________．
3.
已知x，，且恒成立，求k的最大值．
课后作业
A级
1.
正数a，b满足＋＝1，若不等式a＋b≥－x2＋4x＋18－m对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是( )
A．[3，＋∞)
B．(－∞，3]
C．(－∞，6]
D．[6，＋∞)
2．(1)当x<时，求函数y＝x＋的最大值；
(2)设03.
若2x＋2y＝1，则x＋y的取值范围是( )
A．[0,2]
B．[－2,0]
C．[－2，＋∞)
D．(－∞，－2]
B级
1.
若正数x，y满足3x＋y＝5xy，则4x＋3y的最小值是( )
A．2
B．3
C．4
D．5
2.
某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品________件．
3. 若直线＋＝1(a>0，b>0)过点(1,2)，则2a＋b的最小值为__________．
C级
1.
某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本为C(x)，当年产量不足80千件时，C(x)＝x2＋10x(万元)．当年产量不小于80千件时，C(x)＝51x＋－1
450(万元)．每件商品售价为0．05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．
(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式．
(2)当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？
2.
已知x＞0，y＞0，且2x＋8y－xy＝0，求：
(1)xy的最小值；
(2)x＋y的最小值．
3.
某单位修建一个长方形无盖蓄水池，其容积为立方米，深度为米，池底每平方米的造价为元，池壁每平方米的造价为元，设池底长方形的长为米.
（1）用含的表达式表示池壁面积；
（2）当为多少米时，水池的总造价最低，最低造价是多少？
