函数的单调性
知识点详解
知识点1
单调性的定义
增函数
减函数
定义
设函数f(x)的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2
当x1
当x1f(x2)
，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数
图象描述
自左向右看图象逐渐上升
自左向右看图象逐渐下降
知识点2
单调区间的定义
若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．
1.
增函数：设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1仿照增函数的定义可定义减函数.
2.
如果函数f(x)在某个区间D上是增函数或减函数，就说f(x)在这一区间上具有（严格的）单调性，区间D叫f(x)的单调区间.
在单调区间上，增函数的图象是从左向右是上升的（如右图1），减函数的图象从左向右是下降的（如右图2）.
由此，可以直观观察函数图象上升与下降的变化趋势，得到函数的单调区间及单调性.
3.
判断单调性的步骤：设给定区间，且；→计算→判断符号→下结论.
例题解析
例1：在区间(0，＋∞)上不是增函数的函数是( )
A．y＝2x＋1
B．y＝3x2＋1
C．y＝
D．y＝2x2＋x＋1
【答案】C
【解析】A选项在R上是增函数；B选项在是减函数，在是增函数；C选项在和是减函数；D选项y＝2x2＋x＋1＝2＋在是减函数，在是增函数．
例2：判断函数
(a>0)在(0，＋∞)上的单调性:
【解析】
(1)设x1，x2是任意两个正数，且0则f(x1)－f(x2)＝
当0所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，
所以函数f(x)在(0，]上是减函数；
当≤x1a，又x1－x2<0，
所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)所以函数f(x)在[，＋∞)上是增函数．
综上可知，函数在上是减函数，在上为增函数．
例3：函数对任意的m、n∈R，都有，并且时，恒有.
(1)求证：在R上是增函数；
(2)若，解不等式.
【解析】(1)证明 设，且，∴，
∵当时，，∴.
，
所以
∴在R上为增函数．
(2)解 ∵，不妨设，
.①
②
由①②可得，
所以也即
∵在R上为增函数，∴，解得
即．
例4：(1)若f(x)为R上的增函数，则满足f(2－m)(2)若函数f(x)＝|2x＋a|的单调递增区间是[4，＋∞)，则a＝________.
【解析】(1)∵在R上为增函数，∴.
∴.∴或.
(2)由可得函数f(x)的单调递增区间为故，解得.
课堂练习
A级
1.
已知函数是上的增函数，且，则实数的取值范围是________
．
【答案】
2.
函数的单调递增区间为___________.
【答案】和
3.
已知函数为R上的单调函数，若，则
.
【答案】-4和1
【解析】因为函数是R上的单调函数，所以自变量和函数值是一一对应关系，故由得，即或．
B级
1.设函数是上的增函数，若，则实数的取值范围是________．
【答案】
【解析】由且是R上的增函数得，∴.
2.
已知函数是上的减函数，则实数的取值范围是_________.
【答案】
【解析】，得
3.
下列函数f(x)中，满足“任意x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0”的是( )
A．f(x)＝－x
B．f(x)＝x3
C．f(x)＝ln
x
D．f(x)＝2x
【答案】A
【解析】“任意x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0”等价于函数为减函数，四个选项中，只有A选项符合．
C级
1.
已知在上是增函数，且，
求证：在上也是增函数．
【答案】同解析
【解析】证明
设a∵g(x)在(a，b)上是增函数，
∴g(x1)且a又∵f(x)在(a，b)上是增函数，
∴f(g(x1))∴f(g(x))在(a，b)上是增函数．
2.
定义在上的函数满足：对任意实数总有，且当时，.
(1)试求的值；
(2)判断的单调性并证明你的结论．
【答案】同解析
【解析】(1)在f(m＋n)＝f(m)·f(n)中，
令m＝1，n＝0，得f(1)＝f(1)·f(0)．
因为f(1)≠0，所以f(0)＝1.
(2)函数f(x)在R上单调递减．
任取x1，x2∈R，且设x1在已知条件f(m＋n)＝f(m)·f(n)中，
若取m＋n＝x2，m＝x1，
则已知条件可化为f(x2)＝f(x1)·f(x2－x1)，
由于x2－x1>0，所以0在f(m＋n)＝f(m)·f(n)中，
令m＝x，n＝－x，则得f(x)·f(－x)＝1.
当x>0时，0所以f(－x)＝>1>0，
又f(0)＝1，所以对于任意的x1∈R均有f(x1)>0.
所以f(x2)－f(x1)＝f(x1)[f(x2－x1)－1]<0，
即f(x2)所以函数f(x)在R上单调递减．
课后作业
A级
1.
在区间上单调，且，则方程在区间上________．(填序号)
①至少有一个根；②至多有一个根；③无实根；④必有唯一的实根．
【答案】④
【解析】∵f(x)在[a，b]上单调，且f(a)·f(b)<0，
∴当f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)<0，f(b)>0，
当f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)>0，f(b)<0，
故f(x)在区间[a，b]上必有x0使f(x0)＝0且x0是唯一的．
2.
函数在区间上是单调_________函数.（填“增”或“减”）
【答案】增
【解析】二次函数开口方向向下，对称轴为，所以在区间上是增函数
3.
下列命题中，正确的有______________.（写出所有正确命题的序号）
①若函数在上均为增函数，则函数也为上的增函数；
②若函数在上均为增函数，则函数也为上的增函数；
③若函数在上均为增函数，则函数也为上的增函数；
④若函数在区间和上均为增函数，则函数在上也为增函数.
【答案】①
【解析】由函数单调性的定义可知①正确，②③④错误
B级
1.
函数的单调递增区间为________．
【答案】[1，＋∞)
【解析】该函数的定义域为(－∞，－3]∪[1，＋∞)，函数f(x)＝x2＋2x－3的对称轴为
x＝－1，由函数的单调性可知该函数在区间[1，＋∞)上是增函数．
2.
函数f(x)对任意的m、n∈R，都有f(m＋n)＝f(m)＋f(n)－1，并且x>0时，恒有f(x)>1.
(1)求证：f(x)在R上是增函数；
(2)若f(3)＝4，解不等式f(a2＋a－5)<2.
【答案】同解析
【解析】 (1)证明
设x1，x2∈R，且x10，
∵当x>0时，f(x)>1，∴f(x2－x1)>1.
f(x2)＝f[(x2－x1)＋x1]＝f(x2－x1)＋f(x1)－1，
∴f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)－1>0?f(x1)∴f(x)在R上为增函数．
(2)解
∵m，n∈R，不妨设m＝n＝1，
∴f(1＋1)＝f(1)＋f(1)－1?f(2)＝2f(1)－1，
f(3)＝4?f(2＋1)＝4?f(2)＋f(1)－1＝4?3f(1)－2＝4，
∴f(1)＝2，∴f(a2＋a－5)<2＝f(1)，[10分]
∵f(x)在R上为增函数，∴a2＋a－5<1?－3即a∈(－3,2)．
C级
1.
已知函数f(x)对于任意a，b∈R,总有f(a+b)=
f(a)+f(b)-1，并且当x＞0时，f(x)＞1．
(1)求证：f(x)在R上是增函数；
(2)若f(4)=5，解不等式；
(3)若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】同解析
【解析】 (1)设x1,x2∈R，且x1＜x2，则x2-x1>0，∴f(x2-x1)＞1
，
f(x2)-f(x1)=f((x2-x1)+x1)-f(x1)=f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1)=f(x2-x1)-1＞0,
∴f(x1)-f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)．∴f(x)在R上是增函数.
(2)∵f(4)=f(2+2)=f(2)+f(2)-1=5,∴f(2)=3,∴不等式即为
又∵f(x)在R上是增函数，∴3m2-m-2＜2，解得
因此不等式的解集为{m|}；
(3)令a=b=0,得
f(0)=2f(0)-1,∴f(0)=1.
∵f(nx-2)+f(x-x2)＜2，即f(nx-2)+f(x-x2)-1＜1，∴f(nx-2+x-x2)＜f(0)．
由(1)知nx-2+x-x2＜0恒成立，∴x2-(n+1)x+2＞0恒成立．∴
Δ=［-(n+1)］2-4×2＜0,
2.
函数是定义在上的减函数，对任意的x，y∈(0，＋∞)，都有，且.
(1)求的值；
(2)解不等式.
【答案】同解析
【解析】(1)∵f(4)＝f(2＋2)＝2f(2)－1＝5，∴f(2)＝3.
(2)由f(m－2)≤3，得f(m－2)≤f(2)．
∵f(x)是(0，＋∞)上的减函数，
∴，解得m≥4.∴不等式的解集为{m|m≥4}．函数的单调性
知识点详解
知识点1
单调性的定义
增函数
减函数
定义
设函数f(x)的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2
当x1当x1f(x2)
，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数
图象描述
自左向右看图象逐渐上升
自左向右看图象逐渐下降
知识点2
单调区间的定义
若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．
1.
增函数：设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1仿照增函数的定义可定义减函数.
2.
如果函数f(x)在某个区间D上是增函数或减函数，就说f(x)在这一区间上具有（严格的）单调性，区间D叫f(x)的单调区间.
在单调区间上，增函数的图象是从左向右是上升的（如右图1），减函数的图象从左向右是下降的（如右图2）.
由此，可以直观观察函数图象上升与下降的变化趋势，得到函数的单调区间及单调性.
3.
判断单调性的步骤：设给定区间，且；→计算→判断符号→下结论.
例题解析
例1：在区间(0，＋∞)上不是增函数的函数是( )
A．y＝2x＋1
B．y＝3x2＋1
C．y＝
D．y＝2x2＋x＋1
【答案】C
【解析】A选项在R上是增函数；B选项在是减函数，在是增函数；C选项在和是减函数；D选项y＝2x2＋x＋1＝2＋在是减函数，在是增函数．
例2：判断函数
(a>0)在(0，＋∞)上的单调性:
【解析】
(1)设x1，x2是任意两个正数，且0则f(x1)－f(x2)＝
当0所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，
所以函数f(x)在(0，]上是减函数；
当≤x1a，又x1－x2<0，
所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)所以函数f(x)在[，＋∞)上是增函数．
综上可知，函数在上是减函数，在上为增函数．
例3：函数对任意的m、n∈R，都有，并且时，恒有.
(1)求证：在R上是增函数；
(2)若，解不等式.
【解析】(1)证明 设，且，∴，
∵当时，，∴.
，
所以
∴在R上为增函数．
(2)解 ∵，不妨设，
.①
②
由①②可得，
所以也即
∵在R上为增函数，∴，解得
即．
例4：(1)若f(x)为R上的增函数，则满足f(2－m)(2)若函数f(x)＝|2x＋a|的单调递增区间是[4，＋∞)，则a＝________.
【解析】(1)∵在R上为增函数，∴.
∴.∴或.
(2)由可得函数f(x)的单调递增区间为故，解得.
课堂练习
A级
1.
已知函数是上的增函数，且，则实数的取值范围是________
．
2.
函数的单调递增区间为___________.
3.
已知函数为R上的单调函数，若，则
.
B级
1.设函数是上的增函数，若，则实数的取值范围是________．
2.
已知函数是上的减函数，则实数的取值范围是_________.
3.
下列函数f(x)中，满足“任意x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0”的是( )
A．f(x)＝－x
B．f(x)＝x3
C．f(x)＝ln
x
D．f(x)＝2x
C级
1.
已知在上是增函数，且，
求证：在上也是增函数．
2.
定义在上的函数满足：对任意实数总有，且当时，.
(1)试求的值；
(2)判断的单调性并证明你的结论．
课后作业
A级
1.
在区间上单调，且，则方程在区间上________．(填序号)
①至少有一个根；②至多有一个根；③无实根；④必有唯一的实根．
2.
函数在区间上是单调_________函数.（填“增”或“减”）
3.
下列命题中，正确的有______________.（写出所有正确命题的序号）
①若函数在上均为增函数，则函数也为上的增函数；
②若函数在上均为增函数，则函数也为上的增函数；
③若函数在上均为增函数，则函数也为上的增函数；
④若函数在区间和上均为增函数，则函数在上也为增函数.
B级
1.
函数的单调递增区间为________．
2.
函数f(x)对任意的m、n∈R，都有f(m＋n)＝f(m)＋f(n)－1，并且x>0时，恒有f(x)>1.
(1)求证：f(x)在R上是增函数；
(2)若f(3)＝4，解不等式f(a2＋a－5)<2.
C级
1.
已知函数f(x)对于任意a，b∈R,总有f(a+b)=
f(a)+f(b)-1，并且当x＞0时，f(x)＞1．
(1)求证：f(x)在R上是增函数；
(2)若f(4)=5，解不等式；
(3)若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．
2.
函数是定义在上的减函数，对任意的x，y∈(0，＋∞)，都有，且.
(1)求的值；
(2)解不等式.