对数与对数函数
一、知识点详解
知识点1
对数的概念
(1)对数的定义：
如果ax＝N(a>0且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．当a＝10时叫常用对数．记作x＝lg_N，当a＝e时叫自然对数，记作x＝ln_N.
(2)对数的常用关系式(a，b，c，d均大于0且不等于1)：
①loga1＝0.
②logaa＝1.
③对数恒等式：alogaN＝N.
④换底公式：logab＝.
推广logab＝，logab·logbc·logcd＝logad.
(3)对数的运算法则：
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：
①loga(M·N)＝logaM＋logaN；②loga＝logaM－logaN；
③logaMn＝nlogaM(n∈R)；④logamMn＝logaM.
知识点2
对数函数的概念
(1)把y＝logax(a>0，a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．
(2)函数y＝logax(a>0，a≠1)是指数函数y＝ax的反函数，函数y＝ax与y＝logax(a>0，a≠1)的图象关于y＝x对称．
知识点3
对数函数的图像与性质
y＝logax
a>1
0
图象
性质
定义域：(0，＋∞)
值域：R
过点(1,0)，即x＝1时，y＝0
当x>1时，y>0当0当x>1时，y<0当00
在(0，＋∞)上是增函数
在(0，＋∞)上是减函数
二、例题解析
例1：计算
（1）；
（2）；
（3）。
【解析】：（1）原式
；
（2）原式
；
（3）分子=；
分母=；
原式=。
例2：下列函数表达式中，是对数函数的有( )
①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．
A．1个 B．2个
C．3个
D．4个
【解析】根据对数函数的定义进行判断．由于①中自变量出现在底数上，∴①不是对数函数；由于②中底数a∈R不能保证a>0且a≠1，∴②不是对数函数；由于⑤、⑦的真数分别为(x＋2)，(x＋1)，∴⑤、⑦也不是对数函数；由于⑥中log4x系数虽为2，但可变形为y＝log2x，∴⑥也是对数函数；只有③、④、⑥符合对数函数的定义．
例3：如图是对数函数①，②，③，④的图象，则与1的大小关系是( )
【解析】解法一：观察在x轴上方的图象，从右至左依次为②①④③，故b>a>d>c.
解法二：在上图中画出直线y＝1，发现分别与①，②，③，④交于A(a,1)，B(b,1)，C(c,1)，D(d,1)四点，由图可知c例4：设、、为正数，且满足
（1）求证：；
（2）若，，求、、的值。
【解析】证明：（1）左边
；
解：（2）由得，
∴……………①
由得…………
……………②
由①②得……………………………………③
由①得，代入得，
∵，
∴………………………………④
由③、④解得，，从而。
例5：函数f(x)＝ln|x－1|的图象大致是( )
【解析】 当x>1时，f(x)＝ln(x－1)，又f(x)的图象关于x＝1对称，故选B.
例6：已知函数f(x)＝loga(2x＋b－1)(a>0，a≠1)的图象如图所示，则a，b满足的关系
是( )
A．0B．0C．0D．0【解析】由函数图象可知，f(x)在R上单调递增，故a>1.函数图象与y轴的交点坐标为(0，logab)，由函数图象可知－1例7：已知函数f(x－3)＝loga(a>0，a≠1)．
(1)判断f(x)的奇偶性，并说明理由；
(2)当0【解析】令x－3＝u，则x＝u＋3，于是f(u)＝loga(a>0，a≠1，－3所以f(x)＝loga(a>0，a≠1，－3(1)因为f(－x)＋f(x)＝loga＋loga＝loga1＝0，
所以f(－x)＝－f(x)，又定义域(－3,3)关于原点对称．
所以f(x)是奇函数．
(2)令t＝＝－1－，则t在(－3,3)上是增函数，
当0所以f(x)＝loga(0即函数f(x)的单调递减区间是(－3,3)．
课堂练习
A级
1.下列大小关系正确的是（
）
A、
B、
C、
D、
【答案】
【解析】由
,,,故可得：.
2.求函数的定义域.
【答案】
【解析】要使函数有意义，必须满足
原函数的定义域为
3.为了得到函数的图像,只需把函数的图像上所有的点(
)
A.向左平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度
B.向右平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度
C.向左平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度
D.向右平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度
【答案】
【解析】本题主要考查函数图象的平移变换.
属于基础知识、基本运算的考查.
A选项可得：,
B选项可得：,
C选项可得：,
D选项可得：.
故应选C.
B级
已知函数
.
(1)求的定义域;
(2)判断并证明的奇偶性?
【答案】
奇函数
【解析】(1)∵,∴
-1(2)∵x(-1,1)且
为奇函数?
已知
,
(1)当=1时,画出函数的图像;
(2)当时,解不等式.
【答案】同解析
【解析】(1)解:如图;
(2)同解于:
或
即或
所以原不等式的解集是:
.
3.若函数为偶函数，则=
.
【答案】1
【解析】由偶函数的定义可知，故可以算出
C级
1.设函数,,
(1)若,求取值范围;
(2)求的最值，并给出最值时对应的的值。
【答案】同解析
【解析】(1)由x－2＞0，x－3≠0，得x＞2且x≠3，
∴定义域为(2,3)∪(3，＋∞)．
(2)由16－4x＞0，x＋1＞0，x＋1≠1，即4x＜16，x＞－1，x≠0，
解得－1＜x＜0或0＜x＜4.
∴定义域为(－1,0)∪(0,4)．
课后作业
A级
1.函数的图象如图所示，则实数的可能取值是( )
A．5
B.
C.
D.
【答案】
【解析】略
2．函数定义域为( )
A．(0,2]
B．(0,2)
C．(0,1)∪(1,2]
D．(－∞，2]
【答案】
【解析】使有意义满足
∴且，故选.
3.函数的值域是( )
A．[－3，＋∞)
B．[3，＋∞)
C．(－∞，－3]
D．(－∞，3]
【答案】
【解析】∵，∴，故选.
B级
1．已知，那么的取值范围是( )
A．01
B．a<0或C．a>
D．a<
【答案】同解析
【解析】 loga<1，即loga当a>1时，1.
当0a，∴0∴a的取值范围是01.
2.函数在上是增函数，，若，则的取值范围是________．
答案与解析
【答案】
【解析】由题意可知，在区间单调递减，在区间单调递增，所以要使，则解得
C级
1.设函数,,
(1)若,求取值范围;
(2)求的最值，并给出最值时对应的的值。
【答案】同解析
【解析】 （1）即
（2）
，则
时，
当。对数与对数函数
一、知识点详解
知识点1
对数的概念
(1)对数的定义：
如果ax＝N(a>0且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．当a＝10时叫常用对数．记作x＝lg_N，当a＝e时叫自然对数，记作x＝ln_N.
(2)对数的常用关系式(a，b，c，d均大于0且不等于1)：
①loga1＝0.
②logaa＝1.
③对数恒等式：alogaN＝N.
④换底公式：logab＝.
推广logab＝，logab·logbc·logcd＝logad.
(3)对数的运算法则：
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：
①loga(M·N)＝logaM＋logaN；②loga＝logaM－logaN；
③logaMn＝nlogaM(n∈R)；④logamMn＝logaM.
知识点2
对数函数的概念
(1)把y＝logax(a>0，a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．
(2)函数y＝logax(a>0，a≠1)是指数函数y＝ax的反函数，函数y＝ax与y＝logax(a>0，a≠1)的图象关于y＝x对称．
知识点3
对数函数的图像与性质
y＝logax
a>1
0图象
性质
定义域：(0，＋∞)
值域：R
过点(1,0)，即x＝1时，y＝0
当x>1时，y>0当0当x>1时，y<0当00
在(0，＋∞)上是增函数
在(0，＋∞)上是减函数
二、例题解析
例1：计算
（1）；
（2）；
（3）。
【解析】：（1）原式
；
（2）原式
；
（3）分子=；
分母=；
原式=。
例2：下列函数表达式中，是对数函数的有( )
①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．
A．1个 B．2个
C．3个
D．4个
【解析】根据对数函数的定义进行判断．由于①中自变量出现在底数上，∴①不是对数函数；由于②中底数a∈R不能保证a>0且a≠1，∴②不是对数函数；由于⑤、⑦的真数分别为(x＋2)，(x＋1)，∴⑤、⑦也不是对数函数；由于⑥中log4x系数虽为2，但可变形为y＝log2x，∴⑥也是对数函数；只有③、④、⑥符合对数函数的定义．
例3：如图是对数函数①，②，③，④的图象，则与1的大小关系是( )
【解析】解法一：观察在x轴上方的图象，从右至左依次为②①④③，故b>a>d>c.
解法二：在上图中画出直线y＝1，发现分别与①，②，③，④交于A(a,1)，B(b,1)，C(c,1)，D(d,1)四点，由图可知c例4：设、、为正数，且满足
（1）求证：；
（2）若，，求、、的值。
【解析】证明：（1）左边
；
解：（2）由得，
∴……………①
由得…………
……………②
由①②得……………………………………③
由①得，代入得，
∵，
∴………………………………④
由③、④解得，，从而。
例5：函数f(x)＝ln|x－1|的图象大致是( )
【解析】 当x>1时，f(x)＝ln(x－1)，又f(x)的图象关于x＝1对称，故选B.
例6：已知函数f(x)＝loga(2x＋b－1)(a>0，a≠1)的图象如图所示，则a，b满足的关系
是( )
A．0B．0C．0D．0【解析】由函数图象可知，f(x)在R上单调递增，故a>1.函数图象与y轴的交点坐标为(0，logab)，由函数图象可知－1例7：已知函数f(x－3)＝loga(a>0，a≠1)．
(1)判断f(x)的奇偶性，并说明理由；
(2)当0【解析】令x－3＝u，则x＝u＋3，于是f(u)＝loga(a>0，a≠1，－3所以f(x)＝loga(a>0，a≠1，－3(1)因为f(－x)＋f(x)＝loga＋loga＝loga1＝0，
所以f(－x)＝－f(x)，又定义域(－3,3)关于原点对称．
所以f(x)是奇函数．
(2)令t＝＝－1－，则t在(－3,3)上是增函数，
当0所以f(x)＝loga(0即函数f(x)的单调递减区间是(－3,3)．
课堂练习
A级
1.下列大小关系正确的是（
）
A、
B、
C、
D、
2.求函数的定义域.
3.为了得到函数的图像,只需把函数的图像上所有的点(
)
A.向左平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度
B.向右平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度
C.向左平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度
D.向右平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度
B级
已知函数
.
(1)求的定义域;
(2)判断并证明的奇偶性?
已知
,
(1)当=1时,画出函数的图像;
3.若函数为偶函数，则=
.
C级
1.设函数,,
(1)若,求取值范围;
(2)求的最值，并给出最值时对应的的值。
课后作业
A级
1.函数的图象如图所示，则实数的可能取值是( )
A．5
B.
C.
D.
2．函数定义域为( )
A．(0,2]
B．(0,2)
C．(0,1)∪(1,2]
D．(－∞，2]
3.函数的值域是( )
A．[－3，＋∞)
B．[3，＋∞)
C．(－∞，－3]
D．(－∞，3]
B级
1．已知，那么的取值范围是( )
A．01
B．a<0或C．a>
D．a<
2.函数在上是增函数，，若，则的取值范围是________．
C级
1.设函数,,
(1)若,求取值范围;
(2)求的最值，并给出最值时对应的的值。