函数与方程
一、知识点详解
知识点1
方程的根与函数的零点
（1）函数零点
概念：对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点。
函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标。即：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点。
二次函数的零点：
１）△＞０，方程有两不等实根，二次函数的图象与轴有两个交点，二次函数有两个零点；
２）△＝０，方程有两相等实根（二重根），二次函数的图象与轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点；
３）△＜０，方程无实根，二次函数的图象与轴无交点，二次函数无零点。
零点存在性定理：如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点。既存在，使得，这个也就是方程的根。
知识点2
二分法
二分法及步骤：
对于在区间，上连续不断，且满足·的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
给定精度，用二分法求函数的零点近似值的步骤如下：
（1）确定区间，，验证·，给定精度；
（2）求区间，的中点；
（3）计算：
①若=，则就是函数的零点；
②若·<，则令=（此时零点）；
③若·<，则令=（此时零点）；
（4）判断是否达到精度；
即若，则得到零点零点值（或）；否则重复步骤2~4。
注：函数零点的性质
从“数”的角度看：即是使的实数；
从“形”的角度看：即是函数的图象与轴交点的横坐标；
若函数的图象在处与轴相切，则零点通常称为不变号零点；
若函数的图象在处与轴相交，则零点通常称为变号零点。
注：用二分法求函数的变号零点：二分法的条件·表明用二分法求函数的近似零点都是指变号零点。
知识点3
二次函数的基本性质
（1）二次函数的三种表示法：；；。
（2）当，在区间上的最大值，最小值，令。
若，则，；
若，则，；
若，则，；
若，则，。
（3）二次方程的实根分布及条件。
①方程的两根中一根比大，另一根比小；
②二次方程的两根都大于r
③二次方程在区间内有两根
④二次方程在区间内只有一根，或(检验)或(检验)检验另一根若在内成立。
例题解析
例1：已知实数a>1,0A．(－2，－1)
B．(－1,0)
C．(0,1)
D．(1,2)
【解析】选B ∵a>1,00，
由零点存在性定理可知f(x)在区间(－1,0)上存在零点．
例2：若函数f(x)＝ax＋b有一个零点是2，那么函数的零点是
.
【解析】∵，∴．∴零点为0和－.
例3：函数f(x)＝|x－2|－ln
x在定义域内的零点的个数为( )
A．0
B．1
C．2
D．3
【解析】选C 由题意可知f(x)的定义域为(0，＋∞)．在同一直角坐标系中画出函数y＝|x－2|(x>0)，y＝ln
x(x>0)的图象，如图所示：
由图可知函数f(x)在定义域内的零点个数为2.
例4：若函数f(x)＝4x－2x－a，x∈[－1,1]有零点，则实数a的取值范围是________．
【解析】∵函数f(x)＝4x－2x－a，x∈[－1,1]有零点，∴方程4x－2x－a＝0在[－1,1]上有解，
即方程a＝4x－2x在[－1,1]上有解．方程a＝4x－2x可变形为a＝2－，
∵x∈[－1,1]，∴2x∈，∴2－∈.
∴实数a的取值范围是.答案：
例5：已知函数f(x)＝则使函数g(x)＝f(x)＋x－m有零点的实数m的取值范围是( )
A．[0,1)
B．(－∞，1)
C．(－∞，0]∪(1，＋∞)
D．(－∞，1]∪(2，＋∞)
【解析】选C 函数g(x)＝f(x)＋x－m的零点就是方程f(x)＋x＝m的根，作出h(x)＝的图象，如图所示，观察它与直线y＝m的交点，得知当m≤0或m>1时有交点，即函数g(x)＝f(x)＋x－m有零点的实数m的取值范围是(－∞，0]∪(1，＋∞)．
例6：关于“二分法”求方程的近似解，说法正确的是（
）
A．“二分法”求方程的近似解一定可将在内的所有零点得到；
B．“二分法”求方程的近似解有可能得不到在内的零点；
C．应用“二分法”求方程的近似解，在内有可能无零点；
D．“二分法”求方程的近似解可能得到在内的精确解；
【解析】如果函数在某区间满足二分法题设，且在区间内存在两个及以上的实根，二分法只可能求出其中的一个，只要限定了近似解的范围就可以得到函数的近似解，二分法的实施满足零点存在性定理，在区间内一定存在零点，甚至有可能得到函数的精确零点。
三、课堂练习
A级
1.
根据表格中的数据，可以判定方程的一个根所在的区间为________．
－1
0
1
2
3
0.37
1
2.72
7.39
20.09
1
2
3
4
5
2．如果二次函数有两个不同的零点，则的取值范围是
.
3．若关于的不等式恰有一个实数解，则实数的值为___________.
B级
1.
.函数在区间上的零点个数为
．
2．关于x的二次方程在区间上有解，求实数m的取值范围．
3．当关于的方程的根满足下列条件时，求实数的取值范围：
（1）方程的两根都小于；
（2）方程至少有一个实根小于．
C级
1.
若函数（且）有两个零点，则实数a的取值范围是
.
2．已知的图象如图所示，今考虑，则方程
①有三个实根；
②当时，恰有一实根（有一实根且仅有一实根）；
③当时，恰有一实根；
④当时，恰有一实根；
⑤当时，恰有一实根．
则正确结论的编号为 .
3．已知二次函数，当时，有，求证：当时，有
四、课后作业
A级
1.用二分法求函数在区间上的近似解，验证，给定精确度，取区间的中点，计算得，则此时零点________(填区间)．
2．
若方程在内恰有一解，则实数的取值范围是__________.
3．
若方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是
__________.
B级
1.若函数的零点个数为，则______.
2.
求函数零点的个数为
.
3.已知函数，若互不相等，且满足，则的取值范围是________
C级
1.
已知二次函数和一次函数，其中，且，
（1）求证：两函数、的图象交于不同两点、；
（2）求线段在轴上投影长度的取值范围．
2.设函数，其中常数为整数。
（1）当为何值时，；
（2）定理：若函数在上连续，且与异号，则至少存在一点，使得函数与方程
一、知识点详解
知识点1
方程的根与函数的零点
（1）函数零点
概念：对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点。
函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标。即：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点。
二次函数的零点：
１）△＞０，方程有两不等实根，二次函数的图象与轴有两个交点，二次函数有两个零点；
２）△＝０，方程有两相等实根（二重根），二次函数的图象与轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点；
３）△＜０，方程无实根，二次函数的图象与轴无交点，二次函数无零点。
零点存在性定理：如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点。既存在，使得，这个也就是方程的根。
知识点2
二分法
二分法及步骤：
对于在区间，上连续不断，且满足·的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
给定精度，用二分法求函数的零点近似值的步骤如下：
（1）确定区间，，验证·，给定精度；
（2）求区间，的中点；
（3）计算：
①若=，则就是函数的零点；
②若·<，则令=（此时零点）；
③若·<，则令=（此时零点）；
（4）判断是否达到精度；
即若，则得到零点零点值（或）；否则重复步骤2~4。
注：函数零点的性质
从“数”的角度看：即是使的实数；
从“形”的角度看：即是函数的图象与轴交点的横坐标；
若函数的图象在处与轴相切，则零点通常称为不变号零点；
若函数的图象在处与轴相交，则零点通常称为变号零点。
注：用二分法求函数的变号零点：二分法的条件·表明用二分法求函数的近似零点都是指变号零点。
知识点3
二次函数的基本性质
（1）二次函数的三种表示法：；；。
（2）当，在区间上的最大值，最小值，令。
若，则，；
若，则，；
若，则，；
若，则，。
（3）二次方程的实根分布及条件。
①方程的两根中一根比大，另一根比小；
②二次方程的两根都大于r
③二次方程在区间内有两根
④二次方程在区间内只有一根，或(检验)或(检验)检验另一根若在内成立。
例题解析
例1：已知实数a>1,0A．(－2，－1)
B．(－1,0)
C．(0,1)
D．(1,2)
【解析】选B ∵a>1,00，
由零点存在性定理可知f(x)在区间(－1,0)上存在零点．
例2：若函数f(x)＝ax＋b有一个零点是2，那么函数的零点是
.
【解析】∵，∴．∴零点为0和－.
例3：函数f(x)＝|x－2|－ln
x在定义域内的零点的个数为( )
A．0
B．1
C．2
D．3
【解析】选C 由题意可知f(x)的定义域为(0，＋∞)．在同一直角坐标系中画出函数y＝|x－2|(x>0)，y＝ln
x(x>0)的图象，如图所示：
由图可知函数f(x)在定义域内的零点个数为2.
例4：若函数f(x)＝4x－2x－a，x∈[－1,1]有零点，则实数a的取值范围是________．
【解析】∵函数f(x)＝4x－2x－a，x∈[－1,1]有零点，∴方程4x－2x－a＝0在[－1,1]上有解，
即方程a＝4x－2x在[－1,1]上有解．方程a＝4x－2x可变形为a＝2－，
∵x∈[－1,1]，∴2x∈，∴2－∈.
∴实数a的取值范围是.答案：
例5：已知函数f(x)＝则使函数g(x)＝f(x)＋x－m有零点的实数m的取值范围是( )
A．[0,1)
B．(－∞，1)
C．(－∞，0]∪(1，＋∞)
D．(－∞，1]∪(2，＋∞)
【解析】选C 函数g(x)＝f(x)＋x－m的零点就是方程f(x)＋x＝m的根，作出h(x)＝的图象，如图所示，观察它与直线y＝m的交点，得知当m≤0或m>1时有交点，即函数g(x)＝f(x)＋x－m有零点的实数m的取值范围是(－∞，0]∪(1，＋∞)．
例6：关于“二分法”求方程的近似解，说法正确的是（
）
A．“二分法”求方程的近似解一定可将在内的所有零点得到；
B．“二分法”求方程的近似解有可能得不到在内的零点；
C．应用“二分法”求方程的近似解，在内有可能无零点；
D．“二分法”求方程的近似解可能得到在内的精确解；
【解析】如果函数在某区间满足二分法题设，且在区间内存在两个及以上的实根，二分法只可能求出其中的一个，只要限定了近似解的范围就可以得到函数的近似解，二分法的实施满足零点存在性定理，在区间内一定存在零点，甚至有可能得到函数的精确零点。
三、课堂练习
A级
1.
根据表格中的数据，可以判定方程的一个根所在的区间为________．
－1
0
1
2
3
0.37
1
2.72
7.39
20.09
1
2
3
4
5
【答案】
【解析】设函数，从表中可以看出，因此方程的一个根所在的区间为．
2．如果二次函数有两个不同的零点，则的取值范围是
.
【答案】
【解析】据题意
3．若关于的不等式恰有一个实数解，则实数的值为___________.
【答案】
【解析】据题意，解得
B级
1.
.函数在区间上的零点个数为
．
【答案】
【解析】在上都为增函数，所以在上递增，，故在区间上只有一个零点。
2．关于x的二次方程在区间上有解，求实数m的取值范围．
【答案】
【解析】解析：设，，
①若在区间上有一解，∵，则应有，
又∵，∴解得.
②若在区间上有两解，
则，即，解得
由①②可知.
3．当关于的方程的根满足下列条件时，求实数的取值范围：
（1）方程的两根都小于；
（2）方程至少有一个实根小于．
【答案】见解析
【解析】（1）当时，满足题意．
当时，设.
若要方程两根都小于1，只要
综上，方程的根都小于1时，
（2）设，若方程的两个实根都小于，
则有
若方程的两个根一个大于，另一个小于，则有，∴．
若方程的两个根中有一个等于，由根与系数关系知另一根必为，
∴，∴．
综上，方程至少有一实根小于时，．
C级
1.
若函数（且）有两个零点，则实数a的取值范围是
.
【答案】
【解析】设函数和函数，
则由函数（且）有两个零点，知
函数与函数有两个交点，
由图象可知当时两函数只有一个交点，不符合，
当时，函数的图象过点，
而直线所过的点一定在点的上方，所以一定有两个交点.
所以实数的取值范围是.
2．已知的图象如图所示，今考虑，则方程
①有三个实根；
②当时，恰有一实根（有一实根且仅有一实根）；
③当时，恰有一实根；
④当时，恰有一实根；
⑤当时，恰有一实根．
则正确结论的编号为 .
【答案】①②
【解析】 ∵，，即
，
∴在内有一个实根．
由图中知，方程在上只有一个实根，所以②正确；
又∵，由图知在上没有实数根，所以③不正确；
又∵，，即，
所以在上必有一个实根，
又，∴在上也有一个实根．
∴在上有两个实根，④不正确；
由且在上是增函数，∴在上没有实根．∴⑤不正确．
并且由此可知①也正确．
3．已知二次函数，当时，有，求证：当时，有
【答案】见解析
【解析】解：由题意知：，
∴
，
∴
。
由时，有，可得。
∴
,
。
（1）若，则在上单调，故当时，，∴
此时问题获证.
（2）若，则当时，
又，∴
此时问题获证。
综上可知：当时，有。
四、课后作业
A级
1.用二分法求函数在区间上的近似解，验证，给定精确度，取区间的中点，计算得，则此时零点________(填区间)．
【答案】(2,3)
【解析】由f(2)·f(3)<0可知x0∈(2,3)．
2．
若方程在内恰有一解，则实数的取值范围是__________.
【答案】
【解析】当时，，不合题意舍去，当时，若方程在中有两个相等的实数解，无解，若在区间内有一个根，则
3．
若方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是
__________.
【答案】
【解析】据题意
B级
1.若函数的零点个数为，则______.
【答案】4
【解析】的图像在时值为4，此时根据图像发现与的图像有三个交点。
2.
求函数零点的个数为
.
【答案】1
【解析】根据题意可知求的交点个数，根据函数图像单调增，单调减，故只有一个交点
3.已知函数，若互不相等，且满足，则的取值范围是________
【答案】
【解析】令，的图像关于对称，故，，
AC级
1.
已知二次函数和一次函数，其中，且，
（1）求证：两函数、的图象交于不同两点、；
（2）求线段在轴上投影长度的取值范围．
【答案】见解析
【解析】（1）∵，，∴，．
由
得，
因为，所以两函数、的图象必交于不同的两点；
（2）设，，则
．
∵，，∴，
∴．
2.设函数，其中常数为整数。
（1）当为何值时，；
（2）定理：若函数在上连续，且与异号，则至少存在一点，使得
【答案】见解析
【解析】（1）函数,连续，
当时,,为减函数,；当时，,为增函数,
根据函数极值判别方法，为极小值，而且对都有故当整数时，
(2)证明：由（I）知，当整数时，，函数,在上为连续减函数.，
由所给定理知，存在唯一的
而当整数m>1时，
类似地，当整数时，函数,在上为连续增函数且f(1-m)与异号，由所给定理知，存在唯一的。故当时，方程在内有两个实根。
