函数的最值问题
一、知识点详解
知识点1
最值的定义
前提
设函数的定义域为，如果存在实数满足
条件
①对于任意，都有；
②存在，使得
①对于任意，都有；
②存在，使得
结论
M为最大值
M为最小值
知识点2
函数的最大值
函数图象上任意点的坐标的意义：横坐标是自变量的取值，纵坐标是自变量为时对应的函数值的大小．
(1)图象上最高点的纵坐标是所有函数值中的最大值，即函数的最大值．
(2)由于点C是函数图象上的最高点，则点A在点C的下方，即对定义域内任意，都有，即，也就是对函数的定义域内任意，均有成立．
(3)一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足：
①对于任意的，都有；
②存在，使得.
那么，称是函数的最大值．
(4)
反映了函数的所有函数值不大于实数；这个函数的特征是图象有最高点，并且最高点的纵坐标是.
(5)函数，没有最大值，因为函数，的图象没有最高点．
(6)讨论函数的最大值，要坚持定义域优先的原则；函数图象上有最高点时，这个函数才存在最大值，最高点必须是函数图象上的点．
知识点3
函数的最小值
(1)函数最小值的定义是：
一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足：
①对于任意的，都有；
②存在，使得.
那么，称是函数的最小值。
函数最小值的几何意义：函数图象上最低点的纵坐标．
(2)讨论函数的最小值，也要坚持定义域优先的原则；函数图象上有最低点时，这个函数才存在最小值，最低点必须是函数图象上的点．
例题解析
例1：画出函数的图象，指出函数的单调区间和最大值．
【解析】函数图象如图所示．
由图象得，函数的图象在区间和上是上升的，在和上是下降的，最高点是，
故函数在，上是增函数；函数在，上是减函数，最大值是4.
例2：求函数在区间上的最大值和最小值．
【解析】设，则有
.
∵，∴，.
∴，即函数在区间上是减函数．
∴当时，函数在区间上取得最大值；
当时，函数在区间上取得最小值.
例3：已知函数对于任意,总有，且当时，,
.
(1)求证：在上是减函数；
(2)
求在上的最大值和最小值．
【解析】(1)方法一：∵函数对于任意，总有，
令，得．再令，得．在上任取，则，,
又∵时，．而，∴．因此在上是减函数．
方法二：在上任取，，不妨设，
则,
又∵时，，而，
∴，即．:因此在上是减函数.
(2)∵在上为减函数，∴在上也为减函数，
∴在上的最大值为、最小值为，
而，∵,
∴,
因此，在上的最大值为2，最小值为-2.
例4：设，，若存在使，则实数的最大值为_______
【答案】
【解析】
，绝对值展开得：
有解，
于是有解，又，
，，所以
例5：“菊花”烟花是最壮观的烟花之一．制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂．如果烟花距地面的高度与时间之间的关系为，那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少？(精确到)
【解析】作出函数的图象，如图所示，
显然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距地面的高度．
由二次函数的知识，对于函数，我们有：
当时，函数有最大值.
即烟花冲出后是它爆裂的最佳时刻，这时距地面的高度约是.
例6：某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时，某地上班族中的成员仅以自驾或公交方式通勤，分析显示：当中（）的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为
（单位：分钟）
而公交群体的人均通勤时间不受影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：
（1）当在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？
（2）求该地上班族的人均通勤时间的表达式，讨论的单调性，并说明其实际意义.
【答案】见解析
【解析】（1）、。
（2）、，在上单调递减，在上单调递增，说明当以上的人自驾时，人均通勤时间开始增加。
课堂练习
A级
1.
函数在区间上的最大值是_________，最小值是_______.
2.
将进货单价40元的商品按50元一个售出时，能卖出500个，若此商品每个涨价1元，其销售量减少10个，为了赚到最大利润，售价应定为多少？
3.函数的最大值是( )
A.
B.
C.
D.
B级
1.已知，求函数的最值.
2.求函数的最大值.
3.如果函数定义在区间上，求的最小值.
4.求在区间上的最大值.
5.若函数在区间上的最大值是，最小值是，则（
）
A.与有关，且与有关
B.与有关，且与无关
C.
与无关，且与无关
D.与无关，且与有关
C级
1.
已知，求的最小值.
2.
已知函数在区间上的最大值为4，求实数的值．
3.设，函数,
其中
（1）求使得等式成立的x的取值范围
（2）（i）求的最小值
（ii）求在上的最大值
课后作业
A级
1.
抛物线，当=
_____
时，图象的顶点在轴上；当=
_____
时，图象的顶点在轴上；当=
_____
时，图象过原点．
2.
用一长度为米的铁丝围成一个长方形或正方形，则其所围成的最大面积为
________
3.
某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量(件)与每件的销售价(元)满足一次函数．
(1)
写出商场卖这种商品每天的销售利润与每件销售价之间的函数关系式；
(2)
若商场要想每天获得最大销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？
4.函数的最大值为_________.
5.李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付元.每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%.
①当时，顾客一次购买草莓和西瓜各一盒，需要支付
元；
②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则的最大值为
.
B级
1.
已知，且，求函数的最值.
2.
已知，当时，求的最大值.
3.
求函数在上的最大值.
4.某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：
（Ⅰ）男学生人数多于女学生人数；
（Ⅱ）女学生人数多于教师人数；
（Ⅲ）教师人数的两倍多于男学生人数。
①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为__________。
该小组人数的最小值为__________。
C级
已知函数在区间上的最小值是最大值是，求，的值.
已知的值域为，求函数的值域.函数的最值问题
一、知识点详解
知识点1
最值的定义
前提
设函数的定义域为，如果存在实数满足
条件
①对于任意，都有；
②存在，使得
①对于任意，都有；
②存在，使得
结论
M为最大值
M为最小值
知识点2
函数的最大值
函数图象上任意点的坐标的意义：横坐标是自变量的取值，纵坐标是自变量为时对应的函数值的大小．
(1)图象上最高点的纵坐标是所有函数值中的最大值，即函数的最大值．
(2)由于点C是函数图象上的最高点，则点A在点C的下方，即对定义域内任意，都有，即，也就是对函数的定义域内任意，均有成立．
(3)一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足：
①对于任意的，都有；
②存在，使得.
那么，称是函数的最大值．
(4)
反映了函数的所有函数值不大于实数；这个函数的特征是图象有最高点，并且最高点的纵坐标是.
(5)函数，没有最大值，因为函数，的图象没有最高点．
(6)讨论函数的最大值，要坚持定义域优先的原则；函数图象上有最高点时，这个函数才存在最大值，最高点必须是函数图象上的点．
知识点3
函数的最小值
(1)函数最小值的定义是：
一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足：
①对于任意的，都有；
②存在，使得.
那么，称是函数的最小值。
函数最小值的几何意义：函数图象上最低点的纵坐标．
(2)讨论函数的最小值，也要坚持定义域优先的原则；函数图象上有最低点时，这个函数才存在最小值，最低点必须是函数图象上的点．
例题解析
例1：画出函数的图象，指出函数的单调区间和最大值．
【解析】函数图象如图所示．
由图象得，函数的图象在区间和上是上升的，在和上是下降的，最高点是，
故函数在，上是增函数；函数在，上是减函数，最大值是4.
例2：求函数在区间上的最大值和最小值．
【解析】设，则有
.
∵，∴，.
∴，即函数在区间上是减函数．
∴当时，函数在区间上取得最大值；
当时，函数在区间上取得最小值.
例3：已知函数对于任意,总有，且当时，,
.
(1)求证：在上是减函数；
(2)
求在上的最大值和最小值．
【解析】(1)方法一：∵函数对于任意，总有，
令，得．再令，得．在上任取，则，,
又∵时，．而，∴．因此在上是减函数．
方法二：在上任取，，不妨设，
则,
又∵时，，而，
∴，即．:因此在上是减函数.
(2)∵在上为减函数，∴在上也为减函数，
∴在上的最大值为、最小值为，
而，∵,
∴,
因此，在上的最大值为2，最小值为-2.
例4：设，，若存在使，则实数的最大值为_______
【答案】
【解析】
，绝对值展开得：
有解，
于是有解，又，
，，所以
例5：“菊花”烟花是最壮观的烟花之一．制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂．如果烟花距地面的高度与时间之间的关系为，那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少？(精确到)
【解析】作出函数的图象，如图所示，
显然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距地面的高度．
由二次函数的知识，对于函数，我们有：
当时，函数有最大值.
即烟花冲出后是它爆裂的最佳时刻，这时距地面的高度约是.
例6：某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时，某地上班族中的成员仅以自驾或公交方式通勤，分析显示：当中（）的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为
（单位：分钟）
而公交群体的人均通勤时间不受影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：
（1）当在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？
（2）求该地上班族的人均通勤时间的表达式，讨论的单调性，并说明其实际意义.
【答案】见解析
【解析】（1）、。
（2）、，在上单调递减，在上单调递增，说明当以上的人自驾时，人均通勤时间开始增加。
课堂练习
A级
1.
函数在区间上的最大值是_________，最小值是_______.
【答案】
【解析】函数是定义在区间上的二次函数，其对称轴方程是，顶点坐标为，且其图象开口向下，显然其顶点横坐标在上，
如图所示，函数的最大值为，最小值为.
2.
将进货单价40元的商品按50元一个售出时，能卖出500个，若此商品每个涨价1元，其销售量减少10个，为了赚到最大利润，售价应定为多少？
【答案】为了赚取最大利润，售价应定为70元
【解析】设利润为元，每个售价为元，则每个涨元，从而销售量减少
个，共售出个
∴
∴时，元
3.函数的最大值是( )
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】，所以当时有最大值.
B级
1.已知，求函数的最值.
【答案】
【解析】由已知，可得，即函数是定义在区间上的二次函数.将二次函数配方得，其对称轴方程，顶点坐标，且图象开口向上.显然其顶点横坐标不在区间内，如图所示。函数的最小值为，最大值为.
2.求函数的最大值.
【答案】
【解析】令
有，则
，
3.如果函数定义在区间上，求的最小值.
【答案】
【解析】函数，其对称轴方程为，顶点坐标为，图象开口向上.
如图1所示，若顶点横坐标在区间左侧时，有，此时，当时，函数取得最小值.
图1
如图2所示，若顶点横坐标在区间上时，有，即。当时，函数取得最小值.
图2
如图3所示，若顶点横坐标在区间右侧时，有，即。当时，函数取得最小值.
综上讨论，
图3
4.求在区间上的最大值.
【答案】
【解析】二次函数的对称轴方程为，
当即时，；
当即时，
综上所述：
5.若函数在区间上的最大值是，最小值是，则（
）
A.与有关，且与有关
B.与有关，且与无关
C.
与无关，且与无关
D.与无关，且与有关
【答案】B
【解析】因为的开口已经确定了，所以的不同只是变换图形的位置，开口和方向是不会变的，对于不同的对称轴，在的最大值与最小值的差肯定是有影响的，比如时，=1；而时，=；所以与有关，但与无关，所以选B.
C级
1.
已知，求的最小值.
【答案】
【解析】将代入中，得
，即时，
，即时，
所以
.
2.
已知函数在区间上的最大值为4，求实数的值．
【答案】或
【解析】
（1）若，不符合题意.
（2）若则，由，得.
（3）若时，则，由，得.
综上知或．
3.设，函数,
其中
（1）求使得等式成立的x的取值范围
（2）（i）求的最小值
（ii）求在上的最大值
【答案】（1）；（2）；
【解析】(1)设则
当时，无解
当时，的解集为
（ⅰ）∵原函数最小值为
∴；
（ⅱ）当时，
当时，
∴.
课后作业
A级
1.
抛物线，当=
_____
时，图象的顶点在轴上；当=
_____
时，图象的顶点在轴上；当=
_____
时，图象过原点．
【答案】4，14或2，
2.
用一长度为米的铁丝围成一个长方形或正方形，则其所围成的最大面积为
________
【答案】.
3.
某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量(件)与每件的销售价(元)满足一次函数．
(1)
写出商场卖这种商品每天的销售利润与每件销售价之间的函数关系式；
(2)
若商场要想每天获得最大销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？
【答案】(1)；
(2)
售价定为42元时每天有最大销售利润，最大销售利润为432元．
【解析】(1)
由已知得每件商品的销售利润为元，
那么件的销售利润为，又．
(2)
由(1)知对称轴为，位于的范围内，另抛物线开口向下
当时，
当每件商品的售价定为42元时每天有最大销售利润，最大销售利润为432元．
4.函数的最大值为_________.
【答案】2
【解析】，∵，∴，∴0＜，∴，的最大值为2
5.李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付元.每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%.
①当时，顾客一次购买草莓和西瓜各一盒，需要支付
元；
②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则的最大值为
.
【答案】130；15
【解析】（1）当时，顾客需要支付60+80-10=130元；
（2）不妨设每笔订单总价为元，当时无需考虑；当时，每笔订单得到的金额为，根据题意，恒成立，解得恒成立，而，故.
需要特别注意的是，本题中可以取得，即购买两盒草莓的情况，如果题目中删去草莓这一选择，满足促销条件的，但本题并未设置这样的陷阱.
B级
1.
已知，且，求函数的最值.
【答案】函数的最小值是，最大值是.
【解析】由已知有，于是函数是定义在区间上的二次函数，将配方得：.
二次函数的对称轴方程是顶点坐标为，图象开口向上
由可得，显然其顶点横坐标在区间的左侧或左端点上.
函数的最小值是，最大值是.
2.
已知，当时，求的最大值.
【答案】
【解析】：由已知可求对称轴为．
（1）当时，．
（2）当，即时，．
根据对称性,若即时，．
若即时，．
（3）当即时，．
综上，
3.
求函数在上的最大值.
【答案】
【解析】函数图象的对称轴方程为，应分，，即，和这三种情形讨论，下列三图分别为
（1）；由图可知
（2）；由图可知
（3）
时；由图可知
；即
4.某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：
（Ⅰ）男学生人数多于女学生人数；
（Ⅱ）女学生人数多于教师人数；
（Ⅲ）教师人数的两倍多于男学生人数。
①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为__________。
该小组人数的最小值为__________。
【答案】①6，②12
【解析】①若教师为4人，则男生人数小于8人，女生人数取最大值时，要求男生人数最多，此时男生人数为7人。女生人数取得最大值6人。
②若教师人数为1，则男生人数少于2，即男生1人，女生为0，与（Ⅱ）矛盾；
若教师人数为2，则男生人数少于4，即男生人数为3或2或1，且要求女生人数比2多，与已知矛盾；
③若教师人数为3，则男生人数小于6，即男生人数可能为5、4、3、2、1人，又要求女生人数满足（Ⅰ）（Ⅱ），则符合要求的人数为男士5人，女生4人。
则小组人数最小值为3+4+5=12人。
C级
已知函数在区间上的最小值是最大值是，求，的值.
【答案】
【解析】讨论对称轴中
与的位置关系。
①若，则，解得
②若，则，无解
③若，则，无解
④若，则，无解
综上，．
已知的值域为，求函数的值域.
【答案】
【解析】令，得.
由于，得.因此.
.
当时有最小值；当时有最大值.
故的值域为.
