任意角，弧度制及任意的三角函数
知识点详解
知识点1
角的相关概念
1．从运动的角度看，角可分为正角、负角和零角.
2．从终边位置来看，可分为象限角与轴线角.
3．若β与α是终边相同的角，则β用α表示为β＝2kπ＋α(k∈Z).
知识点2
角度与弧度
1弧度的角
长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.
2．角α的弧度数
如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝.
3．角度与弧度的换算①1°＝rad；②1
rad＝°.
4．弧长、扇形面积的公式
设扇形的弧长为l，圆心角大小为α(rad)，半径为r，则l＝rα，扇形的面积为S＝lr＝r2α.
[易错提醒]
角度制与弧度制不可混用
角度制与弧度制可利用180°＝π
rad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用.
知识点3
任意角的三角函数
1．定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么sin
α＝y，cos
α＝x，tan
α＝.
2．几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示，正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0).
[方法技巧]
三角函数值符号记忆口诀
记忆技巧：一全正、二正弦、三正切、四余弦(为正)．即第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正.
知识点4
三角函数线
设角α的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P，过P作PM垂直于x轴于M，则点M是点P在x轴上的正射影．由三角函数的定义知，点P的坐标为(cosα，sinα)，即P(cosα，sinα)，其中cosα＝OM，sinα＝MP，单位圆与x轴的正半轴交于点A，单位圆在A点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T，则tanα＝AT．我们把有向线段OM、MP、AT叫做α的余弦线、正弦线、正切线．
三角函数线
二、例题解析
例1：与角终边相同的角的集合是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】当终边相同的角与相差的整数倍，所以，与角终边相同的角的集合是，故选．
例2：某人从家步行到学校,一般需要10分钟,则10分钟时间钟表的分针走过的角度是
( )
A.30°
B.-30°
C.60°
D.-60°
【答案】D
【解析】因为分针是按顺时针方向旋转的,故分针走过的角是负角,又分针旋转了10分钟,故分针走过的角是-60°.
例3:已知的圆心角所对的弧长为，则这个扇形的面积为_______.
【答案】24
【解析】弧度．
设扇形所在圆的半径为，由题意得，解得．所以扇形的面积为．
例4：若角α的终边经过点P(1，)，则cos
α＋tan
α的值为( )
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】角α的终边经过点P(1，)，x＝1，y＝，r＝|OP|＝2，所以cos
α＝＝，tan
α＝＝，
那么cos
α＋tan
α＝，故选A.
例5：y＝的定义域为______________．
【答案】(k∈Z)
【解析】∵2cos
x－1≥0，∴cos
x≥.
由三角函数线画出x满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)，
∴x∈(k∈Z)．
三、课堂练习
A级
1.给出下列命题:
①第二象限角大于第一象限角;
②三角形的内角是第一象限角或第二象限角;
③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角,它们与扇形半径的大小无关;
④若sin
α=sin
β,则α与β的终边相同;
⑤若cos
θ<0,则θ是第二或第三象限的角.
其中正确命题的个数是
( )
A.1
B.2
C.3
D.4
2.
是（
）
A．
第一象限角
B．
第二象限角
C．
第三象限角
D．
第四象限角
3.
设集合M＝{x|x＝×180°＋45°，k∈Z}，N＝{x|x＝×180°＋45°，k∈Z}，那么(
)
A．
M＝N
B．
N?M
C．
M?N
D．
M∩N＝?
B级
1.设θ是第三象限角，且＝－cos
，则是( )
A.第一象限角
B.第二象限角
C.第三象限角
D.第四象限角
2.终边在直线y＝x上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为________.
3.
利用三角函数线，sinx≤的解集为___________．
C级
1.
设为第四象限角，其终边上的一个点是，且，求和．．
2.
扇形MON的周长为16cm.
（1）若这个扇形的面积为12cm2，求圆心角的大小；
（2）求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长MN.
3.函数y=lg(2sin
x-1)+的定义域为________.?
四、课后作业
A级
1.
在－720°～0°范围内，所有与角α＝45°终边相同的角β构成的集合为________.
2.
若sin
θ·cos
θ<0，>0，则角θ是( )
A.第一象限角
B.第二象限角
C.第三象限角
D.第四象限角
3.集合中的角所表示的范围(阴影部分)是( )
B级
1.已知扇形的圆心角为,面积为,则扇形的弧长等于________.?
2.已知角的终边经过,则等于__________
3.
若α＝，R＝2
cm，求扇形的弧所在的弓形的面积
C级
1.
已知α是第三象限角，求所在的象限
2.
若α=k·360°+θ,β=m·360°-θ(k,m∈Z),则角α与β的终边的位置关系是
( )
A.重合
B.关于原点对称
C.关于x轴对称
D.关于y轴对称
3.
已知=-,且lg
cos
α有意义.
(1)试判断角α所在的象限.
(2)若角α的终边上一点是M,且|OM|=1(O为坐标原点),求m的值及sin
α的值.任意角，弧度制及任意的三角函数
知识点详解
知识点1
角的相关概念
1．从运动的角度看，角可分为正角、负角和零角.
2．从终边位置来看，可分为象限角与轴线角.
3．若β与α是终边相同的角，则β用α表示为β＝2kπ＋α(k∈Z).
知识点2
角度与弧度
1弧度的角
长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.
2．角α的弧度数
如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝.
3．角度与弧度的换算①1°＝rad；②1
rad＝°.
4．弧长、扇形面积的公式
设扇形的弧长为l，圆心角大小为α(rad)，半径为r，则l＝rα，扇形的面积为S＝lr＝r2α.
[易错提醒]
角度制与弧度制不可混用
角度制与弧度制可利用180°＝π
rad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用.
知识点3
任意角的三角函数
1．定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么sin
α＝y，cos
α＝x，tan
α＝.
2．几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示，正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0).
[方法技巧]
三角函数值符号记忆口诀
记忆技巧：一全正、二正弦、三正切、四余弦(为正)．即第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正.
知识点4
三角函数线
设角α的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P，过P作PM垂直于x轴于M，则点M是点P在x轴上的正射影．由三角函数的定义知，点P的坐标为(cosα，sinα)，即P(cosα，sinα)，其中cosα＝OM，sinα＝MP，单位圆与x轴的正半轴交于点A，单位圆在A点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T，则tanα＝AT．我们把有向线段OM、MP、AT叫做α的余弦线、正弦线、正切线．
三角函数线
二、例题解析
例1：与角终边相同的角的集合是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】当终边相同的角与相差的整数倍，所以，与角终边相同的角的集合是，故选．
例2：某人从家步行到学校,一般需要10分钟,则10分钟时间钟表的分针走过的角度是
( )
A.30°
B.-30°
C.60°
D.-60°
【答案】D
【解析】因为分针是按顺时针方向旋转的,故分针走过的角是负角,又分针旋转了10分钟,故分针走过的角是-60°.
例3:已知的圆心角所对的弧长为，则这个扇形的面积为_______.
【答案】24
【解析】弧度．
设扇形所在圆的半径为，由题意得，解得．所以扇形的面积为．
例4：若角α的终边经过点P(1，)，则cos
α＋tan
α的值为( )
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】角α的终边经过点P(1，)，x＝1，y＝，r＝|OP|＝2，所以cos
α＝＝，tan
α＝＝，
那么cos
α＋tan
α＝，故选A.
例5：y＝的定义域为______________．
【答案】(k∈Z)
【解析】∵2cos
x－1≥0，∴cos
x≥.
由三角函数线画出x满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)，
∴x∈(k∈Z)．
三、课堂练习
A级
1.给出下列命题:
①第二象限角大于第一象限角;
②三角形的内角是第一象限角或第二象限角;
③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角,它们与扇形半径的大小无关;
④若sin
α=sin
β,则α与β的终边相同;
⑤若cos
θ<0,则θ是第二或第三象限的角.
其中正确命题的个数是
( )
A.1
B.2
C.3
D.4
【答案】A
【解析】第二象限角不一定大于第一象限角,如361°是第一象限角,100°是第二象限角,而361°>100°,故①错误;三角形内角可以是直角,直角既不是第一象限角也不是第二象限角,故②错误;角的大小只与旋转量与旋转方向有关,而与扇形半径大小无关,故③正确;若sin
α=sin
β,则α与β的终边有可能相同,也有可能关于y轴对称,故④错误;若cos
θ<0,则θ不一定是第二或第三象限角,θ的终边有可能落在x轴的非正半轴上,故⑤错误.
2.
是（
）
A．
第一象限角
B．
第二象限角
C．
第三象限角
D．
第四象限角
【答案】D
【解析】由题意得，∴的终边和角的终边相同，∴是第四象限角．
故选D．
3.
设集合M＝{x|x＝×180°＋45°，k∈Z}，N＝{x|x＝×180°＋45°，k∈Z}，那么(
)
A．
M＝N
B．
N?M
C．
M?N
D．
M∩N＝?
【答案】C
【解析】由题意可
即为的奇数倍构成的集合，
又，即为的整数倍构成的集合，，
故选：C．
B级
1.设θ是第三象限角，且＝－cos
，则是( )
A.第一象限角
B.第二象限角
C.第三象限角
D.第四象限角
【答案】B
【解析】由θ是第三象限角，知为第二或第四象限角，∵＝－cos
，∴cos
<0，综上知为第二象限角.
2.终边在直线y＝x上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为________.
【答案】
【解析】如图，在坐标系中画出直线y＝x，可以发现它与x轴的夹角是，在[0，2π)内，终边在直线y＝x上的角有两个：，π；在[－2π，0)内满足条件的角有两个：－π，－π，故满足条件的角α构成的集合为.
3.
利用三角函数线，sinx≤的解集为___________．
【答案】{x|2kπ+≤x≤2kπ+}（k∈Z）
【解析】如图，作出满足sinx=的角的正弦线M1P1和M2P2，∠M2OP2=，∠M1OP1=．当角的终边位于图中阴影部分时，正弦线的大小不超过，因此，满足sinx≤的解集为{x|2kπ+≤x≤2kπ+}（k∈Z），故答案为：{x|2kπ+≤x≤2kπ+}（k∈Z）．
C级
1.
设为第四象限角，其终边上的一个点是，且，求和．
【答案】；．
【解析】利用余弦函数的定义求得，再利用正弦函数的定义即可求得的值与的值．
∵为第四象限角，∴，∴，∴，
∴，∴＝，∴，．
2.
扇形MON的周长为16cm.
（1）若这个扇形的面积为12cm2，求圆心角的大小；
（2）求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长MN.
【答案】(1)或6；(2)答案见解析.
【解析】设扇形MON的半径为r，弧长为l，圆心角为α，
（1）由题意可得解得或∵α＝∴α＝或6.
（2）∵2r＋l＝16∴S扇＝l·r＝=，
∴当r＝4时，l=8，α＝=2时，弦长MN＝4sin1×2＝8sin1.
3.函数y=lg(2sin
x-1)+的定义域为________.?
【答案】(k∈Z).
【解析】要使原函数有意义,必须有:
即如图,在单位圆中作出相应三角函数线,
由图可知,原函数的定义域为(k∈Z).
四、课后作业
A级
1.
在－720°～0°范围内，所有与角α＝45°终边相同的角β构成的集合为________.
【答案】{－675°，－315°}
【解析】所有与角α终边相同的角可表示为：β＝45°＋k×360°(k∈Z)，则令－720°≤45°＋k×360°<0°(k∈Z)，得－765°≤k×360°<－45°(k∈Z).
解得k＝－2或k＝－1，∴β＝－675°或β＝－315°.
2.
若sin
θ·cos
θ<0，>0，则角θ是( )
A.第一象限角
B.第二象限角
C.第三象限角
D.第四象限角
【答案】D
【解析】由>0，得>0，故cos
θ>0.又sin
θ·cos
θ<0，所以sin
θ<0，所以θ为第四象限角.
3.集合中的角所表示的范围(阴影部分)是( )
【答案】C
【解析】当k＝2n(n∈Z)时，2nπ＋≤α≤2nπ＋，此时α表示的范围与≤α≤表示的范围一样；当k＝2n＋1
(n∈Z)时，2nπ＋π＋≤α≤2nπ＋π＋，此时α表示的范围与π＋≤α≤π＋表示的范围一样，故选C.
B级
1.已知扇形的圆心角为,面积为,则扇形的弧长等于________.?
【答案】
【解析】因为S=α·r2,即=×r2,所以r=2.因此弧长为l=α·r=×2=.
2.已知角的终边经过,则等于__________
【答案】
【解析】角的顶点在原点，始边与x轴的正半轴重合，若角终边经过点，则
则
即答案为.
3.
若α＝，R＝2
cm，求扇形的弧所在的弓形的面积
【答案】
【解析】设弓形面积为S弓．由题知l＝cm，S弓＝S扇－S△＝××2－×22×sin
＝(cm2)．
C级
1.
已知α是第三象限角，求所在的象限
【答案】当α是第三象限角时，是第二或第四象限角
【解析】∵2kπ＋π＜α＜2kπ＋π(k∈Z)，∴kπ＋＜＜kπ＋π(k∈Z)．
当k＝2n(n∈Z)时，2nπ＋＜＜2nπ＋π，是第二象限角，
当k＝2n＋1(n∈Z)时，2nπ＋＜＜2nπ＋π，是第四象限角，
综上知，当α是第三象限角时，是第二或第四象限角．
2.
若α=k·360°+θ,β=m·360°-θ(k,m∈Z),则角α与β的终边的位置关系是
( )
A.重合
B.关于原点对称
C.关于x轴对称
D.关于y轴对称
【答案】C
【解析】因为α与θ的终边相同,β与-θ的终边相同,且θ与-θ的终边关于x轴对称,故α与β的终边关于x轴对称.
3.
已知=-,且lg
cos
α有意义.
(1)试判断角α所在的象限.
(2)若角α的终边上一点是M,且|OM|=1(O为坐标原点),求m的值及sin
α的值.
【答案】（1）角α是第四象限角，（2）-，sin
α=-
【解析】(1)由=-可知,sin
α<0,所以α是第三或第四象限角或终边在y轴的非正半轴上的角.
由lg
cos
α有意义可知cos
α>0,所以α是第一或第四象限角或终边在x轴的非负半轴上的角.
综上可知角α是第四象限角.
(2)因为|OM|=1,所以+m2=1,解得m=±.又α是第四象限角,故m<0,从而m=-.
由正弦函数的定义可知sin
α====-.
