同角三角函数基本关系式与诱导公式
一、知识点详解
知识点1
同角三角函数关系
1．平方关系：sin2α＋cos2α＝1
2．商数关系：tan
α＝(α≠＋kπ，k∈Z)
知识点2
诱导公式
组数
一
二
三
四
五
六
角
2kπ＋α(k∈Z)
π＋α
－α
π－α
－α
＋α
正弦
sin
α
－sin_α
－sin_α
sin_α
cos_α
cos_α
余弦
cos
α
－cos_α
cos_α
－cos_α
sin_α
－sin_α
正切
tan
α
tan_α
－tan_α
－tan_α
[方法技巧]
诱导公式记忆口诀
对于角“±α”(k∈Z)的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，
“奇变偶不变”是指“当k为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k为偶数时，函数名不变”.
“符号看象限”是指“在α的三角函数值前面加上当α为锐角时，原函数值的符号”.
例题解析
例1：的值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】化简
，故选D.
例2：已知点是角终边上的一点，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】∵点是角终边上的一点，∴，∴．
故选A．
例3：已知是第二象限的角，且，则的值是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】∵是第二象限的角，且，∴，∴，故选．
例4：已知cos
29°=a,则sin
241°·tan
151°的值是
( )
A.
B.
C.-
D.-
【答案】B
【解析】sin
241°·tan
151°=sin(270°-29°)·tan(180°-29°)=(-cos
29°)·(-tan
29°)=sin
29°=.
例5：已知tan
α＝－3，则cos2α－sin2α＝( )
A.
B.－
C.
D.－
【答案】（1）；（2）
【解析】由同角三角函数关系得cos2α－sin2α＝＝＝＝－.
课堂练习
A级
1.已知α为锐角，且sin
α＝，则cos
(π＋α)＝( )
A.－
B.
C.－
D.
【答案】A
【解析】因为α为锐角，所以cos
α＝＝，故cos(π＋α)＝－cos
α＝－.
2.
给出下列各函数值：①；②；③；
④.
其中符号为负的是（
）
A．
①
B．
②
C．
③
D．
④
【答案】C
【解析】sin（﹣1000°）=sin（﹣2×360°﹣280°）=﹣sin280°=cos10°＞0，
cos（﹣2200°）=cos（﹣6×360°﹣40°）=cos40°＞0，
tan（﹣10）=﹣tan（3π+0.58）=﹣tan（0.58）＜0
=﹣=＞0
故选：C．
3.
已知函数f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+β),且f(4)=3,则f(2
019)的值
为
( )
A.-1
B.1
C.3
D.-3
【答案】D
【解析】因为f(4)=3,所以asin
α+bcos
β=3,故f(2
019)=asin(2
019π+α)+bcos(2
019π+β)=-asin
α-bcos
β=
-(asin
α+bcos
β)=-3.
B级
1.
已知sin
θ＋cos
θ＝
，则sin
θ－cos
θ的值为( )．
A．
B．
－
C．
D．
－
【答案】D
【解析】由可得
，
则
故选
2.若sin(π-α)=-2sin,则sin
α·cos
α的值等于
( )
A.-
B.-
C.或-
D.
【答案】A
【解析】因为sin(π-α)=-2sin,所以sin
α=-2cos
α,即tan
α=-2,所以原式====-.
3.
若f(cos
x)＝cos
2x，则f(sin
15°)＝
.
【答案】－
【解析】f(sin
15°)＝f(cos
75°)＝cos
150°＝cos(180°－30°)＝－cos
30°＝－.
C级
1.
已知，，则等于（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由．整理可得：2sin2=3cos，即：（2cos-1）（cos+2）=0，
∵-1＜cosA＜1，解得：cosA=，由题，则.
故选B.
2.
已知，且
（1）求的值；（2）求的值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）∵，∴，，
∵，∴sinx＜0，cosx＞0，∴sinx﹣cosx＜0，，
∴；
（2）由（1）知，，解得，，
．
3.已知cos＝a，则cos＋sin的值是
．
【答案】0
【解析】∵cos＝－cos＝－a，sin＝sin＝a，
∴cos＋sin＝－a＋a＝0.
课后作业
A级
1.已知α∈,sin
α=-,则cos(-α)的值为
( )
A.-
B.
C.-
D.
【答案】B
【解析】因为sin
α=-<0,α∈,所以α∈,故cos(-α)=cos
α==.
2.
已知函数f(x)＝
则f(f(2
018))＝
.
【答案】
【解析】∵f(f(2
018))＝f(2
018－18)＝f(2
000)，∴f(2
000)＝2cos＝2cos
＝－1.
3.
已知α∈，tan
α＝2，则cos
α＝________sin
α＝________
【答案】cos
α＝－.
【解析】依题意得由此解得cos2α＝；又α∈(π，)，因此cos
α＝－.
B级
1.
在平面直角坐标系xOy中，角与角均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称.
若sin=，则sin=_________．
【答案】
【解析】因为与关于轴对称，则，所以
2.
已知.求；
【答案】；
【解析】
∵，，平方可得：，∴.
3.已知角α终边上一点P(－4,3)，则的值为
．
【答案】－
【解析】原式＝＝tan
α，根据三角函数的定义得tan
α＝－.
4.已知关于x的方程2x2－(＋1)x＋m＝0的两根为sin
θ和cos
θ，θ∈(0,2π)．
求：(1)＋的值；
(2)m的值；
(3)方程的两根及此时θ的值．
【答案】(1)
，（2），（3）或θ＝或θ＝.
【解析】(1)原式＝＋＝＋＝＝sin
θ＋cos
θ.
由条件知sin
θ＋cos
θ＝，故＋＝.
(2)由sin2θ＋2sin
θcos
θ＋cos2θ＝1＋2sin
θcos
θ即(sin
θ＋cos
θ)2＝1＋2×，解得m＝.
(3)由知或
又θ∈(0,2π)，故θ＝或θ＝.
C级
1.
已知cos(75°＋α)＝，α是第三象限角，
(1)求sin(75°＋α)
的值．
(2）求cos(α－15°)
的值．
(3)求sin(195°－α)+cos(105o－α)的值．
【答案】（1）－;（2）－;
(3).
【解析】
（1）∵cos(75°＋α)＝>0，α是第三象限角，∴75°＋α是第四象限角，
且sin(75°＋α)＝
（2）cos(α－15°)=
cos[90°－(75°＋α)]=
sin(75°＋α)=
－
(3)sin(195°－α)
+cos(105o－α)
＝sin[180°＋(15°－α)]+cos[180o
o－(75°＋α)]
＝－sin(15°－α)
－cos(75°＋α)
＝－sin[90°－(75°＋α)]
－cos(75°＋α)
＝－2cos(75°＋α)＝.
2.若sin
θ，cos
θ是方程4x2＋2mx＋m＝0的两根，则m的值为( )
A．1＋
B．1－
C．1±
D．－1－
【答案】B
【解析】由题意知sin
θ＋cos
θ＝－，sin
θcos
θ＝，
又(sin
θ＋cos
θ)2＝1＋2sin
θcos
θ，∴＝1＋，解得m＝1±，又Δ＝4m2－16m≥0，
∴m≤0或m≥4，∴m＝1－.
3.已知cos2α=sin
α,则+cos4α=__________.?
【答案】2
【解析】 由cos2α=1-sin2α=sin
α,解得sin
α=(负值舍去),
所以==,则+cos4α=+sin2α=+1-cos2α=+1-sin
α=+1-=2.同角三角函数基本关系式与诱导公式
一、知识点详解
知识点1
同角三角函数关系
1．平方关系：sin2α＋cos2α＝1
2．商数关系：tan
α＝(α≠＋kπ，k∈Z)
知识点2
诱导公式
组数
一
二
三
四
五
六
角
2kπ＋α(k∈Z)
π＋α
－α
π－α
－α
＋α
正弦
sin
α
－sin_α
－sin_α
sin_α
cos_α
cos_α
余弦
cos
α
－cos_α
cos_α
－cos_α
sin_α
－sin_α
正切
tan
α
tan_α
－tan_α
－tan_α
[方法技巧]
诱导公式记忆口诀
对于角“±α”(k∈Z)的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，
“奇变偶不变”是指“当k为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k为偶数时，函数名不变”.
“符号看象限”是指“在α的三角函数值前面加上当α为锐角时，原函数值的符号”.
例题解析
例1：的值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】化简
，故选D.
例2：已知点是角终边上的一点，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】∵点是角终边上的一点，∴，∴．
故选A．
例3：已知是第二象限的角，且，则的值是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】∵是第二象限的角，且，∴，∴，故选．
例4：已知cos
29°=a,则sin
241°·tan
151°的值是
( )
A.
B.
C.-
D.-
【答案】B
【解析】sin
241°·tan
151°=sin(270°-29°)·tan(180°-29°)=(-cos
29°)·(-tan
29°)=sin
29°=.
例5：已知tan
α＝－3，则cos2α－sin2α＝( )
A.
B.－
C.
D.－
【答案】（1）；（2）
【解析】由同角三角函数关系得cos2α－sin2α＝＝＝＝－.
课堂练习
A级
1.已知α为锐角，且sin
α＝，则cos
(π＋α)＝( )
A.－
B.
C.－
D.
2.
给出下列各函数值：①；②；③；
④.
其中符号为负的是（
）
A．
①
B．
②
C．
③
D．
④
3.
已知函数f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+β),且f(4)=3,则f(2
019)的值
为
( )
A.-1
B.1
C.3
D.-3
B级
1.
已知sin
θ＋cos
θ＝
，则sin
θ－cos
θ的值为( )．
A．
B．
－
C．
D．
－
2.若sin(π-α)=-2sin,则sin
α·cos
α的值等于
( )
A.-
B.-
C.或-
D.
3.
若f(cos
x)＝cos
2x，则f(sin
15°)＝
.
C级
1.
已知，，则等于（
）
A．
B．
C．
D．
2.
已知，且
（1）求的值；（2）求的值.
3.已知cos＝a，则cos＋sin的值是
．
课后作业
A级
1.已知α∈,sin
α=-,则cos(-α)的值为
( )
A.-
B.
C.-
D.
2.
已知函数f(x)＝
则f(f(2
018))＝
.
3.
已知α∈，tan
α＝2，则cos
α＝________sin
α＝________
B级
1.
在平面直角坐标系xOy中，角与角均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称.
若sin=，则sin=_________．
2.
已知.求；
3.已知角α终边上一点P(－4,3)，则的值为
．
4.已知关于x的方程2x2－(＋1)x＋m＝0的两根为sin
θ和cos
θ，θ∈(0,2π)．
求：(1)＋的值；
(2)m的值；
(3)方程的两根及此时θ的值．
C级
1.
已知cos(75°＋α)＝，α是第三象限角，
(1)求sin(75°＋α)
的值．
(2）求cos(α－15°)
的值．
(3)求sin(195°－α)+cos(105o－α)的值．
2.若sin
θ，cos
θ是方程4x2＋2mx＋m＝0的两根，则m的值为( )
A．1＋
B．1－
C．1±
D．－1－
3.已知cos2α=sin
α,则+cos4α=__________.?
